四川高考2008年理科数学含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）

数 学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式

)()()(B P A P B A P +=+ 2

4R S π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

)()()(B P A P B A P ?=? 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么

33

4R V π=

n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

k n k

k n n P P C k P --=)1()(

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U A B = e

（A ）{2,3} （B ）{1,4,5}

（C ）{4,5} （D ）{1,5}

2、复数2

2(1)i i +=

（A ）4-

（B ）4

（C ）4i -

（D ）4i

3、2

(tan cot )cos x x x +=

（A ）tan x

（B ）sin x

（C ）cos x

（D ）cot x

4、将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为

（A ）11

33

y x =-

+

（B ）1

13

y x =-

+

（C ）33y x =- （D ）1

13

y x =

+

5、设0≤2απ<，若sin αα>，则α的取值范围是

（A ）(

,)32

ππ （B ）(

,)3

π

π

（C ）4(

,)33

ππ

（D ）3(

,)32

ππ

6、从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不

同的挑选方法共有

（A ）70种 （B ）112种 （C ）140种 （D ）168种

7、已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是

（A ）(,1]-∞-

（B ）(,0)(1,)-∞+∞

（C ）[3,)+∞

（D ）(,1][3,)-∞-+∞

8、设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：

（A ）3:5:6 （B ）3:6:8 （C ）5:7:9 （D ）5:8:9

9、设直线l ?平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30?角的直线有且只有：

（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 10、设()sin()f x x ω?=+，其中0?>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是

（A ）(0)0f =

（B ）(0)1f =

（C ）(0)1f '=

（D ）(0)0f '=

11、定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ?+=，(1)2f =，则(99)f =

（A ）13

（B ）2

（C ）

13

2

（D ）

213

12、已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且

||||

AK AF =，则△AFK 的面积为 （A ）4 （B ）8

（C ）16

（D ）32

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（13）、34

(12)(1)x x +-展开式中2

x 的系数为 ．

（14）、已知直线:40l x y -+=与圆2

2

:(1)(1)2C x y -+-=，则C 上各点到l 距离的最小值为 ．

（15）四棱柱的体积等于 ．

（16）、设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若4S ≥10，5S ≤15，则4a 的最大值为 ．

学校 班级 姓名 考号

////////密///////////封/////////////线/////////////内/////////////不/////////////要/////////////答/////////////题///////

2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）

数 学（理工农医类）

韩先华编辑

一、选择题答题卡：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 选项

二、填空题答题卡：

⒔ 。⒕ 。⒖ 。⒗ 。

三.解答题 共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值．

得分 评卷人

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．

如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=?，BC ∥12

AD ，BE ∥12

AF ．

（Ⅰ）证明：C 、D 、F 、E 四点共面；

（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．

设数列{}n a 的前项为n S ，已知2(1)n n n ba b S -=-． （Ⅰ）证明：当2b =时，1{2}n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式．

设椭圆22

221x y a b += (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，

离心率e =，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，1

20FM F N =

．

（Ⅰ）若1

2||||FM F N ==

a 、

b 的值； （Ⅱ）证明：当||MN

取最小值时，12FM F N + 与12F F 共线．

已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．

（Ⅰ）求a ；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

理科数学(含详细解析)

说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．

一、选择题：（5'1260'?=）

1．若集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =2,，{234}B =，，，则()U C A B = （ ）

A ．{2,3}

B ．{1,4,5}

C ．{4,5}

D ．{1,5}

解析：选B ．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故． 2．复数22(1)i i +=（ ）

A ．-4

B ．4

C ．-4i

D ．4i

解析：选A ．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福． 3．2(tan cot )cos x x x +=（ ）

A ．tan x

B ．sin x

C ．cos x

D ．cot x

解析：原式3

2sin cos cos ()cos sin cos cos sin sin x x x x x x x x x

=+=+

23sin cos cos sin x x x x

+=

2

2

cos (sin cos )sin x x x x +=

cos sin x x =cot x =，选D ．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三

角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．

4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）

A ．1133y x =-+

B ．113y x =-+

C ．33y x =-

D ．113

y x =+

解析：本题有新意，审题是关键．

旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3

y x =--．选A ．

本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．

5．若02απ≤<，sin αα，则α的取值范围是（ ）

A ．(,)32ππ

B ．(,)3ππ

C ．4(,)33ππ

D ．3(,)32

ππ

解析：sin αα，即sin 0αα>，即2sin()03πα->，即sin()03

πα->；

又由02απ≤<，得5333

πππα-≤-<；

综上，03

παπ≤-<，即43

3

ππα≤<．选C ．本题考到了正弦函数的正负区间．

除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．

3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．

6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（ ）

A ．70

B ．112

C ．140

D ．168

解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．44

10821070140C C -=-=．选C ． 本题应注意解题策略．

7．已知等比数列{}n a 中，21a =，则该数列前三项和3S 的取值范围是（ ）

A ．(,1]-∞-

B ．(,0)(1,)-∞+∞

C ．[3,)+∞

D ．(,1][3,)-∞-+∞

解析：3

11S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x +≥或12x x

+≤-，故本题选D ．本题主要

考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．

8．设M 、M 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）

A ．3：5：6

B ．3：6：8

C ．5：7：9

D ．5：8：9

解析：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求

得：

22

28()39

R R R -=

，2

2225()39R R R -=，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99R R R ，故本题选D ．

本题着意考查空间想象能力．

9．设直线l ?平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30?角的直线有且只有（ ）

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B ． 本题考查空间角的概念和空间想象能力．

10．设()sin()f x x ω?=+，其中0?>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（ ）

A ．(0)0f =

B ．(0)1f =

C ．'(0)1f =

D ．'(0)0f =

解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()f x 是偶函数，则2

k π?π=+，(0)1f =±，故排除A ，B ．

又'()cos()f x x ωω?=+，2

k π?π=+，'(0)0f =．选D ．

此为一般化思路．也可走特殊化思路，取1ω=，2

π?=±验证．

11．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ?+=，(1)2f =，则(99)f =（ ）

A ．13

B ．2

C ．132

D ．213

解析：由()(2)13f x f x ?+=，知(2)(4)13f x f x +?+=，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)

2

f f f f =+?===．选C ．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽

象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．

12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C

上且AK ，则AFK ?的面积为（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设

(,)

A x y ，

由AK

2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：

22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822

AFK A S FK y ?=??=??=，选B ．

本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．

点评：

(1)纵观12道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了2008地震的光? (2)真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信．

(3)进一步体现了回归教材的意图，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之． (4)全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失． (5)周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思． 二、填空题：（4'416'?=）

13．34(12)(1)x x +-的展开式中2x 项的系数是 答案：6-．

解析：二项式定理再现，难度高于文科． 34122122

3344(12)(1)(124)(1)

x x C x C x C x C x +-=+?+?+-++

2x 项的系数是2112434324624126C C C C -+=-+=-．

这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．

14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是

答案：

解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=

的距离

d =

15．

则该正四棱柱的体积是 ．

答案：2．

解析：由题意，2226

cos a a h θ?++=??=?

?

12a h =???=?，22V a h ?==

16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是 .

答案：4．

解析：由题意，11

434102545152

a d a d ??+≥???

??+≤??，即11461051015a d a d +≥??

+≤?，1123523

a d a d +≥??

+≤?，413a a d =+．

这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523

a d a d +≥??

+≤?（图略），画出

目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．

因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，

由121221323

λλλλ+=??

+=?解得1213λλ=-??=?，

∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++， 由不等式的性质得：1123523a d a d +≥??+≤? 11(23)53(2)9

a d a d -+≤-???+≤? 11(23)3(2)4a d a d ?-+++≤，即

4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．

从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．

点评：（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点．

（2）无多选压轴题．无开放性压轴题．易入手，考不好考生只能怪自已．题出得基础，出得好，出得妙．尤其是第16题．

17．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-

2484sin cos 14cos 4cos x x x x =--+- 2284sin cos (12cos )x x x =---

282sin 2cos 2x x =--

282sin 2(1sin 2)x x =---

272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+- max 10y =，min 6y =．

解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-

2272sin 24cos (1cos )x x x =-+-

2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+-

max 10y =，min 6y =．

点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．

18.解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．

（Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =?-+-?0.20.30.5=+= （Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．

33(0)(10.8)0.008P C ξ==?-=

123(1)(10.8)0.80.096P C ξ==?-?= 223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==?-?=

A C

D E F 3

33(3)0.80.512P C ξ==?=

的分布列为

30.8 2.4E ξ=?=．

点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．

19．解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题． （Ⅰ）∵面ABEF ⊥面ABCD ，90AF AB ⊥=?

∴AF ⊥面ABCD ．

∴以

A 为原点，以A

B ，AD ，AF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 不妨设AB a =，2AD b =，2AF c =，则 (0,0,0)A ，(,0,0)B a ， (,,0)C a b ，(0,2,0)D b ，

(,0,)E a c ，(0,0,2)F c ． ∴(0,2,2)DF b c =-

，

(0,,)

CE b c =-

， ∴2DF CE = ， ∴//DF CE ， ∵E DF ?，∴//DF CE ，∴C 、D 、E 、F 四点共面． （Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==， ∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(1,0,1)E ．

设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =

，

由1100

n AE n AD ??=???=?? ，得111020x z y +=??

=?，1(1,0,1)n =- 设平面BED 的法向量为2222(,,)n x y z =

由21

00n BE n BD ??=???=??

，得222020z x

y =??-+=?，2(2,1

,0)n =

12cos ,n n <>

1212

n n n n ?=?

由图知，二面角A ED B --为锐角， ∴其大小为

点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18题用时之和．

20.解析：由题意，在2(1)n n n ba b S -=-中， 令1n

=，得112(1)ba b a -=-，12a =．

由2(1)n n n ba b S -=-

得1112(1)n n n ba b S ----=-(2,*)n n N ≥∈ 两式相减得：11()2(1)n n n n b a a b a ----=- 即112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈ …① （Ⅰ）当2b

=时，由①知，1122n n n a a --=+

于是11122(1)2n n n n a n a n ----?=--?

212[(1)2]n n a n --=--?(2,*)n n N ≥∈

又1111210a --?=≠，所以1{2}n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列．

（Ⅰ）变：当2b =时，求n a 的通项公式．解法如下： 解：当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+

两边同时除以2n

得

111222n n n n a a --=+(2,*)n n N ≥∈ 111

222n n n

n a a ---=(2,*)n n N ≥∈ ∴{

}2n n a 是等差数列，公差为12

，首项为1

12a = ∴111(1)(1)222

n n a n n =+-=+ ∴1(1)2n n a n -=+（∴1122n n n a n ---?=，∴1{2}n n a n --?是等比数列，首项为1，公比为2） （Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---?=，即1(1)2n n a n -=+?

当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+

两边同时除以2n

得11

12222

n n n n a a b --=?+

可设

1

1

()222n n n n a a b λλ--+=?+ …………② 展开②得1122222

n n n n a a b b λ---=?+?，

与1112222

n n n n a a b --=?+比较， 得212

2

b λ-?=，∴12

b λ=-．

∴1

1

11(2

2

22

2

n n n n a a b b b --+=?+-- ∴1{}2

2

n n

a b +-是等比数列，

公比为2b ，首项为11122

b b b -+

=

--

∴111()2222

n n n a b b b b --+=?-- ∴

111()2222

n n n a b b b b --=?--- ∴11112(1)22()2222n n

n n n b b b b a b b b -----??=?-=??---??

点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊． 21．解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．

（Ⅰ）由已知，

1(,0)F c -，2(F c

由e ，2

212

c a =∴22

2a c =．

又222a b c =+，

∴22b c =，22a =∴l ：222a c x c c

==12延长2NF 交1MF 于

P ，记右准线l 交x 轴于Q ． ∵120FM F N ?= ，∴1

2FM F N ⊥ ．12F M F N ⊥

由平几知识易证1Rt MQF ?≌2Rt F QN ? ∴13QN FQ c ==，2QM F Q c == 即1y c =，23y c =．

∵12F M F N ==

∴22920c c +=，22

=，2

2b =，24a =． ∴2a =，b =

（Ⅰ）另解：∵12

0FM F N ?=

，∴12(3,)(,)0c y c y ?=

，21230y y c =-<． 又12F M F N ==

联立2

1222

122

2392020

y y c c y c y ?=-?+=??+=?，消去1y 、2y 得： 222(209)(20)9c c c --=，

整理得：4292094000c c -+=，

22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．

但解此方程组要考倒不少人．

（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ?=?=

， ∴21230y y c =-<．

2

2

22121212

2

121212222412MN y y y y y y y y y y y

y c =-=+-≥--=-=

．

当且仅当12y y =-

或21y y =

-时，取等号．此时

MN

取最小值．

此时1212(3,)(,)(4,0)2F M F N c c c F F +=+==

． ∴12FM F N + 与12

F F 共线． （Ⅱ）另解：∵120FM F N ?=

， ∴12(3,)(,)0c y c y ?=，2123y y c =-． 设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k

-．

由1

()32y k x c y kc x c

=+??=?=?， 由21()2y x c c y k k

x c

?

=--??=-

??=?

1213MN y y c k k

=-=?+≥

． 当且仅当13k k =即21

k =，k =

时取等号．

即当MN

最小时，k =，

此时1212

(3,3)(,)(3,)(,)(4,0)2c F M F N c kc c k c c c F F +=+-=+==

∴1

2FM F N + 与12F F 共线． 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．

22．解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．

（Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-

'()2101a

f x x x

=

+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．

'(3)404

a

f =

-= 16a =

（Ⅱ）由（Ⅰ）2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞ 2

162862(1)(3)'()210111

x x x x f x x x x x -+--=+-==+++令

'()0f x =，得1x =，3x =．

和随x 的变化情况如下：

()f x (3,)+∞(1,3)（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减． ∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，

()(3)32ln 221f x f ==-极小．

又1x +→-时，()f x →-∞； x →+∞时，()f x →+∞；

可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，

当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--．

点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．