北方工业大学高数A班第九章习题二(解答)

第九章 习题二 微分法及其应用

一.选择题

1.设v u z ln 2=,而),(y x u ?=、)(y v ψ=均为可导函数,则

=??y

z ( C )

(A )v

u

v u 2

ln 2+

;(B )v

u

v y 2

ln 2+

?;(C )v

u v u y ψ?'

+

2

ln 2;(D )

v

u y ψ?'2.

2.设)(sin xy z f u -=,)(x z ?=、x e y =,f 、?可微,则=dx

du ( D )

(A ))(sin xy z f -?')cos )((x xe y z x f --'?+?;

(B ))(1x f ?'?')(2x xe y f -?'+; (C )z x cos )(?')(x

x e y f +?'-;

(D )z x cos )({?')}1(+-x e x ])([sin x xe x f -'??.

3.设),(y x z z =由方程x z xy F =),(所确定,其中1C F ∈,则=+y x z z ( A ) (A )

2

1

)(1F F y x +-; (B )

2

1F yF xF x

y --; (C )0; (D )1.

4.曲面3=+-xy z e z

在点P (2,1,0)处的法线方程是 ( C ) (A )21210x y z --==; (B )21210x y z --==-; (C )

211

2

x y z --==; (D )

211

2

x y z --=

=

-.

5.已知在曲面2

2

4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=, 则点P 的坐标为 ( B ) (A )()1,1,2-; (B )()1,1,2; (C )()1,1.2-; (D )()1,1,2--.

6.函数2

2

3y xy x u -+=在点)1,1(沿)5,1(-=l

方向的变化率为 ( C )

(A )1; (B )1-; (C )0; (D )

26

52.

7.函数22z xy u -=在点)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ( A ) (A )62; (B )4; (C )22; (D )24.

8.若),(00y x f x 、),(00y x f y 存在,则=),(00y x f x 0),(00=y x f y 是),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 ( A ) (A )必要非充分条件; (B )充分非必要条件; (C )充分且必要条件; (D )既非必要亦非充分条件.

9.若),(y x f 在),(00y x 的某邻域内各二阶偏导数连续,则?),(00y x f xx -),(00y x f yy

()0),(2

00>y x f

xy

是),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 ( D )

(A )必要非充分条件; (B )充分非必要条件; (C )充分且必要条件; (D )既非必要亦非充分条件.

10.点)0,0(O 是函数xy z =的 ( B ) (A )极小值点; (B )驻点但非极值点; (C )极大值点; (D )最大值点.

二.填空题

1.设),(y x z z =由方程1832222=++z y x 确定,则

=??x

z z

x 3-

=??y

z z

y 32-

2.曲线???-==122

x z x y 在点)1,1,1(0P 处的切线方程为41

1111-=-=-z y x . 3.曲线???=+-=++4

6423222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线方程为01

1121-=-=-z y x . 4.曲线2

t x =,3t y =,3

2

t z =

在点)1,1,1(处的一个切向量与z 轴正向的夹角成钝

角,则它与x 轴正向夹角的余弦=αcos 11

6-.

5.设函数),,(z y x u u =、),,(z y x v v =可微,则u 沿v 的梯度方向上的方向导数为

2

2

2

z

y x z

z y y x x v v v v u v u v u ++++.

三.计算题 1.设)()(1y x y xy f x

z ++=

?,式中2

C f ∈?、,求x

z ??、

y

x z ???2

x

y z ???2

解:)()(1)(12

y x y y xy f x

xy f x

x

z +'+?'+

-

=???;

=

???x

y z

2

y

x z ???2

x xy f x

?'-=)(12

x xy f x

y ?''+)()()()(1y x y y x xy f x

+''++'+'+??

)()()(y x y y x xy f y +''++'+''=??.

2.设??? ?

?

=x y xy f x z ,3

,式中2C f ∈,求x z ??、y z ??、y x z ???2和22

y z ??.

解:

213

22213233f xy f y x f x x y f y f x f x x z

'-'+=?????

???? ??-?'+?'+=??; 22

142131f x f x x f x f x y z

'+'=??? ?

??'+?'=??; ??? ???'+?'=???x f x f x y x z

132122

13f x '+??? ???''+?''+x f x f y x 1121132f x '-??? ?

??''+?''-x f x f xy 12221 2132211

4

24f x f x f y f y x '+'+''-''=; 22123115221221211

42

2

211f x f x f x x f x f x x f x f x y

z ''+''+''=??? ?

??''+?''+??? ???''+?''=??. 3.设)(12

222

2

2

z y x f z

y x u ++++=

式中f 二阶可导,求2

2

2

2

2

2

z

u y

u x

u ??+

??+

??.

解:记2

22z y x r ++=

,则r

r f u )(=

.则

x r

r f r r f x

u 3

)

()(-'=

??,

3

2

5

2

2

2

)

()()]

()([3)(r

r f r r f x r

r f r r f r f r x u -'+

?-'-''=

??.

类似地,有

3

2

5

2

2

2

)

()()]

()([3)(r

r f r r f y r

r f r r f r f r y

u -'+

?-'-''=

??,

3

2

5

2

2

2

)

()()]

()([3)(r

r f r r f z r

r f r r f r f r z

u -'+

?-'-''=

??.

于是 3

2

5

2

2

2

2

2

22

)]

()([3)]

()([3)(r

r f r r f r r

r f r r f r f r z

u y

u x

u -'+

?-'-''=

??+

??+

??r

r f )(''=

4.设),(y x f z =由方程02=+-++++y x z e y x z 所确定,求dz .

解:利用微分形式不变性,在所给方程02=+-++++y x z e y x z 两端取微分,得

0)(=++?-++++dy dx dz e

dy dx dz y

x z .

则有 dy e dx e dz e y x z y x z y x z )1()1()1(-+-=-++++++. 当0≠++z y x 时,有 dy dx dz --=.

5.设),(),(y x y x u u υυ==、由?????=+-=-+0

2

2222υυu xy u y x 确定,求y x y u x u ????????υυ、、、.

解:将所给每个方程两边分别对x 、y 求导,并注意υ、u 是x 、y 的函数,得

???????=??+??-=??-??-;

,022022x x u u y x

u x u x υυυυ ???

???

?=??+??-=??-??-.,022202y y u u xy y u y u y υυυυ 解得

)

(242

2

2υ++=

??u uy

xv x

u ,

)

(242

2

2

υυυ+-=

??u y

xu x

2

2

υ++=

??u xyu y y

u ,

2

2

υυ+-=

??u xy yu y

6.设0),(0),,(),(===z x h z y x g y x f u 、、,其中f 、g 、h 都具有连续的一阶

偏导数,且0≠y g 、0≠z h ,求dx

du .

解:

dx

du dx

dy f f y x ?

+=,0=+?

+dx

dz g dx

dy g g z

y x ,0=+dx

dz h h z

x .

解得

z

y z

x x z y x h g h g h g f f dx

du -?

+=.

7.求曲线???=+-=++4

6423222z y x x

z y x 在点(1,1,1)处的法平面方程.

解:曲线在点(1,1,1)处的切向量

T )1,1,1(),(),(,),(),(,),(),(???? ????????=y x G F x z G F z y G F )

1,1,1(4,22,32,2,632,2,6,42,2????

??----=y x x z z y ???

?

??----=4,22

,1,

2,61,2,6,42,2()0,5,102=()0,1,210=, 故所求法平面方程为0)1()1(2=-+-y x ,即032=-+y x . 8.求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值.

解:由)1242(2

2+++='y y x e f x x ,)1(22+='y e f x y ,得驻点为)1,2

1

(-.

又e y y x e f A x xx

2|)12(4)1,2

1

()

1,2

1(

2

2=+++=-''=-,

0|)1(4)1,21()1,21(2=+=-''=-y e f B x xy

,e e f C x yy 2|2)1,21()1,2

1(2==-''=-, 有02

>-B AC ,且0>A ,故),(y x f 有极小值e f 2

1)1,2

1(-

=-.

9.试分解正数a 为三个正数之和,使得它们的倒数和为最小. 解:设三个正数为z y x 、、.求z y x z y x f 111),,(++=

在a z y x =++条件下,在

0>x 、0>y 、0>z 内的最小值点.记)(111a z y x z

y x F -+++++=λ,令

??

??????

??

?

=++=+-==+-==+-=,

,,a z y x z F y F x

F z y x

01

010122

2λλλ 解出 3

a z y x =

==.

由问题的背景可知,此最小值点存在.由考虑范围为开区域,故其为极小值点.再由函数的可导性可知其驻点,故其为)3

,3,3(a

a a . 答:这三个正数均为

3

a .

10.设有界闭区域D :0≥x ,0≥y ,1≤+y x .判断函数xy z =在D 上的最大值是否存在,并在其存在时求出其值.

解:xy z = 在有界闭区域D 上连续,xy z =∴在D 上的最大值存在.

y z x = 、x z y =在D 的内部无零点,xy z =∴在D 上的最大值必在边界上达

到.

在D 的边界0=x (]1,0[∈y )或0=y (]1,0[∈x )上,有0≡=∴xy z ; 在D 的边界1=+y x (]1,0[∈x )上,有)1(x x xy z -==.求)1(x x z -=在]1,0[上的最大值:

由x x z 21)(-=',得)1(x x z -=的驻点2

1=x ,进而得)1(x x z -=在]1,0[上的

最大值为4

1)21

(=

z (也可利用拉格朗日数乘法求xy z =在D 的边界1

=+y x (]1,0[∈x )上的最大值),此即为xy z =在D 的边界1=+y x (]1,0[∈x )上的最大值.

故函数xy z =在D 上的最大值为4

1.

四.证明题

试证:存在一条定直线l ,使曲面)(z y f x z -+=上任一点处的切平面都与之平行,其中f 连续可导.

证:曲面上任一点),,(z y x M 处的法向量)1,,1(f f n '+'--= .取)1,1,1(=s

,则由

0=?s n 可知s n

⊥.于是,取定直线l 的方向向量为s ,则有曲面上任一点的切平面都平行于定直线l .证毕.

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