第17讲数阵图(二)

第17讲数阵图（二）

例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。

因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为

2d-c（见下图）。

根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到

3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），

3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，

d——c＋b＝d——a＋c，

2c＝a＋b，

a＋b

c＝2。

值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。

例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。

例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

解：由例2知，右下角的数为

（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得右下图的填法。

例5在下页上图的每个空格中填一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

解：由例2知，右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）。因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等，所以，

“中心数”＝（10＋6）-9＝7。

其它依次可填（见右下图）。

由例3～5看出，在解答3×3方阵的问题时，上讲的例4与本讲的例2很有用处。

人教版小学三年级数学第16讲数阵图(一)

第16讲数阵图(一) 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

二年级奥数：巧妙填数数阵图练习题含答案

第二讲：数字游戏—填图与拆数【有话要说】填数是一种既有趣，又能锻炼头脑、发展智力的趣味活动。它不仅可以提高你的运算能力，而且能促使你积极地去思考问题，解决问题。填数这类题目的题型比较多，解答时除了口算要熟练外，更重要的是要会分析、推理。有的题目答案不止一种，要多尝试，要尽量运用发散思维、求异思维，把各种可能的答案想出来。【经典例题】例1：把1、3、5、7、9、11、13七个数填入右图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21. 思路导航：这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14； 1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。例2：如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15. 思路导航：因为每一横行、竖行、斜行三个数的和都等于15，我们可以先填一行中只有一个空格的数，如：4+（9）+2=15，竖行6+（7）+2=15，斜行6+（5）+4=15，根据填出的数再填只有一个空格的数。 6 4 2

3 7 56 4 52 1 3解：例3：把1、2、3、4、5、6这六个数填入右图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。思路导航：先确定图形中央的两个数分别填几，可以这样想，先求六个数的和与两个大圆上八个数的和：1+2+3+4+5+6=21,13+13=26,26-21=5，这个5就是中央两个圆的数的和，1+4=5,2+3=5，就是说中央两个小圆里可以填1和4，也可以填2和3，中央填1和4,13-5=8，左边填3和5，右边填2和6，中央填2和3行不行呢？剩下的数有1、4、5、6任意两个数的和都不是8，所以无法填出，因此，中央只能填1和4. 解：例4：由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1 ～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15. 思路导航：

二年级奥数数阵图

数阵图是小学奥数阶段一个很重要的专题。在这节课中，我们的教学目标就是让学生初步认识数阵，并能通过一系列的练习，找到解数阵的一般方法。今天我们重点研究的方法，就是通过找中心数来解题，会根据题目中给出的已知条件来求中心数。在例题的设计中，我们也是层层深入，让学生能通过简单的例题来发现规律找到解题的方法，通过例题难度的加深来拓展应用。希望这节课的学习能使学生的思维能力得到培养，能让学生对数阵产生兴趣，为今后的继续学习奠定基础。在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧【例1】把1，2，3，4，5这 5个数分别填入图中的圆圈内，（1）使得横行 3个数的和与竖列 3个数的和都等于 10。（2）使得横行3个数的和与竖列3个数的和都相等.一共有多少种不同的填法？【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等 . 例题精讲知识框架数阵图巧求周长

【例3】把1，2，3，4，5，6，7 这7个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的3个数的和等于12．【例4】把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条线上的三个圆圈内的数之和都等于15。【例5】1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的和相等．一共有多少种方法？【例6】把1～9这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于15。【例7】将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.

简单数阵图(精选.)

简单数阵图一、知识点：一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图。在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。二、典例剖析： 1．辐射型数阵：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。由此得到： (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。 (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论。例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见上图)。随堂练习： 1、将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.

数阵图三讲解

数阵图三讲解 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13，于是得到下图的填法。例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。

例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为

北师大版二年级数学下册《巧填数阵图》练习题

二下《填数阵图》练习题基础知识填空 1、四千零九十写作（），八千写作（）三百零七写作（），二个千，五个百是（） 2、甲数是125，比乙数多18，乙数是（）。 3、老师有20个本子，最少还要买（）个就可以平均分给7个小朋友了。 4、从一个钝角上剪去一个直角后得到的角是（）。 5、32个百加上6个十是（）；差和减数都是1700，被减数是（）。 6、383中左边的3表示（），右边的3表示（）。 7、20比一个数少5，这个数是（）。 8、被除数和除数（0除外）相等，商是（）。 9、如果被减数不变，减数减少10，那么差就会（）。 10、正方形四条边（），四个角都是（）。 11、3m＝( )cm 9cm＝( )mm 50dm＝( )m 5km10m＝( )m 12、按规律填数：3785 , 3885 ,（）,（）, 4185 , ( ) 13、填“＞”，“＜”或“＝”： 2时○200分1时30分○90分 3080○2985 10个十○2个百 1000-30○700 200分○2小时判断 1．下午第一场电影是1小时30分开映。（） 2、3米、400厘米、350厘米按从大到小的顺序排列是400厘米＞350厘米＞3米（） 3、最小的四位数减１就是最大的三位数（） 4、求比72多20的数是多少，用加法计算（） 5、3点整、3点半、9点整、9点半的时针分针都成直角。（） 6、两个数相除，被除数一定大于除数。（） 7、在除法里，商不一定小于除数。（）选择 1、3000是（）可以看成 ①30个千②30个百③30个十 2、一个钝角可以分成（）。 A．一个直角和一个锐角 B.两个锐角 C.不能确定列竖式计算 100－81＝ 400－380＝根据算式提问题或条件。 1、小鸡有6只，小鸭是小鸡的5倍，？算式是：6＋6×5

(完整版)第三讲、有趣的数阵图

第3讲.有趣的数阵图数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式：总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题：奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系：（1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9. 例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？随堂练习1 （1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) （2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。

随堂练习2 将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. （1）将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) （2）将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

奥数知识点简单数阵图

简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。先求重叠数。数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和 / 线总和 = 公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1 公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例 1、把1-5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

例 3、把1~5 这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为8。若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为9。若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为10。分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。重叠数=[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7； 3，6；4，5。可得右上图的填法。例5、将 10~20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上三个数字之和都相等。总结：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数 =直线上各数之和×直线条数。 (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。（如例1、例4） (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析，如例3。分析与解：与例2类似，中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。

二年级奥数数阵习题及参考答案

2016春季数学集训二队每周习题(3)参考答案星期一 1.将自然数1，2，3，……按下表的规律排列。问：55应该出现在哪个字母所在的一列？如果1、2、3、4所在的那行称作第1行，那么它在第几行？解：(提示：每个周期8个数，每个周期占两行) 55÷8＝6…… 7(是C 列) 行数：2×6＋2＝14(行) 答：55应该出现在C 字母所在的一列，它在第14行。 2.如果今年的3 月26日是星期三，那么今年的4月26日是星期几？解：(3＋31)÷7＝4……6(星期六) 答：今年的4月26日是星期六。 3.如果今年的6月26日是星期三，那么今年的8月4日是星期几？解：(3＋30＋31＋4－26)÷7＝6(日) 答：今年的8月4日是星期日。星期二 4.将2、5、8、11、14【解题思路】：确定图中的公用数。图中两条线上6个数的总和为：2×24＝48，已知5个数的总和为：(2＋14)×5÷2＝40或8×5＝40，或2＋5＋8＋11＋14＝40 图中两条线的总和比已知数的总和多出了：48－40＝8，则公用数为8。 5.将2、4、6、8、10、12、14填入下图的○中，使每条线上三个数之和都等于24。【解题思路】：确定图中的公用数。图中三条线上9个数的总和为：3×24＝72，已知7个数的总和为：(2＋14)×7÷2＝56或8×7＝56，图中三条线的总和比已知数的总和多出了：72－56＝16，因为中间的公用数多用了2次，所以公用数为：16÷2＝8

6.把1～7填入下图的圆圈中，使每条线上三个数之和都等于12。【解题思路】：确定图中的公用数。图中三条线上9个数的总和为：3×12＝36，已知7个数的总和为：(1＋7)×7÷2＝28或4×7＝28，图中三条线的总和比已知数的总和多出了：36－28＝8，因为中间的公用数多用了2次，所以公用数为：8÷2＝4。星期三 7.将2～10这九个数分别填入下图的方格内，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都为18。【解题思路】：确定中间数。因为每边之和是18，可以得到中间数是：18÷3＝6，最后填完整个九宫图。 8.把4～9填入下图的□内，使每条线上三个数的和都是18。【解题思路】：确定图中三个公用数。图中三条线上9个数的总和为：3×18＝54，已知6个数的总和为：(4＋9)×6÷2＝39，图中三条线的总和比已知数的总和多出了：54－39＝15则三个公用数之和为15。又因15＝4＋5＋6，所以三个公用数分别是4、5、6。 9.将1～10填入下图的○中，使每个菱形的四个顶点上四个数之和都为20。【解题思路】：确定图中两个公用数。图中四个菱形上12个数的总和为：3×20＝60已知10个数的总和为：(1＋10)×10÷2＝55图中四个菱形的总和比已知数的总和多出了：60－55＝5，则两个公用数的和为5。 5＝1＋4＝2＋3。 (答案不唯一。举其中一例，如右图所示)

四年级奥数第8讲有趣的数阵图

第8讲.有趣的数阵图数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式：总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题：奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系：（1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9. 例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？随堂练习1 （1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) （2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。

(完整word)二年级奥数数阵图.pdf

数阵图小朋友们，你喜欢填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！例1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。 (1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15. 例2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.

在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。例3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。（2）把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13. 例4.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12。把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。

简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少 1 公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？二、封闭型数阵图

第7讲数阵图

【知识要点】数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。常见的数阵图有以下三种： 1．有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。 2．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”。填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。 3．有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”。我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字。数阵图的解题关键是找”重复数”。将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。

【例2】把1～7这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。【例3】将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

【例4】唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大王告诉他们，只有他们能1,2,3,4,5,6 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是l6才允许他们通过，这可急坏了师徒四人，你能解决这个问题吗？【例5】【超常】将1～8填入下图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

【例5】【超常2】将自然数1～7填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等。【例5】【超常】如图 “好、朋、友、伙、伴、帮、手”这7个汉字分别代表1～7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加，2个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同。那么，“好”字代表多少? 手帮伴伙友朋好

第2讲数阵图初步-完整版

第2讲数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某种情况下还需要考虑对称性。典型问题兴趣篇 1．在图2-1中的3个空白○内填入3个不同的自然数，使得三角形每条边上的3个数之和都等于I1。答案：解析：在数阵图问题中，一般要从已知条件最多的部分人手分析，如图1 所示，可发现左边的线上已知两个数，从这里人手就可以求出这条线上的第三个数，依次类推，可得图2中○内的数，进而得题目答案．

2．请分别将1、2、4、6这4个数填在图2-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数之和都等于15。答案：解析：先看上面的圆圈，4个数的和是15，其中有两个数是5和7，所以剩下两个数的和是15-5-7=3．可填的数字是1、2、4，6，所以这两个数只能是1 和2．同理，得左边圆圈剩下两个数的和是15-5-3=7，所以这两个数只能是1和 6．因为两个圆圈共有1，所以必须把1填在中间，剩下4填在右边圆圈里，正好满足题意。 3．如图2-3所示，请在3个空白○内填入3个数，使得每条直线上3个数之和都相等。

答案：解析：为叙述方便，将空白圆圈标上字母，如图所示：比较图中两条粗直线，它们共有A.由于两条直线的和相同，所以除了A之外，剩下的数求和也得相同，即7+B=9+8=17，由此可得B=10．于是公共和为8+10+3=21．利用公共和即可填出整个数阵图． 4．把1～8这8个数分别填入图2-4中的8个方格内，使得各列上2个数之和都相等，各行4个数之和也相等。答案：不唯一，例如：

解析：1+2+3+4+5+6+7+8=36，由36÷4=9，得每列两个数之和是9，由36÷2=18，得每行四个数之和是18.先把9写成两个数的和，只能是 1+8=2+7=3+6=4+5，这恰好是1～8．正好是(1、8)，(2、7)，(3、6)，(4、5)，共4组．把这4组数依次填入表中，如图1所示．但此时行和不等于18，则适当调整一下上下两个数的顺序，就可以凑出行和18了，如图2所示． 5．如图2-5，在这只“毛毛虫”身体上的7个小O中分别填入1～7这7个数，使得3个大圆上的数之和相等。答案：不唯一，例如：

二年级奥数数阵图12

专题五简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1 公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？

二、封闭型数阵图多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。突破关键：确定顶点上的数字，公共的和数和+重叠数的和＝公共的和×边数数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和边数：指封闭图形的边数例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。

练习五 1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。 2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。 3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。 4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。

学而思教师版第六讲数阵图

第六讲数阵图教学目标数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。本讲除了要讲授填数真阵图的主要技巧，还有以下注意点： 1. 引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断； 2. 教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法； 3. 锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力； 4. 培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力。经典精讲数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键，基本类型的数阵图【例1】将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围。 1 62435 163254 254163 435162 【分析】设三角形三个顶点的数字之和为s ，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ s = 3k ，化简后为213S k +=。由于s 是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出912k ≤≤。s 和k 有四组取值： 96k s =??=? 109k s =??=? 1112k s =??=? 1215 k s =??=? 通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。点亮设计：（1）求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键词的方法是最重要的。（2）设计问题：三角形每条边之和等于1~6的和吗？为什么？不等于，因为三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加一次，也就是说三个角上的数是重复数，三个重复数的和可求为：3(12...56)321k k -++++=-。（3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和，通过分组可以知道k 的取值范围，进一步采用实验法，将它们一一进行试验，选择正确的结果。（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数其本上都是两条线相交的点，就在后面的例题中有大量体现。【铺垫】将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.

二年级奥数.计算.数阵图 (2)

数阵图是小学奥数阶段一个很重要的专题。在这节课中，我们的教学目标就是让学生初步认识数阵，并能通过一系列的练习，找到解数阵的一般方法。今天我们重点研究的方法，就是通过找中心数来解题，会根据题目中给出的已知条件来求中心数。在例题的设计中，我们也是层层深入，让学生能通过简单的例题来发现规律找到解题的方法，通过例题难度的加深来拓展应用。希望这节课的学习能使学生的思维能力得到培养，能让学生对数阵产生兴趣，为今后的继续学习奠定基础。在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，（1）使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10。（2）使得横行3个数的和与竖列3个数的和都相等.一共有多少种不同的填法？知识框架数阵图例题精讲

【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等. 【例3】把1，2，3，4，5，6，7 这7个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的3个数的和等于12．【例4】把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条线上的三个圆圈内的数之和都等于15。【例5】1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的和相等．一共有多少种方法？【例6】把1～9这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于15。

小学三年级奥数-第7讲数阵图-

顿悟教育三年级数学培优训练第七讲数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以

(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数 =每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。

7.8.数阵图、幻方(学生版)

数阵图（一）在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

例4将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。例5将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。由此得到： (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。如例1、例4。 (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。

二年级奥数数阵图带答案

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧！

如图，在空格中填入2、3、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于8。【解答】如图，在空格中填入1、2、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于9。【解答】知识分类一：基础数阵图 1 1 3 3 25 3 4 1 24 5

如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。【解答】将2，4，6，7，8，10分别填入图中空格，使每一个横行、竖行、斜行的三个数的和等于18。【解答】 8 1 8 7 9 3 5 7 2 6 10 4

把1、3、5、7、9、11、13七个数填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21。【解答】这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

把1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。【答案】把1、2、3、4、5、6这六个数填入下图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。【答案】 5 8 219 7 5 3 知识分类二：数阵图进阶

数阵图讲解

数阵图讲解数阵问题是多种多样的，解题办法也是多种多样的，这就须要我们根据标题前提灵活解题。例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图顶用箭头连接起来的四个数之和都相等。分析与解：由上图看出，三组数都包含左、右两端的数，所以每组数的中心两数之和必定相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13，于是获得下图的填法。例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。

例3将1～8填入左下图的○内，请求按照天然数次序相邻的两个数不克不及填入有直线连接的相邻的两个○内。分析与解：因为中心的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取雷同的质数），使它们的和等于20，并且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。分析与解：因为大年夜三角形的三个顶点与中心倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此获得右图的填法。例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不克不及被未标出的数整除。分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a ＝45-a。因为每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×（45-a），

第17讲 数阵图(二)

人教版小学三年级数学第16讲 数阵图(一)