一般二阶线性齐次递归方程在数论中的应用

二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的

二阶线性齐次差分方程

z 二阶线性齐次差分方程012=++++n n n cx bx ax 的特征根法求解： 令形式解 ,代入方程得特征方程: , 根: n n x λ=02=++c b a λλ(1) βα,为实根, 对应有解： 和 ; n n x α=)1(n n x β=)2((2) αα,为重根, 对应有解： 和n n x α=) 1(1) 2(lim ?→=??=n n n n n x αα βαβαβ ，或者 n n n x α=)2((3) , ?βαλi e r i ±?=±=()()??λ?λn i n e e e x r n i r n n n n sin cos ln ln ln ±====±?, 对应有解： 和. ?n e x r n n cos ln )1(=?n e x r n n sin ln )2(=(4) 关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解: )2(2)1(1n n n x c x c x +=1. (98) 求差分方程的一般解。 (n y y n n 51021=++()72 51255?+?=n C y n n ) 解：齐次方程的通解为，设非齐次方程的特解为：()n n C y 5?=b an y n +=~，代入求。 b a ,2. 斐波拉契数( ???==+=++11012x x x x x n n n ??? ???????????????????????+=++1125125151n n n x ) 3． 银行实行贷款购房业务，A 贷元，月利r ，n 个月本利还清，在这个月内按复利计息，每月连本带息还n x 元。 (1) 求的关系； (2) 记个月的平均利息(r n A f x ,,=)n n A x n v ?=，求r v n ∞→lim . 设第i 个月欠元，则 i A (),101???=?+=?A A x r A A i i 齐次方程的通解为 ();1n n r C A +=非齐次方程的特解为r x A n =~； 非齐次方程的通解为：();1r x r C A n n ++= 代入初始条件得非齐次方程的特解为()();111r r x r A A n n n ?+?+= 0=n A 得x 值。。。。。

二阶线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念

设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).

第八节二阶常系数齐次线性微分方程

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种 情况，通解的三种不同形式。 教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容： 若 22()()0d y dy P x Q x y dx dx ++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。 记： '''0y py qy ++= （2） 将rx y e =代入（2）中有2()0rx r pr q e ++=，称20r pr q ++=为（2）的特征方程。 20r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。 （1）当12r r ≠即240p q ->时，1 212r x r x y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时， （3）只有一个解rx y Ce =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。 求二阶常系数齐次线性微分方程 '''0y py qy ++= （2） 的通解的步骤如下： 1． 写出微分方程（2）的特征方程 2 0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。

3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 2230r r --= 其根121 ,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为 312x x y C e C e -=+ 例2 求方程222 0d s ds s dt dt ++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。 解 所给方程的特征方程为 2210r r ++= 其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 ()12t s C C t e -=+ 将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而 ()24t s C t e -=+ 将上式对t 求导，得 ()224t s C C t e -'=-- 再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。于是所求特解为 ()42t s t e -=+ 例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为

什么叫差分方程

什么叫差分方程？给我举几个例子呗 §1 基本理论 1. 差分 2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下： Δxn=xn+1-xn 对新数列再应用差分算子，有 Δ2xn=Δ(Δkxn). 性质 性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn 性质2 Δk(cxn)=cΔkxn 性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j 性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δkxn=f(k)(η) 差分方程 定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程： xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……) 其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0,则该方程是齐次方程 关于λ 的代数方程 λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 为对应的特征方程，根为特征值。 1．实验内容与练习 2．1 插分 例1 Xn={n3},求各阶差分数列： xn △xn △2xn △3xn △4xn 1 7 1 2 6 0 8 19 18 6 0 27 37 24 6 0 64 61 30 6 125 91 36 216 127 343 可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。 练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5}, 分别求各阶差分数列。 练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列. {Xn}的通项为n的三次函数， Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0 证明它为常数数列。

证明由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。 定理8。1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。 练习3 证明定理8。1 。 定理8。2 若{Xn}的k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是n的k次多项式， 练习4 根据插分的性质证明定理8。2 例2。求∑i3 例3 例4 解设Sn=∑i3 表 Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn 1 8 19 18 6 0 9 27 37 24 6 0 36 64 61 30 6 0 100 125 91 36 6 0 225 216 127 42 441 343 169 784 512 1296 设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0, s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得 a0=0, a1=0, a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4. 所以， Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2. 练习{Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的k+1次多项式；求 ∑i4. 由练习2 {Crn-1}可得。 2.2差分方程 对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。 例3 对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,可直接验证xn=c13n+c22n是该方程的解。 例3中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解叫做差分方程的通解。 若k阶差分方程给定了数列前k项的取值，则可以确定通解的任意常数，得到差分 的特解。 例4对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,若已知x1=1,x2=5,则可以得到该差分方程的特解为 xn=3n-2n.

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?

注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 y t+1+ay t=f(t) (11-2-1) 和 y t+1+ay t=0，(11-2-2) 其中f(t)为t的已知函数，a≠0为常数． 我们称方程(11-2-1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11-2-2)称为其对应的齐次差分方程． 一、齐次差分方程的通解 将方程(11-2-2)改写为： y t+1=-ay t, t=0,1,2,…． 假定在初始时刻(即t=0)时，函数y t取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得 y1=-ay0=-aA, y2=-ay1=(-a)2A, ……………… 由数学归纳法易知，方程(11-2-2)的通解为 y t =A(-a)t, t=0,1,2,…． 如果给定初始条件t=0时y t=y0,则A=y0,此时特解为： y t =y0(-a)t．（11-2-3） 二、非齐次方程的通解与特解 求非齐次方程(11-2-1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11-2-1)的特解的常用方法为待定系数法． １．迭代法求通解 将方程(11-2-1)改写为 y t+1=(-a)y t+f(t), t=0,1,2,…． 逐步迭代，则有 y1=(-a)y0+f(0), y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1), y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2), ……………… 由数学归纳法，可得 y t=(-a)t y0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=(-a)t y0+ t y, (t=0,1,2,…)，（11-2-4） 其中 t y=(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=∑- =- 1 ) ( t i i a·f(t-i-1) （11-2-5） 为方程(11-2-1)的特解．而y A(t)=(-a)t y0为(11-2-1)对应的齐次方程(11-2-2)的通解．这里y0=A 为任意常数．因此，(11-2-4)式为非齐次方程(11-2-1)的通解． 与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(11-2-1)的通解(11-24-)也可以由齐次方程(11-2-2)的通解(11-2-3)经由常数变易法求得，这里不予赘述．

二阶线性偏微分方程的分类与小结

第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=

xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

线性差分方程

线性差分方程 在数学大家庭中，线性差分方程是重要的一员。如离散状态下的数学建模一般会产生差分方程，将微分方程离散化仍然会产生差分方程。线性差分方程与线性方程组及线性常微分方程有许多相似的性质，下面让我们讨论其解性质。 考虑如下一般的线性差分方程 （1） ()()()110k m k k m k m m a m u a m u a m u b +-+-+++= 0,1,2,m = 称为k 阶线性差分方程，其中(),j m a m b 为给定的关于m 的函数，并且()()00k a m a m ≠。当0m b =时方程 （2） ()()()1100k m k k m k m a m u a m u a m u +-+-+++= 0,1,2,m = 称为齐次差分方程。如果整变量j 的函数j u 使（1）和（2）成为等式，则称j u 为相应方程的解。容易看出，如果021,,k u u u - （称为初始值）已给定，则由（1）或（2）可以逐次地定出(),1,j u j k k =+ 。 与线性方程组及线性常微分方程类似，对上述差分方程有 命题1 如果() () () 12,,,k m m m u u u 是齐次差分方程（2）的解，则它们的任意组合 （3） () () () 1212k m m m k m v c u c u c u =+++ 也是（2）的解，其中()1,2,,j c j k = 为常数。 命题2 设() () () 12,,,k m m m u u u 是k 阶齐次差分方程（2）的解，且行列式 （4） () ()() ()()()()()()12111122 22 120k k k k k k u u u u u u u u u ≠ 则齐次差分方程（2）的任何解均可表成（3）的形式，此时称（3）为（2）的通解。 如果() () () 12,,,k m m m u u u 满足条件（4），则称() () () 12,,,k m m m u u u 线性无关，故命题2可叙述

第二章 二阶线性偏微分方程的分类

第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1．把下列方程化为标准形式： （1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程，其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。 方法一：用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出： ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

定理1如果函数与是二阶线性齐次方程的两个解那末

定理1 如果函数与是二阶线性齐次方程（**）的两个解，那末 也是方程（**）的解（为任意常数）。 注：1 .这条性质说明齐次方程（**）的解满足叠加原理。 2 .函数是否方程（**）的通解呢？这要看与是否独立，如果，则 ， 式中只有一个独立常数，显然，此时不是（**）的通解。 下面给出两个函数线性相关、线性无关的概念： 设函数与在区间I有定义，且其中之一是另一个的常数倍（即），则称函数与线性相关，否则称为线性无关或线性独立。如：与相关；与无关； 与当时无关。 定理2 如果函数与是齐次方程（**）的两个线性无关的特解，则 （是任意常数）是齐次方程（**）的通解。

定理3 设是二阶非齐次方程（*）的一个特解，是与（*）对应的 齐次方程（**）的通解，则是二阶非齐次线性方程（*）的通解。 定理4 设与分别是方程 与的特解，则 是方程的特解。 二阶常系数齐次线性微分方程 形如为常数）（1） 或都是常数）的方程称为 二阶常系数齐次线性微分方程。 下面求它的通解设为方程（1）的解，将其代入方程得 （*） 此称为齐次方程（1）的特征方程，其根叫特征根，记称为齐次方程（1）的特征多项式。显然，如果是特征方程的根，则函数一定是齐次方程（1）的解，下面根据特征方程根的不同情况，讨论齐次方程（1）的通解形式 （1）特征方程有两个不等的实根与 由解的结构知方程（1）的通解为

（2）特征方程有两个相等的实根 此时只得到方程（1）的一个解，现找出与线性无关的另一个解，设，将代入方程（1）得 即 所以取得方程（1）的另一解， 方程（1）的通解为 （3）特征方程有一对共轭复根 此时，方程（1）的两个解为 ， 由齐次方程（1）的解的性质（叠加原理）知 ， 仍为方程（1）的解，且与线性无关， 方程（1）的通解为 综上所述，求二阶齐次常系数线性微分方程的通解的方法是： （1）写出特征方程，（2）求出特征根，（3）根据特征根的不同情况写出通解。

第八节二阶常系数线性差分方程

第八节 二阶常系数线性差分方程 二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式 12= ++++x x x by ay y （1） 二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 ) x f by ay y x x x =++++12（2） 一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 令x x y λ= 代入方程（1）得特征方程 02=++b a λλ （3） 根据特征方程（3）的根的三种情形写出通解 (1)第一种情形：特征方程（3）有两个不同的 实根 21λλ≠ ，通解为 () 为任意常数212 211,C C C C y x x x λλ+= (2)第二种情形：特征方程（3）有两个相同的 实根 λλλ==21 ，通解为 ()() 为任意常数2121,C C x C C y x x λ+= (2)第三种情形：特征方程（3）有一对共轭 复根 i βαλ±=2,1 ，通解为 () () 为任意常数2121,sin cos C C x C x C r y x x θθ+= 其中 () πβα β θβα<<>=+=0, 0arctan ,22r r 例1 求差分 方程 0612=--++x x x y y y 的通解。 解 特征方程 062 =--λλ 的根为 2,321-==λλ 原方程的通解为

()()为任意常数2121,, 23C C C C y x x x -+= 例2 求差分 方程 04412=+-++x x x y y y 的通解。 解 特征方程 0442 =+-λλ 的根为 221==λλ 原方程的通解为 ()()为任意常数2121,, 2C C x C C y x x += 例3 求差分方程 041 2=++x x y y 的通解。 解 特征方程 0412=+λ 的根为 i 21 2,1±=λ 原方程的通解 () 为任意常数2121,, 2sin 2cos 21C C x C x C y x x ??? ? ? +??? ??=ππ 例4 求差分 方程 016412=+-++x x x y y y 的通解。 解 特征方程 01642 =+-λλ 的根为 i 3222,1±=λ 原方程的通解 () 为任意常数2121,, 3sin 3cos 4C C x C x C y x x ??? ? ? +=ππ 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 ) x f by ay y x x x =++++12（2） 由上节定理3知道，差分方程（2）的通解应由对应齐次差分方程的通解 （前面已学过）和非齐次差分方程的特解两部分组成。我们只学习后部分。 二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法——待定系数法 1. 非齐 次项 ()()x P x f n = 型 （1）1不是特征方程的根，即1+a +b ≠0, 设

二阶线性微分方程解的结构教材

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 '()y p x y =-

而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1） 的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数

二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） I 上满A.1）的） 当f ） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?

注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理 A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解 阶函数y ） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

定理 A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。 定理1 说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。 定义A.1设函数12(),(),,()n y x y x y x L 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个 不全为零的常数12,,n k k k L ， ，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立， (,a （A.7）。 则y 其基础解系。 关于二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解，有如下结论 定理A.5 若函*()y x 是方程（A.6）的一个特解，()Y x 是方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解。 从定理A.4,A.5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解的一般步骤： （１）求解与（A.6）相伴的齐次方程（A.7）的线性无关的两个特解12()()y x y x 与，得该