从几个次序统计量出发的二参数Weibull分布的参数估计

Ξ第4卷　第1期

2005年3月　

　

太原师范学院学报(自然科学版)

JOURNA L OF T AIY UAN TE ACHERS C O LLEGE(Natural Science Edition)

　V ol.4N o.1

　Mar.2005

从几个次序统计量出发的二参数Weibull

分布的参数估计

郭德怀

(江苏财经职业技术学院,江苏淮安223001)

〔摘要〕　从两个或三个次序统计量出发,讨论了二参数Weibull分布的参数估计问题,在实际数据的缺失、删失、截尾等情况下,为可靠性试验的数据处理提供了一种有效的估计方法.

〔关键词〕　次序统计量;二参数Weibull分布;参数估计

〔文章编号〕　167222027(2005)0120004204　〔中图分类号〕　O213;T B114〔文献标识码〕A

设产品寿命T～Weibull(η,γ),其分布函数为

F T(t)=1-exp-

t

η

1

γ

,η>0,γ>0,t>0.(1)

记μ=lnη,则Tη1

γ

服从标准指数分布;X=1n T服从极值分布(也称对数Weibull分布),其分布函数为

F X(χ)=1-exp-exp

χ-μ

γ,

γ>0,-∞<μ<+∞.(2)

再令Y=X-μ

γ=ln

T

η

1

γ

,则Y服从标准极值分布,其分布函数为

F Y(y)=1-exp(-e y)　.(3)

设有来自二参数Weibull分布的样本量为N的样本T1,T2,…,T N,T(1)≤T(2)≤…≤T(N)为其次序统计量,则相应的X(1)≤X(2)≤…≤X(N)可看作是来自极值分布的样本量为N的样本的次序统计量,Y(1)≤Y(2)≤…≤Y(N)可看作是来自标准极值分布的样本量为N的样本的次序统计量.

1　形状参数的估计

Murthy和S wartz从N个失效样本中两个次序统计量出发,提出了形状参数γ的无偏估计,根据次序统计量的选择准则,在使估计量的方差达到最小的条件下,渐进效率在70%左右[1].他们还运用此统计量在Weibull分布的刻度参数未知时进行了γ的假设检验.本文从三个次序统计量出发,导出γ的估计,并得到相对效率的公式.

若有次序观测值t(m)与t(l),1≤l

Y=ln t(m)-ln t(l)

2γ

(4)

易知Y的分布与未知参数无关.令

γ^=ln t(m)-ln t(l)

2E(Y)

(5)

显然,γ^为γ的无偏估计,由Y的构造不难推出

Ξ收稿日期:2003212230

作者简介:郭德怀(19652),男,湖南长沙人,江苏财经职业技术学院高级讲师,主要从事概率统计的研究.

E (Y )=2A

∑l -1i =0

∑m -l -1

j =0C

ij

14ρb ln ρ+1

ρ(6)

E (Y 2

)=2A

∑l -1i =0

∑m -l -1

j =0

C

ij

1

4ρb

2

g (ρ)(7)

其中,A =N !(l -1)!(m -l -1)!(N -m )!,g (χ)=∑∞

k =1(-1k

2)(-1χ)k ,ρ=N +j -m +1

b ,b =m -l +i +j ,C ij =(-1)i +j l -1i m -j -1j

.类似的,若有三个次序观测值t (1),t (m ),t (n ),1≤l

Y 1=

ln t (n )-ln t (m )2γ,Y 2=ln t (m )-ln t (l )

2γ

,

(8)

则Y ,Y 2的联合分布是完全确定的.令

γ^=ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?n -m n -l +ln t (m )-ln t (l )2E (Y 2)?

m -l n -l

(9)

显然,E (

γ^

)=γ,并且γ^

γ的分布是完全确定的,其方差Var γ

^

γ也是可求的.下面从标准极值分布出发导出Var

γ^γ的公式.记α=n -m n -l ,β=m -l

n -l

,则γ^

=ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?α+ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?

β,从而　γ^

γ=α2E (Y 1)?ln t (n )-μγ+β2E (Y 2)-α2E (Y 1)?ln t (m )-μγ-β

2E (Y 2)

?ln t (l )-μγ.

前面已指出,ln t (n )-μ

γ

可看作是来自标准极值分布的容量为N 的第n 个次序样本,以Y (i )记来自标准极值分布的容量为N 的第i 个样本,则

γ^

γ=α2E (Y 1)?Y (n )+β2E (Y 2)-α2E (Y 1)?Y (m )-β

2E (Y 2)?Y (l ).(10)于是

Var γ^

γ=a 2

4E 2(Y 1)

?Var Y (n )+β2E (Y 2)-α2E (Y 1)2

?Var Y (m )

+

β

2

4E 2(Y 2)

Var Y (l )+

αE (Y 1)β

2E (Y 2)

-

α2E (Y 1)C ov Y (n ),Y (m )-α

2E (Y 1)?β

2E (Y 2)

C ov Y (n ),Y (l )-β2E (Y 2)

-α

2E (Y 1)?β

2E (Y 2)

C ov Y (m ),Y (l ).

(11)

由于标准极值分布不含任何未知参数,其次序样本的期望、方差、协方差均为常数,而E (Y 1),E (Y 2)的公式与(6)是一致的,因而Var γ

^

γ完全可求.

将γ^的方差与最小方差线性无偏估计的方差作比较,从而给出γ^的效率,以γB 记γ的BLUE ,则AE ff (γ^)=Var

γ^

B

γVar

γ

^

γ

,其中Var γ^B

γ可参见文献[2].此处我们求出了N =20时的标准极值分布的各次序统计量的期望值、方差值、协方差值,并计算出截尾数为4的相对效率,结果如表1、表2所示.

5

　第1期 郭德怀:从几个次序统计量出发的二参数Weibull 分布的参数估计

表1　N =20时次序统计量的数字特征

T able 1　Figure character of order statistics when N =20

i

期望值

方差

协方差

i 12

34

1-3.573941.6439312-2.545080.6456520.629963-2.020730.3953930.493160.308854

-1.65535

0.28453

4

0.41837

0.26201

0.20511

表2　N =20,r =4的相对渐进效率(形状参数)

T able 2　Relative asymptotic effectiveness when N =20,r =4

所采用的次序统计量:i

估计量γ

^

γ的方差

相对渐进效率

1,2,30.4808365.74%1,2,40.3521989.75%1,3,40.4887564.67%2,3,4

0.85920

36.78%

注意到无论是在(5)式还是(9)式中,若把ln t (i )看作次序样本实现值,则γ^

都是ln t (i )(i =1,2,…,N )的线性函数,且其系数和为0.受此启发,假设有部分观测到的次序样本和部分未观测到的缺失次序样本,则可由观测到的部分次序样本出发构造的线性无偏估计

γ^

=

∑

3

βi ln t (i )

.(12)

其中∑3

指对那些观测到的次序样本求和,∑3

βi =0.另外也可将(12)写成

γ

^

γ=

∑

3

βi ln t (i )-μ

γ

=

∑

3

βi Y (i )

.(13)

由此,γ

^

γ的分布与未知参数无关,其方差可计算,不过在βi 的选择上还应使γ

^成为γ的无偏估计.2　刻度参数的估计

由于极值分布中μ=ln η,因此可将刻度参数η的估计转化为对μ的估计.由变换Y =ln t -μ

η,可自然地给出μ^=ln t (l )-E (Y (l ))γ^,Y (l )为标准极值分布的第l 个次序统计量.显然,E (μ^)=μ,μ^随着γ^

的形式

变化而变化,不妨以(5)式代入,因此,μ^

是从两个次序统计量出发的估计量.于是,

Var μ^γ=Var μ^-μγ=Var Y (l )-E (Y (l ))

γ^γ=

Var Y (l )-E (Y (1))(Y (m )-Y (l ))

2E (Y )

=Var

1+

E (Y (l ))2E (Y )

Y (l )-

E (Y l )

2E (Y )Y

(m )

=

1+

E (Y (l ))2E (Y )

2

Var (Y (l ))+

E (Y (l ))2E (Y )

2

Var (Y (m ))-21+

E (Y (l ))2E (Y )E (Y (l ))

2E (Y )

C ov (Y (1),Y (m )),

C ov (μ^

,γ

^

)=C ov (ln t (l )-E (Y (l ))γ^

,γ^

)=γ2

C ov Y (l ),E (Y (l ))Y (m )-Y (l )2E (Y ),

Y (m )-Y (l )

2E (Y )=

γ2C ov 1+E (Y (l ))

2E (Y )Y (l )-

E (Y (l ))2E (Y )Y (m ),-Y (l )2E (Y )+

Y (m )

2E (Y )

=

r 2

-

1+

E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )

Var (Y (l ))-E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )Var (Y (m ))+

1+

E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )

+

E (Y (l ))2E (Y )1

2E (Y )C ov (Y (l ),Y (m )).6太原师范学院学报(自然科学版) 第4卷　

有了以上两个公式,下面来求μ^的渐进效率(以BLUE或G LUE作比较).以μ^B记μ的BLUE,则

AE ff(μ^)=Var(

μ^

B

γ)

Var(

μ^

γ)

=

A r,N

Var(

μ^

γ)

,其中A r,N可在文献[2]中查得,r为截尾数.取N=20,r=4,可得如表

3所示的结果.

表3　N=20,r=4的相对渐进效率(刻度参数)

T able.3　Relative asymptotic effectiveness when N=20,r=4

所采用的次序统计量:i估计量γ^

γ

的方差相对渐进效率

1,27.0323417.02%

1,31.9823460.40%

1,41.7123470.54%

2,32.5947646.14%

2,41.8762463.38%

3,43.8647230.99%

参考文献:

[1]　Murthy V K,S wartz G B.Estimation of W eibull parameters from tw o2order statistics[M].Ohio:Wright2Patters on Air F orce Base,1974

[2]　第四机械工业部标准化研究所.可靠性试验用表[M].北京:国防工业出版社,1978

Estimation of Tw o2parameter Weibull P arameters

Using Several Order Statistics

G uo Dehuai

(Jiangsu Finance and Economics C ollege of V ocational T echnology,Huaian223001,China)

〔Abstract〕　The problem of the parameter estimation of tw o2parameter weibull distribution is discussed using tw o or three order statistics.In practice we often need to deal with im plement data,especially in reliability statistics.It provides an effective method for estimating the parameter of Weibull distribution.

〔K ey w ords〕　order statistics;tw o2parameter Weibull distribution;parameter estimation 7

　第1期 郭德怀:从几个次序统计量出发的二参数Weibull分布的参数估计