广东省深圳市2013年高三第一次调研考试数学文试题(2013深圳一模)

试卷类型：A

绝密★启用前

2013.2

本试卷共 6 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码 是否正确；之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学 校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴 条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂 的，答案无效．

3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的 答案无效．

4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、 错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考结论：

1

三棱锥的体积公式： V = Sh ，其中 V , S , h 分别是三棱锥的体积、底面积和高；

3

回归直线的方程是： y = bx + a ，

n

∑ ( x i

- x )( y i -

其中： b = i =1

, a =

y - bx ． n

∑(x

i - x ) 2 i =1

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选

项

中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知 i 为虚数单位，则（1 - i ）2

=

A ． 2i

B ． -2i

C ． 2

D ． -2

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试

数 学（文科）

2．已知集合 A = {x ∈ R | x < 7

} ， B = {1，2，3，4} ，则（ A ）∩ B =

R 2

B ． {2，3，4}

D ． {4}

A ． {1，2，3，4}

C ． {3，4}

π

3．下列函数中，最小正周期为 的是

2

Ａ． y = tan x

Ｃ． y = cos x

Ｂ． y = sin 2x

Ｄ． y = cos 4x

2

4

4．设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f (x ) = log 3 (

1 + x ) ，则 f (- 2) A ． -1

5．下列命题为真命题的是

Ｂ． -3 Ｃ．1 Ｄ． 3

A ．若 p ∨ q 为真命题，则 p ∧ q 为真命题．

B ．“ x = 5 ”是“ x 2 - 4x - 5 = 0 ”的充分不必要条件．

C ．命题“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 > 0 ”的否命题为：“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 ≤ 0 ”．

D ．已知命题 p ： ?x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 < 0 ，则 ?p ： ?x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 > 0 ．

A Ｂ Ｃ Ｄ

（第 6 题图）

7．某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n (n > 1)个小矩形，若第一个小矩形的面积

1

等于其余 n - 1 个小矩形的面积之和的 5 ，则第一个小矩形对应的频数是

A ． 20

B ． 25

C ． 30

D ． 35

8．等差数列 {a n } 中，已知 a 5 > 0 ， a 4 + a 7 < 0 ，则 {a n } 的前 n 项和 S n 的最大值

A ． S 7

B ． S 6

C ． S 5

D ． S 4

2

2

9．已知抛物线 y 2

= 2 p x （p > 0）与双曲线 x - y = 1（a > 0, b > 0）的一条渐近线交于一点 2 2 a b

M （1, m ），点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于 1

C ．

1 D ．

A ． 3

B ． 4

4

3

10．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 4xy - x - 2 y = 4 ，则 xy 的最小值为 B ． C

D ． 2

A ． 2

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．本大题分为必做题和选做题

两部分．

（一）必做题：第11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答．

11．运行如图所示的程序框图，输出的结果是

．

（第 11 题图）

? x - y + 2 ≤ 0,

?

y

12．已知变量 x ，y 满足约束条件 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是 ．

x ?2x + y - 8 ≤ 0. ?

13．在平面直角坐标系 xOy 中，定点 A （4, 3）且动点 B （m , 0）在 x 轴的正半轴上移动，

m

的最大值为 ． AB

（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一

题的得分．

14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ? x = 1 + t,

（参数 t ∈ R ），若以 O ?

?

y = 4 - 2t. 为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4s i n θ ，则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为

．

15．如图， PA 是 ⊙O 的切线， A 为切点，直线 PB 交 ⊙O

于 D 、B 两点，交弦 AC 于 E 点，且 AE = 4 ，EC = 3 ，

BE = 6 ， PE = 6 ，则 AP =

．

(第 15 题图)

三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分 12 分）

3

在平面直角坐标系 xOy 中，M （sin 2 θ , 1），N （1, - 2 cos 2 θ）（ θ ∈ R ），且 O M ? O N = 2

（1）求点 M , N 的坐标；

（2）若角 α , β 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点

M , N ，求

α β 的值.

17．（本小题满分 12 分）

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

（1）要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成? 绩高于 90

分的概率；

（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 y = bx

+ a ．

（第 17 题图）

学生 A 1

A 2 A 3 A 4 A 5 数学（ x 分） 89 91 93 95 97 物理（ y 分）

87

89

89

92

93

18．（本小题满分 14 分）

π 如图甲， ⊙O 的直径 AB = 2 ，圆上两点 C 、D 在直径 AB 的两侧，使 ∠CAB = ∠DAB =

π

．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， F 为 BC 的中 3

点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题： （1）求三 棱锥 C - BOD 的体积；

（2）求证： CB ⊥ DE ；

（3）在 BD

上是否存在一点 G ，使得 FG // 平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不 存在，请说明理由．

C

B

（第 18 题图甲） （第 18 题图乙）

19．（本题满分 14 分）

设 {a n } 是公比大于 1 的等比数列， S n 为数列 {a n } 的前 n 项和．已知 S 3 = 7 ，且 3a 2 是 a 1 + 3 和 a 3 + 4 的等差中项．

（1）求数列 {a n } 的通项公式；

a 1

，数列 {b } 的前 n 项和为

T n ，求证： T n < 2 ． （2）设 b n = n n (a n + 1 )(a n +1 + 1 )

20．（本题满分 14 分）

已知椭圆 C 的中心为原点 O ，焦点在 x ，且点（1,

在该椭圆

上．

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）如图，椭圆 C 的长轴为 AB ，设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH ⊥ x 轴，

为垂足，点 Q 满足 PQ = HP ，直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 B M = 4 B N

．求证： ∠OQN 为锐角．

（第 20 题图）

21．（本小题满分 14 分）

已知函数 （f x ）= a x + x 2 - x ln a - b （a , b ∈ R , a > 1）， e 是自然对数的底数． （1）试判断函数 （f x ）在区间（0, + ∞）上的单调性；

（2）当 a = e ， b = 4 时，求整数 k 的值，使得函数 （f x ）在区间（k , k + 1）上存在零点； （3）若存在 x 1 , x 2 ∈[-1, 1]，使得 | （f x 1）- （f x 2）|≥ e - 1 ，试求 a 的取值范围．

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷

第 6 页 共 6

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为

最后得分)，满分20分．

11．63. 12．[26]，. 13．

5

3

． 14 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，2 sin ,1M θ（ ），2 1,2cos N θ-（ ）

（θ∈R ），且3

2

OM ON ?=- . （1）求点,M N 的坐标；

（2）若角,αβ的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点,M N ，求

tan αβ+()的值.

解：(1) 3,

2OM ON ?=- 223

sin 2cos ,

2θθ∴-=-

………………….2分 223

sin 2(1sin ),2

θθ∴--=-

解得21sin 6

θ=，25

cos 6θ=

所以1(,1)6M ，5

(1,)3N -

………………….6分

（2）由（1）可知1(,1)6M ，5

(1,)3N -

tan 6α∴=，5

tan 3

β=- ……………………………….10分

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

+∴+=

-?

563

5

16()

3

-

=

-?-

13

33=

……………………………….12分 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程?y bx a =+．

解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、

51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分

其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、

51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，

故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率

7

P 10

=

.

…………………………………………5分 （2）散点图如右所示. ……………………………………………6分

可求得： x =

5

97

95939189++++=93，

y =5

9392898987++++=90， ……………………………………………8分

5

1

()()30i

i

i x x y y =--=∑

∑=-5

1

i 2

i

)

x x (=2

2222420)2()4(+++-+-=40，

30

40

b =

=0.75，

a y bx =-=20.25， ……………………………………………11分

故y 关于x 的线性回归方程是：

?0.7520.25y

x =+. ……………………………………………12分 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．

18．（本小题满分14分）

如图甲，O ⊙的直径2AB =，圆上两点C D 、在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=

，3

DAB π

∠=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据

图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥C BOD -的体积；

（2）求证：CB DE ⊥；

（3）在 BD

上是否存在一点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．

A B

C

O

D

·

(第18题图甲)

A B

F

O

D

·

(第18题图乙)

·

E G

解:（1）C 为圆周上一点，且AB 为直径，90C ∴∠=?

,4

CAB π

∠=

,AC BC ∴=

∵O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，

2,1AB CO =∴= .

∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，CO ∴⊥平面BOD . ∴CO 就是点C 到平面BOD 的距离，

在Rt ABD ?中，1111222BOD ABD S S ??=

=??=，

11133C BOD BOD V S CO -?∴=?==. ………………………………………4分

（2）在AOD ?中，60,,OAD OA OD ∠=?=

AOD ∴?为正三角形，

又E 为OA 的中点，DE AO ∴⊥，

∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， DE ∴⊥平面ABC .

∴CB DE ⊥. ………………………………………9分 （3）存在，G 为 BD

的中点.证明如下： 连接,,OG OF FG ，

∴OG BD ⊥，

∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD BD ⊥ ∴//OG AD ，

OG ?平面ACD ，AD ?平面ACD ， ∴OG //平面ACD .

在ABC ?中，,O F 分别为,AB BC 的中点，

//OF AC ∴，

OF ?平面ACD ，//OF ∴平面ACD ， ,OG OF O =

∴平面//OFG 平面ACD ，

又FG ?平面OFG ，//FG ∴平面ACD .………………………………………14分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．

设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是 13a +和34a +的等差中项．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设111n n n n a b a a +=++()()，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1

2

n T <．

解：（1）由已知，得12313

27(3)(4)3.2

a a a a a a ++=??

?+++=??，

………………………………………3分

解得22a =．

设数列{}n a 的公比为q ，则

12a q =，

∴21312

2a a a q q q

=

==，． 由37S =，可知

2

227q q

++=， ∴2

2520q q -+=， 解得12122

q q ==

，． 由题意，得12q q >∴=，． …………………………………………………5分 ∴11a =．

故数列{}n a 的通项为1

2

n n a -=． …………………………………………………7分

(2)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n --=++111

2121

n n -=-

++， …………11分 ∴n S 112231111111111121212121212121n n -????????=-+-+-++- ? ? ? ?++++++++????????

111121n =

-++11221n =-+1

2

<.……………………………………………14分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学

20．（本题满分14分）

已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x

，且点1,（在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，点

Q 满足PQ HP = ，

直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN =

．求证：OQN ∠为锐角．

20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b

+=>>，由题意可得

c e a == ,

又2

2

2

c b a +=，∴2

2

4b a =. …………………………………………2分

∵椭圆C

经过(1,2，代入椭圆方程有 223

1

414b b

+=， 解得2

1b =. …………………………………………5分 ∴2

4a =，

故椭圆C 的方程为 2

214

x y +=. …………………………………………6分 （2）设()00,P x y 0(22)x -<<， …………………………………………7分 ∵()2,0A -， ∵PQ HP =， ()

（第20题图）

∴直线AQ 的方程为()0

0222

y y x x =

++． …………………………………………9分 令2x =，得0082,2y M x ??

?+??

．

∵()2,0B ，4BM BN =

，

∴002,

2y N x ??

?+??

． ∴()00,2QO x y =-- ，00002(1)2,2y x QN x x ??-+=- ?+??

．

∴()()2000000000002(1)4(1)

2(2)222

y x y x QO QN x x y x x x x -++?=--+-?=-+

++ ∵2

20014

x y +=，

∴2

2

0044y x =-

∴02QO QN x ?=-

…………………………………………12分

∵022x -<<，

∴020QO QN x ?=->

．

又O 、Q 、N 不在同一条直线，

∴OQN ∠为锐角. …………………………………………………14分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力． 21．（本小题满分14分）

已知函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），e 是自然对数的底数．

（1）试判断函数f x （）

在区间0, +∞（）上的单调性； （2）当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）

在区间, 1k k +（）上存在零点； （3）若存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（

）（），试求a 的取值范围． 解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+- …………………………1分

1a >(0,)x ∈+∞ln 0,10x

a a >->()0f x '>

故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 . …………………………………………3分 （2）2

()4x

f x e x x =+--，'

()21x

f x e x ∴=+-，

(0)0f '∴=， ……………………………………4分

当0x >时，1x

e >，()0

f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数； 同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数. …………………………………5分

2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >，

故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件；

211

(0)30,(1)20,(2)20f f f e e

=-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >，

故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件. 综上所述 1k =或2-. ………………………………………7分 （3）2

()ln x

f x a x x a b =+--，

因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1x ∈-时，

m a x m i

n

m a x

m |()()|()

()1f x f x f

x f

x e -=-≥-

…………………………8分

()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，

①当0x >时，由1a >，可知10x

a ->，ln 0a >，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知 10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=.

∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分 ∴当[1,1]x ∈-时，{}min max ()(0)1,()max (1),(1)f x f b f x f f ==-=-， 而1

1

(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a a a a

--=+---++-=--， 设1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为2

2

121()1(1)0g t t t t

'=+

-=-≥（当1t =时取等号），

∴1()2ln g t t t t

=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >， ∴当1a >时，1

2ln 0a a a

-

->， ∴(1)(1)f f >-， ∴(1)(0)1f f e -≥-，

∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-， 设()ln (1)h a a a a =->，则

11()10a h a a a -'=-

=>.

∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数， ∴a e ≥.

即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式

问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.