江苏省运河中学2015

江苏省运河中学2014-2015学年度第一学期第二次学情调研试题

高一数学

一、填空题

（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．

）. 1. 0600cos 的值是 ▲ ．

2. 化简=--+CD AC BD AB ▲ .

3．设扇形的半径长为8cm ，面积为2

4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ▲ .

4. =___▲_____．

5.下列四个命题:

（1）两个单位向量一定相等 （2）若与不共线，则与都是非零向量 （3）零向量没有方向 （4）两个相等的向量起点、终点一定都相同 正确的有： ▲ （填序号） 6．函数()cos()5

f x x π

ω=-

最小正周期为

3

π

，其中0>ω，则=ω ▲ ． 7．1

cos(75)3

α?+=

，且α为第三象限角，则sin(105)α-?=____▲_____ 8. 为了得到函数-

=x y 2sin(3

π

)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移个_▲__

长度单位

9．函数y 的定义域是 ▲

10. 函数sin()4

y x π=-+的单调递减区间是 ▲

11. 已知向量(3,2),(2,1),(7,4)a b c =-=-=-，用,a b 表示向量c 的式子为__▲_____.

12.设,0>?若函数x x f ?sin 2)(=在]4

,3[π

π-

上单调递增，则?的取值范围是___▲__.

13.将函数sin(2)3

y x π

=-的图象向左平移()0>??个单位,得到的图象对应的函数为

()x f ,若()x f 为奇函数,则?的最小值为___▲

___ 14．给出下列命题：

① 存在实数α,使1cos sin =?αα

②函数)2

3

sin(x y +=π是偶函数

③f (x )＝4sin ????2x ＋π3(x ∈R ) 图象关于????－π

6，0对称 ④若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >

其中正确命题的序号是_______▲_______

二、解答题（本大题共6个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分14分)若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠,求sin θ和cos θ的值.

16. (本题满分14分) 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (10,8)，若AP →＝AB →＋λAC →

(λ∈R )，求当λ为何值时:

(1)点P 在直线y x =上? (2)点P 在第二象限内?

17. (本题满分15分)已知s i n ,c o s αα是方程2

40x x m ++=的两实根,求(1)sin cos αα-的值; (2)3

3

sin cos αα+的值.

18．(本题满分15分)已知在△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →

，AD

与BC 交于M 点，求点M 的坐标．

19 （本题满分16分）函数f (x )＝Asin(ωx ＋?)(A >0，ω>0，|?|<π

2)的一段图象(如图所

示) (1) 求其解析式．(2)求()f x 的单调递增区间．(3)求()f x 在区间,46ππ??

-????

上的最大值和最小值.

20．（本题满分16分）

已知：函数2()sin cos f x x x a =-+ （1）求函数()f x 的最值.

（2）当a 为何值时,方程()0f x =在区间[0,2)π有两解? （3）求函数()f x 在区间[]0,2π上的单调递增区间.

第二次学情调研高一数学参考答案 一.填空题:

1.

12

-

,2.

3.

18

4.

sin 4

- 5.(2) 6.6 7.

8.

6

π 9.522,66x

k x k k z ππππ??+≤≤+∈???? 10.32,2()44k k k z ππππ??

-++∈???? 11.2c a b =-

12.(0,

32] 13.6

π

14.(2)(3) 二.解答题:

15. 解: 由P 点坐标为(4,3)a a -所以5(0)r a a ==≠

当0a >时,5r a = 所以 33sin 55y a r a θ-===-,44

cos 55x a r a θ===

当0a <时,5r a =- 所以 33sin 55y a r a θ-=

==-,44cos 55

x a r a θ===-- 16. 解:设点P 的坐标为(,)x y 所以(2,3)AP x y =--,(3,1);(8,5)AB AC == 由AP AB AC λ=+ 所以有(2,3)(3,1)(8,5)x y λ--=+

得:5845x y λ

λ

=+??

=+?

(1)由点P 在直线y x =上 则有5845λλ+=+ 13

λ=- 即当1

3

λ=-

时点P 在直线y x =上. (2)当00x y

>?即580340λλ+?,45

5

8λ-<<-

当45

58

λ-

<<-时点P 在第二象限内.

17. 解（1）

2sin ,cos 40x m αα++=是方程的两根

∴由韦达定理得

sin cos αα+== 解得1sin cos 4

αα=

由22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=

21(sin cos )2

αα∴-=

sin cos αα-=…………………………………………………………………………8分

（2）3

3

sin cos αα+=22(sin cos )(sin sin cos cos )αααααα+-+

=1)248

-

-=-

………………………………………1 5分 18. 解 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA →＝(0,5)，OB →

＝(4,3)．

令OC →＝(x C ，y C )＝14OA →

＝????0，54. ∴点C 的坐标为????0，54.同理可得点D 的坐标为????2，32. 设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，而AD →＝????2－0，32－5＝????2，－7

2. ∵A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线．∴－7

2

x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①

而CM →＝????x ，y －54，CB →＝????4－0，3－54＝????4，7

4. ∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →平行． ∴7

4

x －4????y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立式①②解得x ＝12

7，y ＝2. 故点M 的坐标为????127，2.

19. 解：(1)设函数f (x )的周期为T ，

则由图知43T=43887π

ππ=-，∴T=π

∴22==π

π

ω ∴f (x )＝Asin(2x ＋?)

将点(0,87π)代入得sin(2×87π＋?)=0， ∴φπ

+4

7=2k π k ∈Z ∴φ=πk π

24

7+- k ∈Z ∵|?|<π

2

∴φ=

4

π ∴f (x )＝Asin(2x ＋

4

π) 将点(0,2)代入得2=Asin

4

π

，∴A=2 ∴f (x )＝2sin(2x ＋4π) (2)由f (x )＝2sin(2x ＋4

π

)

函数的单调增区间满足222,2

4

2

k x k k z π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈

3,88

k x k k z ππ

ππ-

+≤≤+∈ 函数的单调增区间为3[,]()88k k k z ππ

ππ-++∈ (3)

,46x ππ??

∈-????

72[,]

4412x πππ∴+∈-

sin(2)[4x π∴+∈

当4

x π

=-时min ()f x =当8

x π

=

时max ()2f x =

所以()f x 在区间,46ππ??

-

????

上的最大值为2最小值.为20. 解(1)由22()sin cos sin (1sin )f x x x a x x a =-+=--+

215

(sin )24

x a =+-+

sin [1,1]x ∈-,所以当s i n x =时

max ()1f x a =+,当1sin 2

x =-

时min 5()4

f x a =-

所以函数()f x 的最大值为1a +,最小值为54

a -

(2) 由()0f x =2

sin cos 0x x a ∴-+=

2sin (1sin )0x x a ∴--+=

令sin ,

[0,2),[1,1]t x x t π=∈∴∈-

要使方程()0f x =在区间[0,2)π有两解

有2

10t t a ++-=在区间(1,1)-上有一解令2()1g t t t a =++-

(1)0

(1)0g g >?∴?

-

或0?= (1,1)a ∴∈-或5

4

a =

所以a 的取值范围是5(1,1)

4??-????

(3)由22()sin cos sin (1sin )f x x x a x x a =-+=--+2

15(sin )2

4

x a =+-+ 令sin ,

[0,2],[1,1]t x x t π=∈∴∈-

215()24y t a ∴=+-+在1[1,]2--上单调递减,在1

[,1]2

-上单调递增

当1[1,]2

t ∈--时711,66x ππ??∈????而sin t x =在73,62ππ??????上单调递减,在311,26ππ??

????

上单调递增, 所以当73,62x ππ??

∈????

时()f x 单调递增 当1[,1]2t ∈-

时711[0,][,2]66x πππ∈而sin t x =在11[0,],[,2]26

x x πππ∈∈时单调递增 所以()f x 在11[0,],[

,2]26

ππ

π上单调递增 综上函数()f x 在区间[]0,2π上的单调递增区间为7311[0,],,,,22626ππππ

π????

????????