高中数学解析几何解题方法

高中数学解析几何解题方法
高中数学解析几何解题方法

解析几何常规题型及方法

核心考点

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2

2

2

1-=。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P

的轨迹方程。

分析:设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 1

2

1221-

=,x y 22

22

2

1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121

2

0+--

+-=。 又设中点P (x,y ),将x x x 122+=,y y y 122+=代入,当x x 12≠时得 22201212x y

y y x x -

--=·。 又k y y x x y x =

--=--12121

2

代入得2402

2

x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是24022

x y x y --+=

说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。

(1)求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ;

(2)求|||PF PF 13

23

+的最值。

分析:(1)设||PF r 11=,|PF r 22=,由正弦定理得

r r c

122sin sin sin()

αβαβ==

+。 得

r r c

122++=

+s i n s i n s i n ()

αβαβ, β

αβαs i n s i n )

s i n (++=

=

a c e (2)()()a ex a ex a ae x ++-=+3

3

3

2

2

26。 当x =0时,最小值是23a ;

当a x ±=时,最大值是26323a e a +。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程,直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

(1)证明:抛物线的准线为114:x p

=--

由直线x+y=t 与x 轴的交点(t ,0)在准线右边,得 t p

t p >--++>14

440,而 由消去得x y t

y p x y +==+???2

1()

x t p x t p 2220-++-=()()

?=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。

(2)解:设点A(x 1,y 1),点B(x 2,y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222, OA OB k k OA OB ⊥∴?=-,1 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220() ∴==+p f t t t ()2

2

又,得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-?+∞200,,

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。 典型例题

已知抛物线y 2=2px(p>0),过M (a,0)且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ,|AB|≤2p (1)求a 的取值范围;(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ,求△NAB 面积的最大值。

分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范围;对于(2)首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

解:(1)直线L 的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得:设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A

(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???

??=+=+>-+221212)(204)(4a

x x p a x x a p a ,又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,

,

2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221p a p p a p p p AB a p p x x x x y y x x AB ≤+<∴>+≤<+=-+=-+-=∴

解得:

.4

2p a p -≤<-

(2)设AB 的垂直平分线交AB 与点Q ,令其坐标为(x 3,y 3),则由中点坐标公式得:

p a x x x +=+=

2

2

13, .2

)

()(221213p a x a x y y y =-+-=+=

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p 2.又△MNQ 为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|=P 2,所以S

NAB =

2222

2

||22||||21p p p AB p QN AB =?≤?=?,即△NAB 面积的最大值为P 22。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题

已知直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上。若点A (-1,0)和点B (0,8)关于L 的对称点都在C 上,求直线L 和抛物线C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L :y=kx(k ≠0),C:y 2=2px(p>0)

设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:

A /

(12,11222+-+-k k k k ),B (1

)

1(8,1162

22+-+k k k k )。因为A 、B 均在抛物线上,代入,消去p ,得:k 2-k-1=0.解得:k=

251+,p=5

5

2. 所以直线L 的方程为:y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=5

5

4x.

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆C :x 2+y 2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

分析:如图,设MN 切圆C 于点N ,则动点M 组成的集合是:P={M||MN|=λ|MQ|},由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M 点坐标代入,可得:(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4λ2)=0.

当λ=1时它表示一条直线;当λ≠1时,它表示圆。这种方法叫做直接法。

(6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

典型例题 已知椭圆C 的方程x y 22

43

1+=,试确定m 的取值范围,使得对于直线y x m =+4,椭圆C 上有不同两

点关于直线对称。

分析:椭圆上两点(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,相减得31212()()x x x x +-+

412()y y +()y y 120-=。

又x x x =

+122,y y y =+122

,k y y x x =--=-12121

4,代入得y x =3。

又由y x

y x m ==+??

?

34解得交点(,)--m m 3。

交点在椭圆内,则有()()-+-

1,得-<<21313213

13m 。 (7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k k y y x x 1212

12

1···=

=-来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线l 的斜率为k ,且过点P (,)-20,抛物线C y x :()2

41=+,直线l 与抛物线C 有两个不同的交点(如图)。

(1)求k 的取值范围;

(2)直线l 的倾斜角θ为何值时,A 、B 与抛物线

C 的焦点连线互

相垂直。

分析:(1)直线y k x =+()2代入抛物线方程得k x k x k 2222

44440+-+-=(), 由?>0,得-<<≠110k k ()。 (2)由上面方程得x x k k

122

2

44=-, y y k x x 122

12224=++=()(),焦点为O (,)00。 2

2

arctan

=θ由k k y y x x k k OA OB

·==-=-12122211,得k =±2

2

或2

2arctan -=πθ

B:解题的技巧方面

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线340x y m ++=与圆x y x y 2

2

20++-=相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP OQ ⊥,求

m 的值。

解: 圆x y x y 2

2

20++-=过原点,并且OP OQ ⊥, ∴PQ 是圆的直径,圆心的坐标为M ()-1

2

1, 又M ()-

1

21,在直线340x y m ++=上, ∴?-+?+=∴=-3124105

2

()m m ,即为所求。

评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且OP OQ ⊥,PQ 是圆的直径,圆心在直线340x y m ++=上,而是设P x y Q x y ()()1122,、,再由OP OQ ⊥和韦达定理求m ,将会增大运算量。

评注:此题若不能挖掘利用几何条件∠=?OMP 90,点M 是在以OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,

计算量将很大,并且比较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O ,焦点在y 轴上的椭圆与直线y x =+1相交于P 、Q 两点,且OP OQ ⊥,||PQ =102

,求此椭圆方程。

解:设椭圆方程为ax by a b 2

2

10+=>>(),直线y x =+1与椭圆相交于P ()x y 11,、Q x y ()22,两点。

由方程组y x ax by =++=???1

1

22

消去y 后得

()a b x bx b x x b a b x x b a b

+++-=∴+=-+=

-+21212210

21,

由k k OP OQ ?=-1,得y y x x 1212=- (1) 又P 、Q 在直线y x =+1上,

y x y x y y x x x x x x 1122121212121213111

=+=+??

?∴=++=+++,

,()()

()()() 把(1)代入,得2101212x x x x +++=(), 即

21210()b a b b

a b

-+-++=

化简后,得

a b +=2 (4) 由||PQ =

102,得()()x x y y 122122

52

-+-= ∴-=

+-=+--+=()()()()x x x x x x b a b b a b 1221221225445

4

24154

,,

把(2)代入,得48302

b b -+=,解得b =

12或b =3

2

代入(4)后,解得a =

32或a =1

2 由a b >>0,得a b ==321

2

,。

∴所求椭圆方程为322

122x y += 评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。

三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C x y x y 12

2

420:+-+=和C x y y 22

2

24:+--=0的交点,且圆心在直线l :

2410x y +-=上的圆的方程。

解:设所求圆的方程为:

x y x y x y y 222242240+-+++--=λ()

即()()()11421402

2

+++-+--=λλλλx y x y , 其圆心为C (

211

1

+-+λλλ,

又C 在直线l 上,∴22141110?

++?-+-=λλλ,解得λ=1

3

,代入所设圆的方程得x y x y 22310+-+-=为所求。

评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

典型例题 P 为椭圆22

221x y a b

+=上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形OAPB 面积的最大值

及此时点P 的坐标。

五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是:把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中,得到型如

ax bx c 20++=的方程,方程的两根设为x A ,x B ,判别式为△,则||||AB k x x A B =+-=12·|

|12a k △·+,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线x y -+=10被椭圆x y 2

2

416+=所截得的线段AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

例 F 1、F 2是椭圆

x y 22

259

1+=的两个焦点,AB 是经过F 1的弦,若||AB =8,求值||||22B F A F + ③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A (3,2)为定点,点F 是抛物线y x 2

4=的焦点,点P 在抛物线y 2

=4x 上移动,若||||PA PF +取得最小值,求点P 的坐标。

高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习

高中数学必修一求函数解析式解题 方法大全及配套练习 一、 定义法: 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】设23)1(2 +-=+x x x f ,求)(x f . 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2 ++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 【例2】设2 1 )]([++= x x x f f ,求)(x f . 解:设x x x x x x f f ++=+++=++=11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 【例3】设3 3 22 1)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++ =+,求)]([x g f . 解:2)(2)1 (1)1(2222-=∴-+=+=+ x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([2 4 6 2 3 -+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 解:)2 ( 17cos )]2 [cos()(sin x x f x f -=-=π π x x x 17sin )172 cos()1728cos(=-=-+ =π π π.

二、 待定系数法:(主要用于二次函数) 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程, 从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 1 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2 )1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ?? ?=++=+8 2 2b a b b a 解得 ?? ?==. 7, 1b a 故f (x )= x 2+7x. 【例3】已知1392)2(2 +-=-x x x f ,求)(x f . 解:显然,)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2 +-=-x x x f 比较系数得:?????=+--=-=1324942c b a a b a 解得:?? ???=-==312c b a 32)(2 +-=∴x x x f

高中数学解题方法大全

第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a +b) =a +2ab +b ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 + b 2=(a +b)2 -2ab =(a -b)2 +2ab ; a 2 +a b +b 2 =(a +b)2 -ab =(a -b)2 +3ab ; a 2 + b 2 + c 2 +ab +bc +ca = 2 1[(a +b)2 +(b +c) 2+(c +a) 2] a 2+b 2+c 2=(a +b +c) 2-2(ab +bc +ca)=(a +b -c)2 -2(ab -bc -ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sin αcos α=(sin α+cos α) ; x + =(x + ) -2=(x - ) +2 ;…… 等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a }中,a ?a +2a ?a +a ?a =25,则 a +a =_______。 2. 方程x +y -4kx -2y +5k =0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 C. k ∈R D. k = 或k =1 3. 已知sin α+cos α=1,则sin α+cos α的值为______。

高中数学知识点以及解题方法大全

前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化 归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化( 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab; a 2 +ab+b 2 =(a+b) 2 -ab=(a-b) 2 +3ab=(a+ b 2) 2 +( 3 2b) 2 ; a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca= 1 2[(a+b) 2 +(b+c) 2 +(c+a) 2 ] a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) 2 -2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) 2 ; x 2 + 1 2 x=(x+ 1 x) 2 -2=(x- 1 x) 2 +2 ;……等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n}中,a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25,则 a3+a5=_______。 2. 方程x 2 +y 2 -4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k= 1 4或k=1 3. 已知sin 4 α+cos 4 α=1,则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log1 2 (-2x 2 +5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 5 4] B. [ 5 4,+∞) C. (- 1 2, 5 4] D. [ 5 4,3) 5. 已知方程x 2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x 2 +y 2 =4上,则实数a=_____。 【简解】 1小题:利用等比数列性质a m p -a m p +=a m 2 ,将已知等式左边后配方(a3+a5) 2 易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ,解r 2 >0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sin 2 α+cos 2 α) 2 -2sin 2 αcos 2 α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3-11。 Ⅱ、示范性题组: 例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则211 424 () () xy yz xz x y z ++= ++= ? ? ? ,而欲求对角线长x y z 222 ++,将其配凑成两已知式的组合形式可得。

高中数学解题方法之构造法(含答案)

十、构造法 解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思考,但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难,甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向,换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家,如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人,都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术,蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝,能为数学问题的解决增添色彩,更具研究和欣赏价值。近几年来, 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视,在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础,较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提, 根据题目的特征,对问题进行深入分析,找出“已知”与“所求(所证)”之间的联系纽带, 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时,被构造的对象是多种多样的,按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等,从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的,没有固定的程序和模式,不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律:在运用构造法时,一要明确构造的目的,即为什么目的而构造;二要弄清楚问题的特 点,以便依据特点确定方案,实现构造。 再现性题组 1、求证: 3 10910 22≥++=x x y (构造函数) 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1,则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x (构造函数) 3、已知01a <<,01b <<,求证: 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a (构造图形、复数) 4、求证:9)9(272≤-+x x ,并指出等号成立的条件。(构造向量) 5、已知:a>0、b>0、c>0 ,求证:222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。(构造图形) 6 、求函数y = 再现性题组简解: 1、解:设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==,用定义法可证:f (t )在),3[+∞上单调递增,令:3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题:解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析:设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=,x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P (x,y ),将x x x 122+=,y y y 122+=代入,当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 , 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。 (1)求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ; (2)求|||PF PF 13 23 +的最值。

高中数学解题的21个典型方法和技巧

高中数学解题的21个典型方法与技巧 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是:把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有: ①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ①零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ①两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。 ①几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是:提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有: ①()2 222a ab b a b ±+=± ①()2 222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ①()()()22222212 a b c ab bc ca a b b c c a ??+++++=+++++?? ①222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ??-????++=++=+??++-=++ ? ? ??????? 4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是:设元→换元→解元→还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是:①设①列①解①写

6、复杂代数等式条件的使用技巧:右边化为零,左边变形。 ①因式分解型:()()0---?---=,两种情况为或型。 ①配成平方型:()()22 0---+---=,两种情况为且型。 7、数学中两个最伟大的解题思路: ①求值的思路 ?????→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ①求取值范围的思路 ??????→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组 8的基本思路:把m 化成完全平方式。 即 2 m a a a =???=??????→按的情况分类讨论结果 9()2 a x y ±=±其中220xy x y a x y =+=>>且。 10、代数式求值的方法有:①直接代入法①化简代入法①适当变形法(和积代入法)。注意:当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母“和与积”的形式,从而用和积代入法求值。 11、方程中除未知数以外,含有的其他字母叫做参数,这种方程叫做含参方程。解含参方程一般要用“分类讨论法”,其原则是:①按照类型求解①根据需要讨论①分类写出结论。 12、恒等成立的条件: ①0ax b +=对于任意x 都成立?关于x 的方程0ax b +=有无数个解?00a b ==且。 ①20ax bx c ++=对于任意x 都成立?关于x 的方程20ax bx c ++=有无数个解?

高中最全数学解题的思维策略资料全

一、《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课,因为今年暑假刚去安徽写生画图,
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来,误了 4 天的课程,最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课,再给大家补 5 天的课程,
去年高考难,很多学生数学考得也很不错,,很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子,那几年留学很流行,大家可能会说,留
学很贵,实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了,
补课也是,讲到的某些知识点能被大家用到高考中,增加分数,高
考中分数的重要性,,我姐是个老师,我姐经常说孩子们考好了,
家长就说,,考不好,家长就说老师和郭师哥教的不好,实际上主
体还是我们学生,次要的才是老师,家长,环境,据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错,
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容,把大家数学必修的知识点
基本过一遍,再做相应的习题,中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题;很多我归纳的知识和一些数学技巧;在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略,如果最后还有时间的话,还会给大家讲一下
一些英语,语文和其他科目的技巧。


数学教学的目的在于培养学生的思维能力,培养良好思维品质的途径,是进行有效
的训练,本策略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解:
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲,考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖,这个变通不只是说思维,也可以说是大家对数学卷子的一种变通,高考 120 分
钟,12 道选择,4 道填空,基本用时不超过 50 分钟,选这题一般最后 2 个比较难,填
空题一般最后一个比较难,大家很容易被这卡主,流汗,紧张,看到你旁边的人第 2 道

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求.

高中数学解题方法及解析大全

最全面的高考复习资料 目录 前言 (2) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第一章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注:①当 90=α或12x x =时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地,当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴,y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时,直线方程是:1=+b y a x . 注:若23 2--=x y 是一直线的方程,则这条直线的方程是23 2--=x y ,但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附:直线系:对于直线的斜截式方程b kx y +=,当b k ,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果b k ,变化时,对应的直线也会变化.①当b 为定植,k 变化时,它们表示过定点(0,b )的直线束.②当k 为定值,b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是:①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. (一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则 1l ∥212k k l =?,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件,且21C C ≠)

高中数学解题思想方法大全

目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

高中数学7大解题思路

高中数学的7大解题方法 想要提高数学成绩,不是多做题就可以了。创世教育认为,保证做题量是学好数学的必要条件,在做题的同时要保证做题的质量,善于分析,对题型进行深入思考。我教过的学生很多,好学生和成绩不好的学生之间差别在于,好学生是很善于总结与归纳的。总结题型归纳方法是数学学习的更高境界,只有用数学的思想武装自己,灵活运用各种解题方法,才能更有效的学习数学。高中数学常用的无非就是七种解题方法与四大思想,熟练掌握,成绩想不提高都难。这里创世教育先讲一讲方法: 第一大解题方法:配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺项的二次曲线的平移变换等问题。 第二大解题方法:换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会此想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.如变量x,y。 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。

高中数学解题方法谈线性规划求最值问题

线性规划求最值问题 一、与直线的截距有关的最值问题 例1 已知点()P x y ,在不等式组2010220x y x y -??-??+-? ,,≤≤≥表示的平面区域上运动,则z x y =-的 取值范围是( ). (A )[-2,-1] (B )[-2,1] (C )[-1,2] (D )[1,2] 解析:由线性约束条件画出可行域如图1,考虑z x y =-, 把它变形为y x z =-,这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线.z -是直线在y 轴上的截距.当直线满足约束条件且 经过点(2,0)时,目标函数z x y =-取得最大值为2; 直线经过点(0,1)时,目标函数z x y =-取得最小值为-1.故选(C ). 注:本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为(0,1),(2,1),(2,0),然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为[-1,2]更为简单.这需要有最值在边界点取得的特殊值意识. 二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ,满足20240230x y xc y y --??+-??-? ,,,≤≥≤,则y z x =的最大值是__________. 解析:画出不等式组所确定的三角形区域ABC (如图2),00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ,,,确定的直线的斜率,要求z 的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由图2可以看出直线OP 的斜率最大,故P 为240x y +-=与230y -=的交点,即A 点. ∴312P ?? ???,.故答案为32 . 注:解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -= =-的 几何意义,当然本题也可设y t x =,则y tx =,即为求 y tx =的斜率的最大值.由图2可知,y tx =过点A 时, t 最大.代入y tx =,求出32 t =, 即得到的最大值是32 . 三、与距离有关的最值问题

高中数学解析几何大题专项练习.doc

解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G:1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为 5 2. (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k(k≠0)的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q 为EF的中点,问E、F 两点能否关于 过点P(0, 3 3 )、Q 的直线对称?若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ,动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切,且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . (Ⅰ)求 k 的取值范围,并求x2 x1 的最小值; (Ⅱ)记直线P1A1 的斜率为k1 ,直线P2A2 的斜率为k2 ,那么,k1 k2 是定值吗?证明你的结论.

3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F,点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点,点 A 关于x 轴的对称点为 D .(1)求抛物线C 的方程。 (2)证明:点F 在直线BD 上; u u u r uu u r 8 (3)设 FA ?FB ,求BDK 的面积。.9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为中点 T 在直线OP 上,且A、O、B 三点不共线. (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率; ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值.1 2 ,点 P(2,3)、A、B在该椭圆上,线段AB 的

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合,因而可以说数学思维是动的数学,而数学知识本身是静的数学,这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等研究; 高中数学思维能力评估:广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析,作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种:逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式,数学概念间的逻辑关系,a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系2、判断是逻辑思维在概念基础上的发展,它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定,是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式,是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图,2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象(普遍形象的特征去比较数学对象的个象,根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类

象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式,对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形,实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。8图式想象是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工与改造。9关于联想和猜想,它们既是数学形象思维中想象推理不同表现形式,也是数学形象思维的重要方法。 三数学直觉思维的基本形式1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进敏锐的分析、推理,并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。2。灵感(或顿悟是直觉思维的另一种形式。 直觉思维是一种敏锐、快速的综合思维,既需要知识组块和逻辑推理的支持,也需形象、经验和似真推理的推动。 意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识,而灵感是潜意识。 思维的基本规律 一反映同一律:等值变形,等价变换 二思维相似律:同中辨异,异中求同 数学思维的特性 一数学思维的概括性数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律,能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。 二数学思维的问题性数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的,定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏,只有问题是数学的心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程,数学问题的推广、引申和应用过程,是新的数学问题发现和解决的过程,也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。 三数学思维的相似性数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式,从已解决的问题中概括出思维模式,再用模式去处理类似问题。并进而形成新模式,构成相似系列,即各种概念、命题与方法的相似链。 数学思维的材料与结果 数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G :)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25 (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于 过点P (0, 3 3)、Q 的直线对称若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值; (Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线 C 的方程。 ~ (2)证明:点F 在直线BD 上; (3)设8 9 FA FB ?=,求BDK ?的面积。. { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为1 2 ,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值. - 、

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