广东省广州市2008—2009学年第一学期中段学业质量监测高三理科数学试卷

2008—2009学年第一学期中段学业质量监测

高三理科数学试卷

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：

锥体的体积公式13

V Sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．

如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

()()

C 1n k

k

k

n n P k p

p -=-．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集{},3,2,1,0=I 集合{}2,1,0=M ,{}3,2,0=N ,则()=?N C M I ( ) A.{}1 B.{}3,2 C.{}2,1,0 D. φ 2.已知几何体的三视图如图1所示，它的表面积 是（ ） A.24+ B. 22+

C.23+

D.6

3.已知双曲线

19

2

2

2=-

y

a

x ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y

162

=的焦点重合,则

主视图

侧视图

附视图

图1

该双曲线的离心率等于( ) A.

5

4 B.

55

558 C.

4

5 D.

7

74

4.函数()x f y =的图象如图2所示.

函数()x f y =的定义域、值域分别是（ ） A.[][)6,20,5?-,[]5,0 B.[)[)+∞-,0,6,5 C.[][)6,20,5?-,[)+∞,0 D.[)[]5,2,,5+∞-

5. 设命题p ：曲线x e y -=在点()e ,1-处的切线方程是:;ex y -=命题q ：b a ,是任意实数,若

b a >,则

1

11

1+<

+b a .则( )

A ．“p 或q ”为真

B ．“p 且q ”为真

C ．p 假q 真

D ．p ,q 均为假命题 6.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班 60名学生，将所得数据整理后，画出其频率 分布直方图（如图3），已知从左到右各长方形 高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数 学成绩在（80，100）之间的学生人数是（ ）

A. 32人

B. 27人

C. 24人

D. 33人

7.函数()0sin cos 2

2

>-=ωωωx x y 的最小正周期是π,则函数()??

?

?

?+

=4sin 2πωx x f 的一个单

调递增区间是( )

A. ??????-2,2ππ

B. ??????49,45ππ

C. ??????-43,4ππ

D. ??

????45,4ππ 8.若偶函数()x f ()R x ∈满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是( )

A. 2个

B. 4个

C. 3个

D. 多于4个

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．

图2

9．二项式()()为虚数单位

i R x xi n ,1∈-的展开式中含2x 项的系数等于－28，则=n

10.从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 . 11.定义某种运算b a S ?=,运算原理a ,

如图4所示,则式子:

1

31100lg ln 45tan 2-?

?

?

???+???? ??e π的

值是 .

12.在区域()?

??

??????<<<<=200,y x y x M π内

随机撒一把黄豆,落在区域

()?

?

???

??????????<<<<<=x y y x y x N sin 200,π内

的概率是 .

（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的

得分． 13. （坐标系与参数方程选做题）若直线340x y m ++=与圆???+-=+=θ

θsin 2cos 1y x （θ为参数）相切,

则实数m 的值是 .

14．（不等式选讲选做题）如果关于x 的不等式a x x ≥-+-32的解集为R, 则a 的取值范围是 .

15.（几何证明选讲选做题）如图5, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点A ,且cm AC 22=,过C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ,CM=MN=ND.AD 的长等于 cm .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知：A 、B 、C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()(

)

1cos ,3--=

A m π，

图5

???? ?

???? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥.

（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若,3

3cos ,2==B a 求b 的长.

17．（本题满分12分）

数列{}n b ()*∈N n 是递增的等比数列，且4,53131==+b b b b . (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)若3log 2+=n n b a ,求证数列{}n a 是等差数列; (Ⅲ)若+++322

1a a a ……46a a m ≤+,求m 的最大值.

18. （本题满分14分）

某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.

(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;

(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是2

1,请问:商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元,

才能使促销方案对商场有利?

19. （本小题满分14分）

如图6，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=

22

1=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，

G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ?沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD ,如图7. （Ⅰ）求证：AP //平面EFG ； (Ⅱ) 求二面角D EF G --的大小;

（Ⅲ）求三棱椎PAB D -的体积.

20. （本小题满分14分）

已知长方形ABCD , AB =22, BC =1. 以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系

xoy .

(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P (0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,

A

D F

G

C

B

E

P

图6

B

G

C

D

F

E

A

P

图7

图8

21.（本小题满分14分）

已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;

(Ⅱ)求函数()x f 在 [],2t t + ()0t >上的最小值;

(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.

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高三理科数学参考答案和评分标准

一、选择题：(共8题,每小题5分,满分40分)

二、填空题：（每题5分，共30分）

9. 8 10. 60 11. 8 12.

π

1

13. 10或0(答对一个给3分) 14. (]1,∞- 15. 72 三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16．（本题满分12分） 解:(Ⅰ) ()(

)1cos ,3--=

A m π=

(

)

1cos ,3--A ……1分

???? ?

???? ??-=1,2cos A n π=()1,sin A ……2分 ∵n m ⊥

01cos sin 3=--∴

A A ……4分

216sin =??? ?

?

-∴πA ……6分

∵,6

6,6566,0π

πππππ=-∴<-

<-∴<

π

=∴A .……8分

(Ⅱ)在ABC ?中，3

π

=A ，2=a ，3

3cos =B

3

63

11cos

1sin 2

=

-

=

-=

∴B B ……9分

由正弦定理知：

,sin sin B

b

A

a =

……10分

∴A

B a b sin sin =

=3

242

3362=?

=.

∴=

b 3

24……12分

17. 本题满分12分

解:(Ⅰ)由 ???=+=5

4

3131b b b b 知31,b b 是方程0452=+-x x 的两根,注意到n n b b >+1得

4,131==b b .……2分

∴4312

2==b b b 得22=b . ∴4,2,1321===b b b ∴等比数列.{}n b 的公比为

21

2=b b ,1

1

12

--==∴n n n q

b b ……4分

(Ⅱ).23132

log

3log

1

2

2

+=+-=+=+=-n n b a n n n ……5分

()[][]12211=+-++=

-+n n a a n n ……7分

∴数列{}n a 是首项为3,公差为1的等差数列. ……8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列{}n a 是首项为3,公差为1的等差数列,有 +++322

1a a a ……m a +=++++3212

1a a a a ……1a a m -+

=()2

36312

1332

2

m m m m m m -+

+=-?-+

?+……10分

∵4646248a =+=

∴482

362

≤-+

+m

m m ,整理得08452

≤-+m m ,解得712≤≤-m .…

11分

m ∴的最大值是7. ……12分

18. 本题满分14分

解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有3

7C 种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有34C 种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为

35

3113

7

34=

-

=C C P .……4分

(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, m ,2m ,3m .……6分

X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以(),81212103

03

=??

?

?????? ??==C X P ……7分

同理可得(),8321212

113=??? ?????? ??==C m X P ……8分 (),83212121

2

23=??

? ??????

??==C m X P ……9分

().81212130

3

33=??

? ??????

??==C m X P ……10分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

m m m m EX 5.18

138

328

38

10=?

+?

+?

+?

=.……12分

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有

1505.1≤m ,所以100≤m , …… 13分

故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. …… 14分

19.本题满分14分

.解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO. ∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴E F //

CD 21

,同理G O //

1

2

C D , EF ∴// G O

∴四边形EFOG 是平行四边形, ?∴EO 平面EFOG . ……3分

又在三角形PAC 中,E,O 分别为PC,AC 的中点,∴PA//EO ……4分

?EO 平面EFOG ,PA ?平面EFOG , ……5分

∴PA//平面EFOG ,即PA//平面EFG . ……6分

方法二) 连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO. ∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴E F //CD 2

1,同理G E //

12

PB

又C D //AB,EF ∴//

AB 21

∴=?=?,,B AB PB E EF EG 平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA ?平面PAB,//PA ∴平面EFG . ……6分 方法三)如图以D 为原点,以DP DC DA ,, 为方向向量建立空间直角坐标系xyz D -. 则有关点及向量的坐标为:

()()()()()().

00,2,1,0,0,1,1,0,0,2,1,0,2,0,2,0,0A F E G C P

()()()1,1,1,0,1,0,2,0,2-=-=-=EG EF AP ……2分

设平面EFG 的法向量为()z y x n ,,= .0000

0???==????=-+=-??????=?=?∴y z x z y x y EG n EF n

取()1,0,1=n .……4分

∵()AP n AP n ⊥∴=?+?+-?=?,0210021,……5分 又?AP 平面EFG .

∴ AP//平面EFG . ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD 是正方形

∴DC AD ⊥,又∵⊥PD 面ABCD

PD AD ⊥∴

又D CD PD =?

⊥∴AD 平面

PCD ,∴向量DA 是平面PCD 的一个法向量, DA =()0,0,2……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG 的法向量为()1,0,1=n ……9分

.2

22

22cos =

=

=

∴……10分

结合图知二面角D EF G --的平面角为.450……11分 (Ⅲ).3

42222

13

13

1=

????

=

?==?--PD S V V ABD DAB P PAB D ……14分

20. 本题满分14分

(Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为(

)(

)(

)

1,2,

0,2,

0,2-.……1分

设椭圆的标准方程是()012

22

2>>=+

b a b

y a

x .……2分

则

(

)(

)

()(

)

()

2,224012

2012

222

2

2

2

=∴>=-+-+

-+-

-=

+=a BC AC a ……

4分

2242

22

=-=-=∴c

a b

.……5分

∴椭圆的标准方程是

.12

42

2

=+y

x

……6分 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y .……7分

设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:?

??=++=422

2

2y x kx y 消去y 整理得,()048212

2

=+++kx x

k

有2

212

21214,218k

x x k

k x x +=

+

-

=+……9分

图8

若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x ,……10分

所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k 所以,

(

)0421*******

22

2=++-

++k

k

k

k

即

,021482

2=+-k

k ……11分 得.2,22

±==k k

……12分

所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .……13分

所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点. ……14分

21: 本题满分14分 (Ⅰ)();1,0)(,10,0,1ln )('

'??

? ??∴<

<

<+=e x f e

x x f x x f 单调递减区间是

解得令 ……2分 ();,1)(,1,0'

??

?

??+∞∴>

>

e x

f e

x x f 单调递增区间是

解得令……4分 (Ⅱ) (ⅰ)0

1，t 无解；……5分

(ⅱ)0

1

e

1时，e

e

f x f 1)1()(min -

==；……7分

(ⅲ)

e

12+<≤t t ，即e t 1≥

时，单调递增在]2,[)(+t t x f ，tlnt )t ()(min ==f x f ……9分

e

t e t x f 11

0tlnt e 1

-)(min

≥

<

???∴，……10分

(Ⅲ)由题意:2123ln 22

+-+≤ax x x x 即123ln 22

++≤ax x x x ()+∞∈,0x

可得x x x a 212

3ln --≥……11分 设()x

x x x h 212

3ln -

-

=,

则()()()

2

2

'2131212

31x x x x

x

x h +--

=+

-

=

……12分

令()0'=x h ,得3

1,1-

==x x (舍)

当10<x h ;当1>x 时, ()0'

∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max

=-2……13分

2-≥∴a .

a ∴的取值范围是[)+∞-,2.……14分