布朗运动和伊藤引理的运用

布朗运动与伊藤引理的运用

唐雨辰3112352013 统计2107

一、引言

1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所著名数学家H.P.McKean的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。

二、相关概念和公式推导

1、布朗运动介绍

布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定

义是维纳（Winener ）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。

（1）、标准布朗运动

设t ?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z 在t ?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征：

特征1：z ?和t ?的关系满足下式：

z ?= (2.1)

其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。

特征2：对于任何两个不同时间间隔t ?，z ?的值相互独立。

从特征1可知，z ?本身也具有正态分布特征，其均值为0为t ?。

从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。

现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z 在一段较长时间T 中的变化情形。我们用z （T ）-z （0）表示变量z 在T 中的变化量，它可被看作是在N 个长度为t ?的小时间间隔中z 的变化总量，其中/N T t =?，因此，

1()(0)N

i z T z ε=-=∑ (2.2)

其中(1,2,)i i N ε= 是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，i ε是相互独立的，因此z （T ）-z （0）也具有正太分布特征，其均值为0，方差为N t T ?=，

由此我们可以发现两个特征：○

1在任意长度的时间间隔T 中，遵循标准布朗

运动的变量的变化值服从均值为0，○

2对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。

当0t ?→时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：

dz = （2.3）

（2）、普通布朗运动

为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率：漂移率是指单位时间内变量z 均值的变化值。方差率是指单位时间的方差。

标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来任意时刻z 的均值都等于它的当前值。方差率为1.0意味着在一段长度为T 的时间段后，z 的方差为1.0T ?。我们令漂移率的期望值为a ，方差率的期望值为2b ，就可以得到变量x 的普通布朗运动：

dx adt bdz =+ （2.4）

其中，a 和b 均为常数，dz 遵循标准布朗运动。这个过程指出变量x 关于时间和dz 的动态过程。其中第一项adt 为确定项，它意味着x 的期望漂移率是每单位时间为a 。第二项bdz 是随机项，它表明对x 的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b 倍给出的。

从上式（2.1）和（2.4）可知，在短时间t ?后，x 值的变化值x ?为：

x a t b ?=?+

因此，x ?也具有正态分布特征，其均值为a t ?，标准差为方差为2b t ?。同样，在任意时间长度T 后x 值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT ，标

准差为2b T 。

2、 伊藤引理

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率当做变量x 和时间t 的函数，我们可以从公式（2.4）得到伊藤过程。

其中，dz 是一个标准布朗运动，a 、b 是变量x 和t 的函数，变量x 的漂移率为a ，方差率为2b 。

在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x 遵循伊藤过程，则变量x 和t 的函数G 将遵循如下过程：

2221()2G G G G dG a b dt bdz x t x x

????=+++???? （2.5） 其中，dz 是一个标准布朗运动。由于222

12G G G a b x t x ???++???和G b x ??都是x 和

t 的函数，因此函数G 也遵循伊藤过程，他的漂移率为：222

12G G G a b x t x ???++???，方差率为22()G b x

??。公式（2.5）就是著名的伊藤引理。 3、 证券价格的变化过程

证券价格的变化过程可以用漂移率为S μ，方差为22S σ的伊藤过程来表示：

dS Sdt Sdz μσ=+ （2.6）

两边同时除以S 得：

dS dt dz S

μσ=+ （2.7） 其中S 表示证券价格，

μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率，2σ表示证券收益率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券的波动率。公式（2.7）又被称为几何布朗运动。

从式（2.7）可知，在短时间t ?后，证券价格比率的变化值

S S

?为： S

t S μ?=?+

可见，S S

?也具有正态分布特征，其均值为t μ?，标准差为，方差为2t σ?。换句话说

(,S t S

φμ?? 其中，(,)m s φ表示均值为m ，标准差为s 的正态分布。

在式（2.7）中，我们涉及两个符号，μ和σ，其大小取决于时间计量单位。在本文中，以年为时间的计量单位。

根据资本资产定价原理，μ值取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、

以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此μ的决定本身比较复杂。接下来我们将证明衍生证券的定价与标的资产的预期收益率（μ）是无关的。相反，证券价格的波动率（σ）对于衍生证券的定价则是相当重要的。证券价格的波动率可以理解为证券价格的“脾气”。我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过公式（2.7）来确定其未来价格的概率分布。应该注意的是，公式（2.7）把σ当做常数，实际上，σ会随时间的变化而变化。

4、 证券价格自然对数变化过程

利用伊藤引理来对到证券价格自然对数lnS 变化所遵循的随机过程。

令G=lnS ，由于

1G S S ?=?，2221G S S

?=-?，0G t ?=? 根据式（2.5），我们可以得出证券价格对数G 也遵循的随机过程为：

2

()2dG dt dz σμσ=-+ （2.8）

由于μ和σ是常数，所以上式说明证券价额对数G 也遵循普通布朗运动，它具有恒定的漂移率2/2μσ-，和恒定的方差率2σ。由前面的分析可知，在当前时刻t 和将来某一时刻T 之间G 的变化都是正态分布的，其均值为2(/2)()T t μσ--，方差为2()T t σ-。

令t 时刻G 的值为lnS ，T 时刻G 的值为lnS T ，其中S 表示t 时刻（当前时刻）的证券价格，S T 表示T 时刻（将来时刻）的证券价格，则在T-t 期间G 的变化为：

ln ln T S S -

这意味着：

2

ln ln [()(),2T S S T t σφμ--- （2.9）

也就是说，证券价格对数的变化呈正太分布。

根据正太分布的特性，从式（2.9）可以得到：

2

ln [ln ()(),2T S S T t σφμσ+-- （2.10）

三、布朗运动伊藤引理的运用

本文运用布朗运动和伊藤引理，选取了云南白药（000538）1993年——2013年的收盘价进行数据分析，数据来源于：通信达。

经过计算，得到云南白药股价的波动率为每年99.92%，预期收益率为每年21.33%，2013年5月16日的市价为87.88元。

1、假设该股票不付红利，计算一周后该股票价格变化的概率分布 因为0.2133μ=，0.9992σ=，其股价过程为：

0.21330.9992dS dt dz S

=+ 在随后短时间时隔后的股价变化为：

0.21330.9992S t S

?=?+由于一周等于0.0192年，因此

87.88(0.00410.1382)

0.360312.147S εε?=+=+

上式表示一周后股价的增加值是均值为0.3603元，标准差为12.147元的正态分布的随机抽样值。

2、假设该股票在6个月内不付红利，计算该股票6个月后价格ST 的概率分布。

由式（2.10）可知，6个月后的价格S T 的概率分布为：

0.9986

ln [ln87.88(0.2133)0.5,2

T S φ+-? ln [4.333,0.1508]T S φ

由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为

95.45%，因此，置信度为95.45%时：

4.0314ln 4.6346T S <<

56.3397102.9867T S <<

因此，6个月后云南白药的股价落在56.3397元到102.9867元之间的概率为95.45%。

根据式（2.10）和对数正态分布的特性，可知S T 的期望值E(S T )为：

()()T t T E S Se μ-=

这与作为预期收益率的定义相符。S T 的方差var （S T ）为：

22()()var()2[1]T t T t T S S e e μσ--=-

因此，云南白药在6个月后股票价格的期望值和标准差分别为：

0.21330.5()87.8897.7704T E S e ?==元

220.21330.50.99860.5var()87.88[1]=6190.136T S e e ???=?-

半年后云南白药股票价格的期望值为97.7704，方差为6190.136，标准差为78.677。