2014-2015学年江苏省南通市启东市中学高三(下)期初数学试卷(理科)

2014-2015学年江苏省南通市启东市中学高三（下）期初数学试卷（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A?B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．

2．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a 的值是．

3．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．

4．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值

为．

5．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．

6．设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则

x1+x2+x3=．

7．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．

8．已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：（﹣）?（2﹣﹣）=0，则△ABC 的形状是．

9．设x，y均为正实数，且=1，则xy的最小值为．

10．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．

类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=．

11．已知点P（m，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．

12．若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是．13．函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为．

14．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）（2006?重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．16．（14分）（2015?南京模拟）已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．

（1）求点A、B的坐标以及?的值

（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．

17．（14分）（2015?南京模拟）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．

（1）求证：DE⊥平面BCD；

（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．

18．（16分）（2015?南京模拟）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工

产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．

（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

19．（16分）（2015?南京模拟）设A，B分别为椭圆的左、右顶

点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A

的点M，证明：△MBP为钝角三角形．

20．（16分）（2015?南京模拟）已知函数f（x）=x2+alnx．

（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；

（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；

（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．

三、加试题．选修4-2：【矩阵与变换】（共1小题，满分0分）

21．（2015?南京模拟）设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为

α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad﹣bc的值．

四、选修4-4：【坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）

22．（2015?河南二模）平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为

ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．

（1）求直线l的极坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

五、解答题（共1小题，满分0分）

23．（2015?南京模拟）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A1B，A1C，A1D1

（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；

（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理

由．

六、解答题（共1小题，满分0分）

24．（2015?宣城二模）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n+1=S n+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求所有满足等式=成立的正整数m，n．

2014-2015学年江苏省南通市启东市中学高三（下）期初数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A?B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．

考点：集合的包含关系判断及应用．

专题：集合．

分析：先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．

解答：解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}

而B=（﹣∞，a），

∵A?B

∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），

故答案为：4

点评：本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型．

2．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a 的值是1．

考点：一元二次不等式的解法．

专题：计算题．

分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．

解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，

∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，

∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，

故a的值是1．

故答案为：1．

点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．

3．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

专题：计算题．

分析：由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．

解答：解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，

则O为正△BCD的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．

则SO⊥HC，且，

在Rt△SHO中，．

于是，，．

所以．

故答案为

点评：本题主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题．4．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为﹣4．

考点：直线与圆的位置关系．

专题：直线与圆．

分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．

解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，

故弦心距d=．

再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4；

故答案为：﹣4．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

5．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为4+4．

考点：余弦定理；正弦定理．

专题：计算题．

分析：利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：∵∠B=45°，AC=b=4，

∴由余弦定理cosB=得：=，

∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，即（2﹣）ac≤16（当且仅当a=c时取等号），

∴ac≤=8（2+）=16+8，

∴△ABC面积S=acsinB≤（16+8）×=4+4，

则△ABC面积的最大值为4+4．

故答案为：4+4

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

6．设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=

．

考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解

即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．

解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，

如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，

令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，

∴此时x1=0，x2=，x3=2π，

∴x1+x2+x3=0++2π=．

故答案为：

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．

7．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．

考点：函数的零点．

专题：作图题．

分析：由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．

解答：解：由题意作出函数的图象，

关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于

函数，与y=k有两个不同的公共点，

由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，

故答案为：（0，1）

点评：本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．

8．已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：（﹣）?（2﹣﹣）=0，则△ABC 的形状是等腰直角三角形．

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：利用向量的三角形法则可得=0，因此以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，即可得出△ABC的形状．

解答：解：∵=+=+，

又（﹣）?（2﹣﹣）=0，

∴=0，

∴以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，

因此△ABC是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形．

点评：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形与正方形的性质、△ABC的形状、数量积运算，考查了推理能力，属于基础题．

9．设x，y均为正实数，且=1，则xy的最小值为16．

考点：基本不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由=1，化为xy=x+y+8，使用基本不等式和利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答：解：由=1，化为3（2+y）+3（2+x）=（2+x）（2+y），

整理为xy=x+y+8，

∵x，y均为正实数，∴xy=x+y+8，

∴，

解得，即xy≥16，当且仅当x=y=4时取等号．

∴xy的最小值为16．

故答案为：16．

点评：本题考查了基本不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题．

10．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．

类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2．

考点：类比推理；棱柱的结构特征．

专题：空间位置关系与距离．

分析：由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．

解答：解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．

由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，

则有cos2α+cos2β=1，

我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，

∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图

对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，

∴cosα=，cosβ=，cosγ=，

∴cos2α+cos2β+cos2γ=，

令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有

cos2α+cos2β+cos2γ===2

故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．

点评：本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．11．已知点P（m，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，

若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．

考点：椭圆的简单性质．

专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，再由三角形的面积公式以及内切圆的圆心与三个顶点将三角形△PF1F2分成三个小三角形，分别求面积再求和，得到a，c的方程，由离心率公式计算即可得到．

解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，

由椭圆的定义可得m+n=2a，

由三角形的面积公式可得

=×2c×4=4c，

由△PF1F2的内切圆的半径为，

则=×（m+n+2c）=（2a+2c）=（a+c），

即有4c=（a+c），

即为5c=3a，

则离心率e==．

故答案为：．

点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的面积公式和面积的分割法，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．

12．若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是（0，4）．

考点：函数零点的判定定理．

专题：函数的性质及应用．

分析：由题意可知可得x＞﹣1且x≠0，k=x++2，（x＞﹣1且x≠0），由“对号函数”的性质和集合的运算可得．

解答：解：由题意可知，解得x＞﹣1且x≠0，

由对数的性质可得lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1）2，

可得kx=（x+1）2，变形可得k==x++2，（x＞﹣1且x≠0）

由“对号函数”的性质可知x+＜﹣2，或x+≥2，

∴x++2＜0，或x++2≥4，

要使函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，

只需k取x++2取值集合的补集，即{k|0≤k＜4}，

当k=0时，函数无意义，

故k的取值范围应为：（0，4）

故答案为：（0，4）

点评：本题考查函数的零点，涉及“对号函数”的性质和集合的运算，属基础题．

13．函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．

考点：利用导数研究函数的极值．

专题：计算题；导数的概念及应用．

分析：求导函数，求出函数的极值点，利用函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答：解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），

令y′=0，则x=0或﹣2，

﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，

∴0或﹣2是函数的极值点，

∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，

∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，

∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．

故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．

考点：导数的运算；对数函数图象与性质的综合应用．

专题：导数的概念及应用．

分析：由题意可得f（x）﹣log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣有零点，易得F（1）＜0，F（2）

＞0，由零点的判定可得答案．

解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，

又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，

则f（x）﹣log2x为定值，

设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，

又由f（t）=6，可得t+log2t=6，

可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，

又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，

所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，

分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，

故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，

故答案为：1

点评：本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）（2006?重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

考点：指数函数单调性的应用；奇函数．

专题：压轴题．

分析：（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，

即

又由f（1）=﹣f（﹣1）知．

所以a=2，b=1．

经检验a=2，b=1时，是奇函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．

又因为f（x）是奇函数，

所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0

等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．

即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，

从而判别式．

所以k的取值范围是k＜﹣．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．

16．（14分）（2015?南京模拟）已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．

（1）求点A、B的坐标以及?的值

（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：（1）由x的范围求出x的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，

B的坐标，则?的值

可求；

（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（﹣2β）的值．

解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，

∴﹣1≤cos（）≤．

当，即x=0时，f（x）取得最大值1，

当，即x=4时，f（x）取得最小值﹣2．

因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）．

则．

∴?=0﹣2=﹣2；

（2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，

则，，

则sin2β=2sinβcosβ=2×=，

cos2β=2cos2β﹣1=2×=．

∴sin（﹣2β）=sin（）=

==．

点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．

17．（14分）（2015?南京模拟）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．

（1）求证：DE⊥平面BCD；

（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

专题：计算题；证明题；转化思想．

分析：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；

（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．利用，

即可求三棱锥B﹣DEG的体积．

解答：解：（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，

所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，

∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；

∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC

∴DE⊥平面BCD；

（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，

因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，

所以BD=，DC=，

所以B到DC的距离h===，

因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，

所以B到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．

三棱锥B﹣DEG的体积：

V====．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．

18．（16分）（2015?南京模拟）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工

产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．

（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．

分析：（I）当x∈[200，300]时，该项目获利S=200x﹣＜0，说

明不获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，说明国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损；

（II）二氧化碳的每吨平均处理成本为：=；分

段讨论，①当x∈[120，144）时，求出的最小值；②当x∈[144，500]时，求出的最小值；

比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．

解答：解：（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则

S=200x﹣=﹣x2+400x﹣80000=﹣（x﹣400）2；

当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；

当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

=，

则：①当x∈[120，144）时，=x2﹣80x+5040=（x﹣120）2+240，∴当x=120时，取得最小值240；

②当x∈[144，500]时，=x+﹣200≥2﹣200=200，

当且仅当x=，即x=400时，取得最小值200；

∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

点评：本题考查了分段函数模型的应用题目，并且考查了求二次函数的最值，利用基本不等式求函数的最值等问题，是中档题．

19．（16分）（2015?南京模拟）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A 的点M，证明：△MBP为钝角三角形．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

专题：计算题．

分析：（Ⅰ）由椭圆的长轴长为4，得2a=4，即得a=2；又点在椭圆上，代入

椭圆标准方程，可得b；从而得出方程．

（Ⅱ）设P（4，t）其中t≠0，直线AP与椭圆交于点M（异于A），由直线方程与椭圆方程组成方程组，得出点M的坐标；

由B，P，M三点坐标，得向量，，，由?＜0，知∠MBP是钝角；从而得出证明．

解答：解：（Ⅰ）由题意：2a=4，所以a=2，所求椭圆方程为；

又点在椭圆上，∴=1，∴b2=1；

故所求椭圆方程为：．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（﹣2，0），B（2，0），设P（4，t），M（x M，y M），

则直线PA的方程为：，（t≠0）；

由得（9+t2）x2+4t2x+4t2﹣36=0；

因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以，所以；由，得，所以；

从而，；所以

=．

又M，B，P三点不共线，所以∠MBP为钝角；所以△MBP为钝角三角形．

点评：本题（Ⅰ）考查了椭圆的基础知识，（Ⅱ）借助于求直线与椭圆相交时的交点，利用向量的数量积，来判断三角形的形状；要求有较高的计算能力，是中档题．

20．（16分）（2015?南京模拟）已知函数f（x）=x2+alnx．

（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；

（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；

（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题：计算题；导数的综合应用．

分析：（1）代入a=﹣1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；

（2）代入a=1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；（3）代入a=1，令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx，从而化在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方为F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化为函数的最值问题即可．

解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），

f′（x）=x﹣=；

故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，

故f（x）在x=1处取得极小值f（1）=；

（2）当a=1时，f（x）=x2+lnx的定义域为（0，+∞），

f′（x）=x+＞0；

故f（x）在[1，e]上是增函数，

故f min（x）=f（1）=，f max（x）=f（e）=e2+1；

（3）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx；

则F′（x）=2x2﹣x﹣=，

∵x∈[1，+∞），

∴F′（x）=≥0，

∴F（x）在[1，+∞）上是增函数，

故F（x）≥F（1）=﹣=＞0；

故在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的图象与函数的性质的关系及恒成立问题，属于中档题．

三、加试题．选修4-2：【矩阵与变换】（共1小题，满分0分）

21．（2015?南京模拟）设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为

α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad﹣bc的值．

考点：特征值、特征向量的应用．

专题：矩阵和变换．

分析：根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad﹣bc的值．

解答：解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，

即=，

可得…①；

同理可得，

即…②；

由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1，

因此ad﹣bc=2﹣6=﹣4，

即ad﹣bc的值为﹣4．

点评：本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．

四、选修4-4：【坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）

22．（2015?河南二模）平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为

ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．

（1）求直线l的极坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．

专题：计算题．

分析：（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得

到直线l的极坐标方程；

（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．

解答：解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x

∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，

因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；…（5分）

（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0 ∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．…（10分）

点评：本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．

五、解答题（共1小题，满分0分）

23．（2015?南京模拟）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A1B，A1C，A1D1

（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；