数项级数求和的若干方法

安徽工业大学信息与计算科学系毕业论文

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题目:

中文：级数求和的若干方法

English:Summation of several methods 姓名: 徐科

学院: 数理学院

专业: 信息与计算科学

班级: 2009级1班

学号: 099084166

指导教师: 张敬和

2013年6月8日

安徽工业大学信息与计算科学系毕业论文

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安徽工业大学

毕业设计(论文)任务书

课题名称级数求和的若干方法

学院数理学院

专业班级信息与计算科学 091班

姓名徐科

学号099084166

毕业设计(论文)的主要内容及要求：

1、了解正项级数，任意项级数，函数项级数，幂级数的相关概念。

2、熟悉各种级数收敛的的理论，理解部分定理的证明过程。

3、尽可能的对某些定理之间的区别以及联系稍加分析。

4、借助幂级数，数列等知识给出数项级数求和的若干方法。

5、参阅数学分析，常微分方程等与级数相关的教材或者文献，充分利用图书馆以及

电子阅览室。提高自己查阅资料的能力。

6、论文必须符合科技论文的要求，格式严格按照本科毕业论文的规范来撰写。

7、查阅相关文献资料，至少10篇，其中英文文献不少于2篇。

8、翻译一篇跟本设计有关的外文文献，要求翻译无错误，可以通顺阅读。

9、熟悉微软Word或者金山的WPS的使用方法和技巧，以期提高使用计算机的能力。

指导教师签字：

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级数求和的若干方法

安徽工业大学数理学院信息与计算科学系

091班徐科学号：099084166

摘要

级数，重要的数学工具。无论是对数学学科本身，还是在其他学科及技术的研究与发展方面，都发挥着特别重要的作用和影响，且其与我们的日常生活息息相关。需要我们去掌握并利用，我们也应该去发掘出它更为广泛的应用领域，为我们的研究与学习奠定基础。

级数求和，作为级数理论及应用的主要板块之一。它有着比较繁多的方法和很强的技巧性，而目前国内大多数数学教材及其他相关书籍中没有专门针对级数求和的常用方法设立板块，若要理解并掌握它的方法和技巧，则需要借鉴一些国内外涉及此内容的数学书籍，进行总结和提炼。

本文对级数的有关概念，收敛的定义以及部分定理给与了证明，介绍了运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数求和等等这几种方法求数项级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.

关键词：级数，收敛，数项级数求和，幂级数。

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Summation of several methods

ANHUI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

The Mathematical Institute Information and computing science department

Class 091 Xu Ke Student ID: 099084166

Abstract

Progression , important mathematical tools ! Both for mathematics itself , or in other disciplines and technology research and development, has played a particularly important role and influence , and its our daily lives. We need to grasp and use , we should go to discover its broader application areas for our research and learning foundation . Summation as a series theory and application of the main plate. It has a relatively strong variety of methods and techniques , while most domestic mathematics textbooks and other books not specifically for the establishment of a common method Summation sector , to understand and grasp its methods and techniques , then needs to learn some of this content and abroad involved in the mathematical books were summarized and refined .

In this paper, the concept series , convergence theorems give some definitions and proved , introduces the use of destructive Splitting , dislocation subtract itemized differential , itemized points , the use of these types of special summation etc. method for solving a number of series and , and through examples illustrate the application of these methods .

Keywords : series , convergence, Summation , power series .

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III

摘要 ............................................................................................................................ Ⅰ Abstract ................................................................................................................. Ⅱ 一、综述 . (1)

1.1 级数的背景知识 ........................................................................................... 1 1.2 研究现状 ....................................................................................................... 2 1.3 研究意义 ....................................................................................................... 2 二、基础知识 .............................................................................................................. 3 2.1 引言 (3)

2.2 级数的分类及定义 ....................................................................................... 3 2.2.1 数项级数 ............................................................................................ 3 2.2.2 函数项级数 ........................................................................................ 3 2.2.3 三个重要级数 .................................................................................... 4 2.3 级数收敛的定义 . (4)

2.4 级数收敛的判断 (4)

2.4.1 正项级数收敛的判断 ........................................................................ 5 2.4.1.0 级数收敛的必要条件 ............................................................. 5 2.4.1.1 定理02 .................................................................................... 5 2.4.1.2 正项级数的收敛原理 ............................................................. 5 2.4.1.3 常用级数 ................................................................................. 5 2.4.1.4 正项级数的各种判别法 ......................................................... 7 2.4.1.5 引理 ....................................................................................... 11 2.4.2 任意项级数收敛的判断 .................................................................. 14 2.4.3 函数项级数收敛的判断 .................................................................. 16 2.4.4 幂级数 .............................................................................................. 17 2.4.4.1 幂级数的基本概念和定理 ................................................... 18 2.4.4.2 函数的幂级数的展开 ........................................................... 21 三、级数求和 (26)

<一> 简单易用的求和方法 .............................................................................. 26 3.1 根据定义求级数的和 ......................................................................... 26 3.2 首尾相加法 ......................................................................................... 26 3.3 错位相减法 ......................................................................................... 27 3.4 分组求和法 .. (28)

3.5 微分方程法 (28)

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3.6 利用递推法求和 ................................................................................. 29 3.7 部分和子列 ......................................................................................... 29 3.8 列项相消法 ......................................................................................... 30 <二> 利用幂级数的知识求和 .......................................................................... 32 3.9 逐项微分求和 ..................................................................................... 32 3.10 逐项积分求和 ................................................................................... 33 3.11 转化为已知的特殊的幂级数求和 .................................................... 34 四、致谢 .................................................................................................................... 36 参考文献 .. (37)

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一综述

1.1级数的背景知识

[1]早在大约公元前450年，古希腊有一位名叫Zero 的学者，曾提出若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，“Achilles （希腊神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。

设乌龟在Achilles 前面s1米处向前爬行，Achilles 在后面追赶，当Achilles 用了t1秒时间，跑完了s1米时，乌龟早已向前爬了s2米；当Achilles 再用t2秒时间，跑完了s2时，乌龟又向前爬了s3米...这样的过程一直继续下去，因此Achilles 永远也追不上乌龟。

虽然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的。没有人会怀疑，Achilles 必将在T 秒的时间内，跑了S 米后追上乌龟（T 和S 是常数）。Zero 的诡辩之处就在于把有限的时间T 无限分割（或距离S ）分割成无穷段t1，t2，...(或s1,s2,..)，然后一段一段的加以叙述，从而造成一种假象：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将用掉的时间t1,t2,...(或跑过的距离s1,s2,...)加起来，即：。或)(2121???++???++???++???++n n s s s t t t

尽管相加的项有无限个，但他们的和却是有限数T （或S ）。换言之，经过时间T 秒Achilles 跑完S 米后，他已经追上乌龟了。

这里，我们遇到了无限个数相加的问题。很自然地，我们要问，这种“无限个数相加”是否一定有意义？若不一定的话，那怎么来判断？有限个数相加时的一些运算法则，如加法交换律，加法结合律对于无限个数相加是否继续有效？如此等等。这正是本文要讨论的级数问题

其实，级数对于我们来说一点也不陌生，在我们学习数列时就已经接触到了她，当一个数列元素个数无限的时候就是最简单的的一种级数。级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具。我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念。

近代级数的发展,主要是在17世纪上半叶.这个时期标志着文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段,这种综合与突破所面临的数学困难,使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点.在这个时期,几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究,特别是描述运动与变化的无限小算法,并在相当短时期内,取得了迅速的发展.开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛顿和莱布尼兹以足够的敏锐和能力认识到微分和积分的互逆关系,在微积分的真正创立上作出了伟大贡献.在18世纪,微积分进一步深入发展并和广泛的应用紧密交织在一起.其中它的发展与无穷级数的研究密不可分.牛顿在他的流数理论中自由运用无穷级数,他凭借二项式定理得到了许多函数的级数.泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法.在18世纪,各种初等函数的级数展开陆续得到,并在解析运算中初等函数成为微积分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰写了一系列无穷级数的论文,使他们成为当时这一领域的权威.这一时期,借助于级数这个工具微积分不断取得各种显著的成就,得到各种更强有力的应用。18世纪先后出现

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了一些级数收敛判别法则.莱布尼兹判定法;达朗贝尔级数绝对收敛判别法等等.这些说明18世纪的数学家已开始注意到无穷级数的收敛问题,尽管对这一问题真正严格的处理要等到19世纪.柯西对无穷级数进行了严格化的处理,明确定义了级数的收敛性,并研究了级数收敛的判别条件.

1.2研究现状

作为最古老的学科之一，数学其研究者历来众多，关于级数的求和,更是有许多

专家和学者对此产生了浓厚的兴趣,他们对某些具体的题目做出了具体的解法,像定义法,解微分方程法,特殊函数的展开式,逐项微分积分法等等.级数求和有着比较繁多的方法和很强的技巧性，而目前国内大多数数学教材及其他相关书籍中没有专门针对级数求和的常用方法设立板块，都是对一些特殊的数项级数求和,而对一般普通的数项级数的求和方法问题很少有学者提及,因此在这方面我们有研究的必要,并且有很大的研究空间.对此内容进行总结和提炼。

1.3研究意义

级数在数学方面的计算中有着广泛的应用，无论是对数学这一学科本身还是在其他学科及技术的研究与发展方面，级数的理论及其应用更是发挥着特别重要的作用和影响，且其与我们的日常生活息息相关。不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题,同时也是研究分析数学的重要工具.

1其原因是很多函数能用数项级数表示，同时又能借助于数项级数来研究函数逼近的问题.利用多项式来逼近一般的函数。借助级数表示很多有用的非初等函数。 2解微分方程。

3实数的近似计算，因此数项级数理论在分析数学或者实际应用中是研究函数的一种必要的数学工具,因而数项级数的求和问题非常重要，需要我们去掌握并利用，我们也应该去发掘出它更为广泛的应用领域，为我们的研究与学习奠定基础，因此数项级数的求和问题就成为实际应用中亟待解决的课题了.

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二基础知识

2.1 引言

级数是数学分析的基本内容之一，它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具。它包含常数项级数与函数项级数。[2]常数项级数与数列之间有着一一对应的关系。而在函数项级数中，幂级数是最常见，也是最有用的级数。谈到级数便不能不谈级数求和的问题，首先就要判断级数的收敛问题，这里我们将系统的介绍很多判断级数收敛的定理和方法，以及他们所要求的条件。凡是收敛的级数都是可求和的，问题就在于我们应该采取什么样的方法来简化级数的求和问题，我们将在本文里系统的介绍求和方法和技巧。

2.2 级数的分类及定义 2.2.1数项级数

定义01：设??????n X X X ,,21是无穷可列个实数，我们称它们的和 ???+++n X X X 21

为无穷数项级数（简称级数），记为∑∞

=1n n X ，其中n X 称为级数的通项或一般项。当然

我们无法直接对无穷个实数逐一进行加法运算，所以必须对上述的级数求和给出合理的定义。为此作级数∑∞

=1n n X 的“部分和数列”}{n S ；

,11X S =

212X X S +=,

,3213X X X S ++= ... ...

，∑==+???+++=n

k k n n X X X X X S 1321

定义02：如果级数n n X ∑∞

的各项都是非负实数，即 ,2,1,0=≥n X n 则称此级

数为正项级数。

定义03：如果级数n n X ∑∞

=1既有无限个正项，又有无限个负项，那么此类级数就是

任意项级数

2.2.2函数项级数

现在我们将级数的概念从数推广到函数上去，对于前面讨论的数项级数n n X ∑∞

=1，

如果它的每一项n X 都换成函数那又会变成什么呢？我们且看下面的定义

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定义：设),3,2,1)((u ???=n x n 是具有公共定义域E 的一列函数，我们将这无穷个函数的“和”

???++???+++)(u )(u )(u )(u 321x x x x n 称为函数项级数，记为∑∞

=1n n U 。

2.2.3 三个重要级数

[2]

级数01：几何级数

几何级数又称为等比级数，定义格式： +++++=-∞=-∑121

1n n n ar ar ar a ar 其中0≠a ，r 是公比。

[2] 级数02：调和级数

+++++=∑∞

=n n n 13121111 [2] 级数03：p-级数 +++++=∑∞

=p p p n p n n

3121111

2.3 级数收敛的定义

定义01：如果无穷级数的部分和数列}{n S 收敛于有限数S 则称无穷级数n n X ∑∞

=1收

敛，且称它的和为S 记为 ∑∞==1

n n X S ，如果部分和数列}{n S 发散，则称无穷级数n

n X ∑∞

发散。由上定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法才是有意义

的，并且他们的和就是级数的部分和的极限。当级数收敛时 ++=-=++21n n n n u u S S R 称为级数的余项

定义02：设设),3,2,1)((u ???=n x n 在E 上有定义。对于任意固定的E x ∈0，若数项级数∑∞

0)(n n x u 收敛，则称函数项级数)(1

x u n n ∑∞

=在点0x 收敛，或称0x 是)(1

x u n n ∑∞

=的收敛

点。

函数项级数)(1

x u n n ∑∞

=的收敛点全体所构成的集合称为)(1

x u n n ∑∞

=的收敛域。

设)(1x u n n ∑∞=的收敛域为E D ?，则)(1

x u n n ∑∞

=）就定义了集合D 上的一个函数

.,)()(S 1D x x u x n n ∈=∑∞

)(x S 称为)(1

x u n n ∑∞

=的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的，因此称

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)(1

x u n n ∑∞

=在D 上点态收敛于)(x S 。

2.4 级数收敛的判断 2.4.1正项级数收敛的判断

[1]2.4.1.0定理01：（级数收敛的必要条件)设级数∑∞

=1n n X 收敛，其通项所构成

的数列}{n X 是无穷小量，即0lim =∞

→n n X

证明：由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数

∑∞

n n

收敛

,,,,0N p N n N N ∈?>?∈?>??+ε有ε<++++++p n n n u u u 21.取特殊的1=p ,可得出

该定理:若级数∑∞

n n X 收敛,则0lim =∞

→n n X .

2.4.1.1定理02：若0lim ≠∞

→n n X 则级数∑∞

n n X 发散.

其实,本定理是2.4.1.0定理01的逆否命题作用或者意义

2.4.1.0定理01只是级数收敛的必要条件，而非充分条件，换言之，数列}

{n X 为无穷小量并不能保证级数∑∞

=1n n X 收敛，本定理可以用来判断某些级数发散。例如当

1||≥q 时}{q n

不是无穷小量，因此级数∑∞

n n q 发散。

[1]2.4.1.2定理03：（正项级数的收敛原理)

内容：正项级数∑∞

=1n n X 收敛的充分必要条件是他的部分和数列}{n S 有上界。

证明：由于),2,1(0 =≥n X n 所以}{n S 是单调递增数列.而单调数列收敛的充分必要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.

收敛原理的作用：他解决了一个级数的收敛问题,不必研究s S n n =∞

→lim 。,而只需粗略地

估计Sn 的值当N->∞时是否保持有界就可以了.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出。

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2.4.1.3 常用级数

在介绍比较判别法，柯西判别，达朗贝尔判别法，积分判别法等方法之前，我们先讨论一下针对前面的那三种重要级数的收敛性。他们是正项级数敛散性的判别方法中经常要用到的三个比较因子,下面简单介绍它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.

级数01：几何级数

如前所述它的形式为： +++++=-∞

=-∑1211n n n ar ar ar a ar 的敛散性,其中a 不等

于0 ，q 是公比。下面讨论它的敛散性。 (Ⅰ) 1||≠r 时,已知几何级数的n 项部分和 +++++=-12n n ar ar ar a s

① 当1||

a r ar a s n n n n -=--=∞→∞→

因此,当1||

ar n n -=∑∞

=-11

② 当1||>r 时,不存在极限,.1lim lim ∞=--=∞→∞→r

ar a s n

n n n

因此,当1||>r 时,几何级数发散.

(Ⅱ) 当1||=r 时,有两种情况:

①当1=r 时,几何级数是 , +++++a a a a (a ≠ 0),

.na a a a s n n =+++= 个

∞==∞

→∞→na s n n

n lim lim .即部分和数列{}n s 发散. ②当1-=r 时,几何级数是 .)1(1

+-++-+--a a a a a n

{

,,0,,是偶数是奇数n n a n s =

部分和数列{ Sn }发散.

于是,当|r| = 1时,几何级数发散.

综上所述,几何级数∑∞

=-11n n ar ,当1||

-1,当1||>r 时发散. 级数02：调和级数

如前所述它的形式为： +++++=∑∞

n 13

121111下面我们证明调和级数

+++++=∑∞

=n n

n 13121111是发散的. [3] 证明设调和级数∑∞

=11n n

的n 项部分和是n s ,即.1

31211n s n ++++= 由于

)

,3,2,1(1)11l n (???=<+n n

n 于是调和级数的前n 项部分和满足

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)11ln()311ln()211ln()11ln(131211n

n s n +++++++++>++++

= )1ln()1

34232ln()1ln()34ln()23ln(2ln +=+??=+++++=n n

n n n

由于+∞=+≥∞→∞→)1ln(lim lim n S n n n ，即当∞→n 时,调和级数的部分和n

s n 1

31211+

+++= 与n ln 是等价无穷大,即调和级数∑∞

=11

n n

发散.所以n s 的极限不存在，调和级数发散。

级数03：P-级数

如前所述它的形式为： +++++=∑

∞

p p n p n n

13121111（其中p 是任意实数），下面讨论p-级数 +++++=∑∞

=p p p n p n n

3121111的敛散性.

(Ⅰ) 当1=p 时,就是调和级数∑∞

=11

n n

,发散.

(Ⅱ) 当1

=11

n n

发散,根据比较判别法可知,当p

= 1时,p-级数发散.

(Ⅲ) 当1>p 时,2≥?n ,有]1

)1(1[1111

1-----

)21

11(11113121111----+≤++++=p p p p p n p n s

)1(1(11)3121(111

111-------++--+p p p p n

n p p )11

)1(131212111(111111111--------++-+--+=p p p p p p n n p

111)11(1111-=

-+<--+=-p P

p n p p

即p-级数的部分和数列{ Sn }有上界,而且01

>p n

，依据2.4.1.1定理03：（正项级数

的收敛原理)可知p-级数收敛.

综上所述,① 当1≤p 时,p-级数发散; ② 当1>p 时,p-收敛.

这三个重要技术的作用：在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性.也就是经常性的被拿来当做工具使用。下面借助于以上三个重要工具我们来探讨一下正项级数的各种判别法。

2.4.1.4 正项级数的各种判别法

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判别法01：比较判别法

设∑∞=1

x n n 与∑∞

y n n 是两个正项级数，若存在常数0>A 使得n n Ay x ≤，n = 1,2,...,则

（Ⅰ）若级数∑∞=1

y n n 收敛,则级数∑∞

=1x n n 也收敛; （Ⅱ）若级数∑∞

x n n 发散,则级数∑∞

y n n 也发散.

证明：设级数∑∞=1

x n n 的部分和数列为},{n S 级数∑∞

y n n 的部分和数列为},{n T 则显然

有 ,,2,1,???=≤n T S n n 于是当}{n T 有上界时}{n S 也有上界，而当}{n S 无上界时}{n T 必定无上界，因此我们有：

.AT )y y y (A Ay Ay Ay x x x S 212121n n n n n =+++=+++≤+++= （Ⅰ）若级数∑∞

=1y n n 收敛,依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),数列}{n T 有

上界,从而数列}{n S 也有上界,再依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),级数∑∞

x n n

收敛.

（Ⅱ）若级数∑∞

=1x n n 发散,依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),数列}{n S 无

上界,从而数列}{n T 也无上界,再根据定理1,级数∑∞

y n n 发散.

注：由于改变级数有限个项的数值，并不会改变他的收敛性或发散性（虽然在收敛的情况下可能改变他的“和”），所以本定理的条件可以放宽为：“存在正整数N 与常数A > 0.使得n n Ay x ≤对一切N n >成立”

判别法01+ ：比较判别法的极限形式

设有两个正项级数∑∞

x n n 与

)0y (y 1

≠∑∞

=n n n ,且 L y x lim

=∞→n

n ).L 0(+∞≤≤

（Ⅰ）若级数∑∞

y n n 收敛,且+∞<≤L 0，则级数∑∞=1x n n 也收敛; （Ⅱ）若级数∑∞

y n n 发散,且+∞<

x n n 也发散;

证明：若级数∑∞

y n n 收敛,且+∞<≤L 0，由已知条件,N n N N ≥?∈?>?+,,00ε，

有0|L y x |

ε<-n n ，对他变形我们可以得到0L y x

ε+

n ，即N n ≥?，有n n y )L (x 0ε+<，依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数∑∞=1

x n n 也收敛;

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② 若级数∑∞

y n n 发散,且+∞<?+,,00ε，

有0|L y x |

ε<-n n ，对他变形我们可以得到0L y x

ε->n

n 而且)0L (0>-ε，即N n ≥?，有n n x L 1y 0ε-≤，依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数∑∞

x n n 也发散;

③ 由已知条件，,,,0N n N N M ≥?∈?>?+有M n

n >y x

，即N n N N ≥?∈?+,，有

n n M x 1y <依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数∑∞

x n n 也发散。

注：比较法的使用条件以及与其他方法的联系 ① 比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断; ② 比较判别法的比较对象常常就是几何级数,调和级数,P-级数三种级数 ③ 在比较的过程中通常使用放缩方法 ④ 当用等比级数作为比较对象时,就得到了下面的达朗贝尔判别法及柯西判别法.

用比较判别法判断正项级数的敛散性,先要根据问题的条件作一个大概的估计,猜想原级数可能是收敛的,还是发散的呢?如果猜想原级数收敛,就找一个适当的收敛级数来比较,使得原级数的各项小于或等于比较级数的对应项;如果猜想原级数发散,就找一个适当的发散级数来比较,使得原级数的各项大于或等于比较级数的对应项. 但要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数,在实际生活中往往不是一件轻而易举的事情.于是我们便设想在比较判别法的基础上寻找到直接用待判级数的通项构造判别式,不必另找比较级数,只需研究这个判别式就可判定级数的敛散性.研究的结果获得了由比较判别法派生出来的种种正项级数敛散性的判别法——柯西判别法与达朗贝尔判别法.下面我们就来探讨一下达朗贝尔判别法及柯西判别法. 判别法02：柯西判别法

[4] 设有正项级数∑∞

=1u n n )0u (>n ,存在常数q .

① 若N n N N ≥?∈?+

,,不等式

1<≤q u n

n 成立,则级数∑∞

n n u 收敛;

② 若对一切N n >,不等式

1≥n

n u 成立,则级数∑∞

n n u 发散.

证明 ①已知,,N n N N ≥?∈?+有

q u n

n ≤ 或 n n q u ≤.又已知几何级数

)10(0

<≤∑∞

=q q

n n

收敛,于是级数∑∞

n n u 收敛.

② 已知存在无限个n,有1≥n n u 或 1≥n u ,即n u 不趋近于)(0∞→n ,于是级数

∑∞

n n

发散.

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判别法02+：柯西判别法的极限形式

[4] 正项级数∑∞

=1n n u ,若 l u n n n =∞

→lim ,则

① 当1

n n u 收敛; ② 当1>l 时,级数∑∞

=1n n u 发散.

证明： ① 1:<-=?+,,00ε,有

l q l u n n -<-|| 或

n ,根据判别法02：柯西判别法可以得到级数∑∞

n n u 收敛.

② 已知1>l ,根据数列极限的保号性,N n N N ≥?∈?+,,有1>n n u ,根据判别法02：柯西判别法可以得到级数∑∞

n n u 发散.

注：多数情况下正项级数的通项开n 次方根不会直接得出一个常数,或者计算复杂，所以通常情况下使用柯西判别法的极限形式判别级数的敛散性.

判别法03：达朗贝尔判别法

[4] 设正项级数)0(1>∑∞

=n n n u u ,存在常数ρ.

① 若N n N N ≥?∈?+

,,有 11

<≤+ρn n u u ,则级数∑∞

n n u 收敛;

② 若N n N N ≥?∈?+

,,有 11

≥+n n u u ,则级数∑∞=1

n n u 发散.

证明: ① 不妨设N n ∈?,有ρ≤+n

n u u

1 或 ρn n u u ≤+1.

,,,l ,3,

l ,2,

,1113

134212312k k k u q u u k n u u u n u u u n u u n ρρρρ≤≤=≤≤=≤≤=≤=+

已知几何级数)10(1

1<<∑∞

=ρk

k q u 收敛,根据判别法01：比较判别法,则级数∑∞

n n u 收敛.

② 已知N n N N ≥?∈?+,,有

≥+n

n u u 或 n n u u ≥+1，即正项数列{}n u 从N 项以后单调增加,n u 不趋近于)(0∞→n ,则级数∑∞=1

n n u 发散.

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判别法03+：达朗贝尔判别法 [4] 设有正项级数)0(1>∑∞

=n n n u u ,且.lim

l u u n

n n =+∞

→ ① 当1

n n

收敛; ② 当1>l 时,级数

∑∞

n n

发散.

证明： ① 1:<?∈?>-=?+,,00ε,有

l q l u u n

n -<-+||1

或 11<<+q u u n n ,根据判别法03：达朗贝尔判别法,级数∑∞=1

n n u 收敛. ② 已知1>l ,根据数列极限的保号性,,,N n N N ≥?∈?+有11

>+n

n u u .根据判别法03：达朗贝尔判别法,级数∑∞

=1n n u 发散.

注：在柯西判别法和达朗贝尔判别法中只讨论了11<>l l 或的情况,并没有考虑1=l 的情况,也没有考虑l 不存在又是怎样的情况,这说明这两种判别法存在着一定的不足.下面看一个引理

2.4.1.5引理

[1]设正项级数)0(1>∑∞

=n n n u u ，那么有：

n n n n n n n n n n n u u

u u u u 11lim lim lim lim

+∞→∞→∞→+∞

→≤≤≤ 证明：设

n n u u

r 1lim +∞→= ，

由上下极限的知识我们可知，对任意给定的ε，存在正整数N ，使得对一切 N n >，

成立

ε+<+r u u n n 1

于是)1(,11)(+>*<+--+N n u u N N n n r ε，从而

εε+=*≤+--∞

→∞

→+r u u n

N N n n n

n n r 11

)

(lim

lim

，

由ε的任意性，即得到

n n n

n n x x

r u 1lim lim

+∞→∞

→=≤=

类似的可以证明： n

n n u u 1

lim

+∞→ ≦ n n n u ∞→lim 。

该引理告诉我们：若一个正级数的敛散情况可以由达朗贝尔判别法判定，那么他也一

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定能用柯西判别法判定。但是，能用柯西判别法判定的级数，却未必能用达朗贝尔判别法判定。这就是说柯西判别法的适用范围比达朗贝尔判别法判别范围广。但是对某些具体例子而言，两种判别法都适用，而达朗贝尔判别法比柯西判别法更方便一些，读者应根据级数的具体情况来选择合适的判别法。

注：达朗贝尔判别法判与柯西判别法的本质都是比较判别法，与之相比较的是几何级数)0(11≠∑∞

=-a ar n n ：把所有要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的,也就

是说,只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数,这两种方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛速度较慢,它们就无能为力了.在判

定级数收敛时，要求级数的通项受到1

-n r （0 < r < 1）的控制；而在判定级数发散时，则是根据其一般项不趋于零，由于两者相去甚远，因此判别法在许多情况下会失效，

即便对∑∞

=11

n p n

这样简单的级数，他们都无能为力。因此为了获得判别范围更大的一类

级数,就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准.数学家拉贝用 p-级数代替几何级数,仿照比值判别法建立了一个拉贝判别法,它比比值判别法要精确,有些比值判别法不能判别的用拉贝判别法可以判别.

下面我们将一起探讨的判别法：拉贝判别法将在一定程度上弥补上述的局限性

判别法04：拉贝判别法

[4] 设有正项级数∑∞

n n u )0(>n u ,存在常数q .

① 若N n N N ≥?∈?+

,,有1)1(1

>≥-+q u u n n n ,则级数∑∞

n n u 收敛； ② 若N n N N ≥?∈?+

,,有1)1(1

≤-+n n u u n ,则级数∑∞=1

n n u 发散. 证明：①由q u u n n n ≥-+)1(1可得n

u u n n -<+11.选p 使q p <<1.由于

1)1(lim )1(1lim )11(1lim 100<=-=--=---→→∞→q

q x p qx x n q n p x p x p n ,

因此,存在正数N ,使对任意N n >,p n

n q )1

1(1-->.这样 .

于是,当N n >时就有

1()1()12()1(1111N p

p p N N N n n n n n u n N u N

N n n n n u u u u u u u u ?-=

?----≤????=+-++

当1>p 时,级数∑∞

=11

n p n

收敛,故级数∑∞=1n n u 收敛.

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② 由1)1(1≤-

+n n u u n 可得n

n n u u n n 1

111-=-≥+,于是 222231111

21121u n

u n n n n u u u u u u u u n n n n n ?=???--?->

????=-++ . 因为∑∞

=11

n n

发散,故级数∑∞

=1n n u 发散.

注：虽然拉贝判别法有时可以处理达朗贝尔判别法失效（即出现.1x x lim 1

=+∞→n

n n 的

情况）的级数，但当1)1x x (

lim 1

=-+∞

→n n

n n 的情况出现时拉贝判别法依然失效，即级数可能收敛，也可能发散。事实上，还可以建立比拉贝判别法更有效的判别法，比如

Bertrand 判别法：设r ]1)1x x ([n ln lim 1=--+∞→n n

n n ）（，则当1r >时级数∑∞

=1x n n 收敛；当1

r <时级数∑∞

=1x n n 发散，但是当1r =时魔鬼再一次出现：判别法又失效了因为杜·布洼·雷知

恩曾证明:任何收敛的正项级数,都有比它收敛得更“快”的级数存在.还有人证明:任何

发散的正项级数也有比它发散得更“慢”的级数存在.这说明没有收敛的最快的级数,也没用发散的最慢的级数,所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的.这个过程（即逐次建立更有效的判别法的过程）是无限的，虽然每次都能得到新的，适用范围更广的判别法，但是这些判别法的证明也变得更加复杂。至此我觉得再继续研究下去没有意义,这里就不再进一步介绍了。下面我们来探讨一下积分判别法。

判别法05：积分判别法

设f 为],1[+∞上非负减函数,那么正项级数∑)(n f 与反常积分?+∞

1)(dx x f 同时收

敛或同时发散.

证明：由假设f 为],1[+∞上非负减函数,对任何正数A ,f 在],1[A 上可积,从而有 ?

-=-≤≤n

n n n f dx x f n f 1

,3,2),1()()(

依次相加可得

∑?

∑∑==-==-≤≤m

n m

n m n n f n f dx x f n f 2

211

)()1()()( (1)

若反常积分收敛,则由（1）式左边，对任何正整数m ，有

∑?

=+∞

+≤+≤=

n m

m dx x f f dx x f f n f s 1

)()1()()1()(.

根据2.4.1.1定理03：（正项级数的收敛原理) ,级数∑)(n f 收敛.

反之,若∑)(n f 为收敛级数,则由（1）式右边，对任一正整数)1(>m 有

∑?

=≤≤-s n f s dx x f m m

)()(11

. (2)

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因为)(x f 为非负减函数,故对任何正数A ,都有 1,)(01+≤≤<≤≤?n A n s s dx x f A

n .

根据(2)式得反常积分?

+∞

)(dx x f 收敛.

用同样的方法,可以证明∑)(n f 与?

+∞1

)(dx x f 是同时发散的.

注：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.

综上所述,判别正项级数的敛散性有多种方法,比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、积分判别法,以及上面讨论的两种新方法.但是它们各自适用于不同的形式的正项级数,根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决.如果原级数容易找到一个常用的比较因子,判断出它们之间的大小关系,则用比较判别法;如果原级数含有n 次幂的形式,则可考虑用柯西判别法;如果原级数含有!n 等形式,则可试用达朗贝尔判别法;如果用上面三种方法都不容易判断敛散性,可试用拉贝判别法;

2.4.2任意项级数收敛的判断

一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以使用正项级数的各种判别法来判断他的收敛性。如果一个级数既有无限个正项，又有无限个负项，那么正项级数的各种判别法不再适用。

为此，我们从正项级数转向讨论任意项级数，也就是通项任意的可正可负的级数。由于Cauchy 收敛原理是对敛散性最本质的刻画，为了判断任意项级数的敛散性，我们将关于数列的Cauchy 收敛原理应用于级数的情况，即可得到

01定理：级数的Cauchy 收敛原理

级数∑∞

=1x n n 收敛的充分必要条件是：对任意给定的0>ε，存在正整数N,使得

ε<=+???++∑+=++||||1

21m

n k k

m n n x

x x x

对一切N n m >>成立。

01定义：交错级数

若级数的各项n u 符号正负相间,且满足}{u n 单调减少且收敛于0，则称这样的交错

级数为Leibniz 级数

02 定理：Leibniz 判别法

有交错级数

∑∞

=->-1

0,)

1(n n n u u ，若

① 1,+≥?n n u u n

无穷级数求和问题的几种方法

目录摘要 (2) 1无穷级数求和问题的几种方法 (2) 1.1利用级数和的定义求和 (2) 1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3) 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4) 1.4逐项求极限 (5) 1.5利用Flourier级数求和 (7) 1.6构建微分方程 (9) 1.7拆项法 (9) 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10) 2总结 (12) 3参考文献 (12)

无穷级数求和问题的几种方法摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和定义[1] 若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1 l i m l i m n n n n n S u S ∞ →∞ →∞ == =∑, 则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，记为1 n n u S ∞ ==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列 {}n S 发散，则称级数1 n n u ∞ =∑发散. 例1 求级数()∑∞ =--1 112n n q n ，1≤q 的和 . 解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2) （1）-（2）得： 1 1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+--- 12 112(21)1(1)1n n n q q S q n q q q --=+----- 2 12lim 1(1)n n q S q q →∞ = +-- 即级数和 2 121(1) q S q q = +--.

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

级数求和的常用方法

四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法学生姓名刘学江院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2008级01班学号2008060122 指导教师李红梅完成时间2012年4月30日

级数求和的常用方法学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法. 关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和 Common Methods of Summing of Series Abstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory，The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1运用公式法很多数列的前n项和S n的求法，就是套等差、等比数列S n的公式，因此以下常用公式应当熟记: L 1 123n n(n 2 1) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1 111 L 11 1 22232n2 还要记住一些正整数的幕和公式： 2 2 2 2 1 1 2 3 n n(n 1)( 2n 1) 6 小3 小3 3 1 2 “八2 1 2 3 n n (n 1) 4 例1已知数列｛a n｝的前n项和S n32n n2，求数列｛a n｝的前n项和T n. (1) 所以 2 由S n 32n n ,可得a n 16 时,T n=S n 17时， T n T n 求S n 1 33 2n, a n 0 16，所以: 32n a1 (a1 S]6 2S16 2 n 32 n 2 n a2 a2 (S n S n 32n n2 32n 2 (n 1) a n a? S6) 512 512 3 (n 2) (ai7 a18 a n) (n (n 1,2,L 17,且n N ) ,16)

k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.解设a k

S n (12 3 n)(n 1) (12 22 32 n 2) 1 1 n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1 ：n(n 1)(n 2) 6 答案：S n n 2. 答案：S n n 3n . (1) 求 a n ； ⑵设b h log 3a n ，求数列｛bj 的前n 项和S n . 答案：（1） 2 n 1 n n a n 3 ； (2) S n 2 . 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第 16题）已知a n 是首项为1,公差为2的等差数列，S n 表示a n 的前n 项和. (1)求 a n 及 S n ； 2 （2）设b n 是首项为2的等比数列，公比 q 满足q @4 1）q S 4 0，求b n 的通项公式及其前n 项和T n . 答案：（1） a n 2n 1,S n n 2 ；（2） b n 22n1 ,T n 2 （4n 1）. 3 2倒序相加法事实上，等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法 ? 例3 求正整数 m 与n （m n ）之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然，这些既约分数为： 1 2 4 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 3 3 3 3 3 3 高考题1 （2014年高考浙江卷文科第 19题（部分））求数列2n 1的前n 项和S n . 高考题2 （2014年高考四川卷理科第 19题（部分））求数列2n 4的前n 项和S n . 咼考题3 （2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列｛a n ｝中，a 2 3,a 5 81.

级数求和的常用方法

1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22n n a a n n s na d +-=+= ），其中1a 为首项，d 为公差证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：2101 2(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1) 1n a q s q -=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

级数求和

级数求和的常用方法摘要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法. 关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法

Summation of series method in common use Abstract Progression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions. Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

级数求和的常用方法.docx

1.7 方程式法 (3) 1.8 原级数转化为子序列求和 (3) 1.9 数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10 化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11 三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12 构造函数计算级数和 (5) 1.13 级数讨论其子序列 (5) 1.14 裂项法求级数和 (6) 1.15 裂项+分拆组合法 (7) 1.16 夹逼法求解级数和 (7) 2 函数项级数求和 (8) 2.1 方程式法 (8) 2.2 积分型级数求和 (8) 2.3 逐项求导求级数和 (9) 2.4 逐项积分求级数和 (9) 2.5 将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6 利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7 三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8 利用三角公式化简级数 (12) 2.9 针对2.7 的延伸 (12) 2.10 添加项处理系数 (12) 2.11 应用留数定理计算级数和 (13) 2.12 利用Beta 函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性? 1数项级数求和 1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. s=naι n(^d= n(ai,其中a1为首项，d为公差 12 2 证明：s=a∣ +a2+...+a n①，s=a n+...+a2+a1② ①+②得：2s=(a a n)+ a2+a n-1 +...+(a n+a1) 因为等差级数a1■ a n=...=a n+a1 所以S = n(a1? an)此证明可导出一个方法“首尾相加法”见 1.2. 2 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1：求C n l■ 3c1■ 5C n... (2n ? 1)c：. 解：C0■ 3C n ■ 5c2... ■ (2n 1)c∩，s = (2n? 1)c：^ ...5C n '3c∩' C n ,两式相加得： 2s=(2n 2)(C∩ ...c2C n C∩^(Π 1) 2n 1,即： c0 3c1 5c∏ ... (2Π 1)C∏=(Π 1)2n. 1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q=1，s ^na j当q ≠ 1，s=a(I L),其中印为首项，q为公比. 1-q 证明：当q=1 ,易得s=na1，当q ≠ 1, s=a1 +a1q1+...+a1q n4①，qs=a1q+a1q2+...+a1q n②， ①-②得(^q)^a^a I q n.可以导出一种方法“错位相减”见下 1.4

级数求和的若干种方法

本科生毕业论文 ( 2013 届 ) 题目：级数求和的若干种方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：学号：指导教师：职称（学位）：副教授合作导师：职称（学位）：完成时间：2013 年 5 月 20 日成绩：

学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。声明人（签名）：年月日

目录中文摘要 (1) 外文摘要 (2) 1.引言 (3) 2．关于级数问题的介绍 (3) 2.1常数项级数的概念及基本性质 (3) 2.2收敛判别法 (4) 2.2.1 利用收敛定义判别 (4) 2.2.2 特殊级数收敛判别 (4) 2.2.3 利用绝对收敛定理判别 (5) 2.3幂级数的收敛域 (5) 2.3.1幂级数及其相关概念 (5) 2.3.2幂级数的收敛半径及收敛域的求法 (6) 2.4幂级数的性质 (6) 3.级数求和的方法 (6) 3.1利用级数定义求和的几种方法 (7) 3.1.1利用等差数列求和公式求级数和 (7) 3.1.2利用等比数列求和公式求级数和 (7) 3.1.3 利用错位相减法求级数和 (8) 3.1.4利用裂项相消法求级数和 (9) 3.1.5利用待定系数法求级数和 (10) 3.2 幂级数求和的几种方法 (11) 3.2.1利用幂级数的性质求级数和 (11) 3.2.2利用微分方程的转化求级数和 (13) 3.3利用幂级数求和的几种方法 (14) 3.3.1构造级数再利用一致收敛级数的性质求级数和 (14) 3.3.2利用傅里叶级数求级数和 (14) 3.4 利用概率方法求级数和 (16) 4．结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

级数求和的常用方法 (2)

1、7方程式法 (3) 1、8原级数转化为子序列求与 (3) 1、9数项级数化为函数项级数求与 (3) 1、10化数项级数为积分函数求原级数与 (4) 1、11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1、12构造函数计算级数与 (5) 1、13级数讨论其子序列 (5) 1、14裂项法求级数与 (6) 1、15裂项+分拆组合法 (7) 1、16夹逼法求解级数与 (7) 2函数项级数求与 (8) 2、1方程式法 (8) 2、2积分型级数求与 (8) 2、3逐项求导求级数与 (9) 2、4逐项积分求级数与 (9) 2、5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2、6利用傅里叶级数求级数与 (10) 2、7三角级数对应复数求级数与 (11) 2、8利用三角公式化简级数 (12) 2、9针对2、7的延伸 (12) 2、10添加项处理系数 (12) 2、11应用留数定理计算级数与 (13) 2、12利用Beta函数求级数与 (14)

参考文献 (15)

级数求与的常用方法级数要首先考虑敛散性,但本文以级数求与为中心,故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题、由于无穷级数求与就是个无穷问题,我们只能得到一个n →∞的极限与、加之级数能求与的本身就困难,故本文只做一些特殊情况的讨论,而无级数求与的一般通用方法,各种方法主要以例题形式给出,以期达到较高的事实性、 1数项级数求与 1、1等差级数求与等差级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公差,并运用公式可求与、 11((1)22 n n a a n n s na d +-=+=）,其中1a 为首项,d 为公差证明:12=++...+n s a a a ①,21s=+...++n a a a ② ①+②得:()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1、2、 1、2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同,便化为一简易级数求与、例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++、解:01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++,210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++,两式相加得:21012(22)(...)(1)2 n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?,即: 01 235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+、 1、3等比级数求与等比级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公比并运用公式可求与、当q =1,1s na =;当q ≠1,1(1)1n a q s q -=-,其中1a 为首项,q 为公比、证明:当q =1,易得1s na =, 当q ≠1,11111=++...+n s a a q a q - ①, 2111=++...+n qs a q a q a q ②, ①-②得11(1)n q s a a q -=-、可以导出一种方法“错位相减”见下1、4

级数求和的常用方法

级数求和的常用方法 Prepared on 22 November 2020

方程式法 (3) 原级数转化为子序列求和 (3) 数项级数化为函数项级数求和 (3) 化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 构造函数计算级数和 (5) 级数讨论其子序列 (5) 裂项法求级数和 (6) 裂项+分拆组合法 (7) 夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 方程式法 (8) 积分型级数求和 (8) 逐项求导求级数和 (9) 逐项积分求级数和 (9) 将原级数分解转化为已知级数 (10) 利用傅里叶级数求级数和 (10) 三角级数对应复数求级数和 (11) 利用三角公式化简级数 (12) 针对的延伸 (12) 添加项处理系数 (12) 应用留数定理计算级数和 (13) 利用Beta函数求级数和 (14)

参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22 n n a a n n s na d +-=+ = ），其中1a 为首项，d 为公差证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见. 首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：2101 2(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.

数列求和常用的五种方法

数列求和常用的五种方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 11 2++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21 [+==∑=n n k S n k n 例1．已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x ，由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32=x x x n --1)1(＝2 11)21 1(2 1--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ……………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积当时1=x ，()()[]22 121127531n n n n S n =-+= -+++++=

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结

常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++ ++ ∈ ! 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

级数求和的常用方法

级数求和的常用方法级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行函数值计算的一种工具,无穷级数的和是级数研究中的一项重要内容,级数求和方法在各高等数学教材中都有介绍，本文主要归纳出几种常用的级数求和方法，给初学者提供学习上的帮助. 1数项级数求和的常用方法 1.1 拆项法这是一种简单、常用的方法，适用于一些简单的级数求和问题,其基本思想是将级数 ∑∞ =1 n n a 的通项n a 分解为：n n n b b a -=+1，代入级数的部分和∑== n k k n a s 1 ，相邻两项相消，则有11b b s n n -=+，若 ∞ →n lim b b n =+1，则∑∞ =1 n n a ∞ →=n lim n s =1b b -. 例1 求级数 ∑∞ =+-1 )15)(45(1 n n n 的和 ) 5](1[P . 解 ∑=+-=n k n k k s 1)15)(45(1=)151 451( 511 +--∑=k k n k = )1 51 1(51+-n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim )1511(51+-n =5 1 例2 求级数 ∑∞ =++1 )2)(1(1n n n n 的和) 5](1[P . 解 ∑∑==??????++-+=++=n k n k n k k k k k k k s 11)2)(1(1 )1(121) 2)(1(1 = ??? ? ??++-)2)(1(1 2121n n 所以 ∞ →n lim ∞ →=n n s lim 41)2)(1(1 2121=??? ? ??++-n n 由以上两个例题可知，在遇到级数通项的分母是两个或三个因式的乘积而分子是一个常数时，