北方工业大学高数A班第九章习题二(解答)
第九章 习题二 微分法及其应用
一.选择题
1.设v u z ln 2=,而),(y x u ?=、)(y v ψ=均为可导函数,则
=??y
z ( C )
(A )v
u
v u 2
ln 2+
;(B )v
u
v y 2
ln 2+
?;(C )v
u v u y ψ?'
+
2
ln 2;(D )
v
u y ψ?'2.
2.设)(sin xy z f u -=,)(x z ?=、x e y =,f 、?可微,则=dx
du ( D )
(A ))(sin xy z f -?')cos )((x xe y z x f --'?+?;
(B ))(1x f ?'?')(2x xe y f -?'+; (C )z x cos )(?')(x
x e y f +?'-;
(D )z x cos )({?')}1(+-x e x ])([sin x xe x f -'??.
3.设),(y x z z =由方程x z xy F =),(所确定,其中1C F ∈,则=+y x z z ( A ) (A )
2
1
)(1F F y x +-; (B )
2
1F yF xF x
y --; (C )0; (D )1.
4.曲面3=+-xy z e z
在点P (2,1,0)处的法线方程是 ( C ) (A )21210x y z --==; (B )21210x y z --==-; (C )
211
2
x y z --==; (D )
211
2
x y z --=
=
-.
5.已知在曲面2
2
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=, 则点P 的坐标为 ( B ) (A )()1,1,2-; (B )()1,1,2; (C )()1,1.2-; (D )()1,1,2--.
6.函数2
2
3y xy x u -+=在点)1,1(沿)5,1(-=l
方向的变化率为 ( C )
(A )1; (B )1-; (C )0; (D )
26
52.
7.函数22z xy u -=在点)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ( A ) (A )62; (B )4; (C )22; (D )24.
8.若),(00y x f x 、),(00y x f y 存在,则=),(00y x f x 0),(00=y x f y 是),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 ( A ) (A )必要非充分条件; (B )充分非必要条件; (C )充分且必要条件; (D )既非必要亦非充分条件.
9.若),(y x f 在),(00y x 的某邻域内各二阶偏导数连续,则?),(00y x f xx -),(00y x f yy
()0),(2
00>y x f
xy
是),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 ( D )
(A )必要非充分条件; (B )充分非必要条件; (C )充分且必要条件; (D )既非必要亦非充分条件.
10.点)0,0(O 是函数xy z =的 ( B ) (A )极小值点; (B )驻点但非极值点; (C )极大值点; (D )最大值点.
二.填空题
1.设),(y x z z =由方程1832222=++z y x 确定,则
=??x
z z
x 3-
,
=??y
z z
y 32-
.
2.曲线???-==122
x z x y 在点)1,1,1(0P 处的切线方程为41
1111-=-=-z y x . 3.曲线???=+-=++4
6423222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线方程为01
1121-=-=-z y x . 4.曲线2
t x =,3t y =,3
2
t z =
在点)1,1,1(处的一个切向量与z 轴正向的夹角成钝
角,则它与x 轴正向夹角的余弦=αcos 11
6-.
5.设函数),,(z y x u u =、),,(z y x v v =可微,则u 沿v 的梯度方向上的方向导数为
2
2
2
z
y x z
z y y x x v v v v u v u v u ++++.
三.计算题 1.设)()(1y x y xy f x
z ++=
?,式中2
C f ∈?、,求x
z ??、
y
x z ???2
及
x
y z ???2
.
解:)()(1)(12
y x y y xy f x
xy f x
x
z +'+?'+
-
=???;
=
???x
y z
2
y
x z ???2
x xy f x
?'-=)(12
x xy f x
y ?''+)()()()(1y x y y x xy f x
+''++'+'+??
)()()(y x y y x xy f y +''++'+''=??.
2.设??? ?
?
=x y xy f x z ,3
,式中2C f ∈,求x z ??、y z ??、y x z ???2和22
y z ??.
解:
213
22213233f xy f y x f x x y f y f x f x x z
'-'+=?????
???? ??-?'+?'+=??; 22
142131f x f x x f x f x y z
'+'=??? ?
??'+?'=??; ??? ???'+?'=???x f x f x y x z
132122
13f x '+??? ???''+?''+x f x f y x 1121132f x '-??? ?
??''+?''-x f x f xy 12221 2132211
4
24f x f x f y f y x '+'+''-''=; 22123115221221211
42
2
211f x f x f x x f x f x x f x f x y
z ''+''+''=??? ?
??''+?''+??? ???''+?''=??. 3.设)(12
222
2
2
z y x f z
y x u ++++=
,
式中f 二阶可导,求2
2
2
2
2
2
z
u y
u x
u ??+
??+
??.
解:记2
22z y x r ++=
,则r
r f u )(=
.则
x r
r f r r f x
u 3
)
()(-'=
??,
3
2
5
2
2
2
)
()()]
()([3)(r
r f r r f x r
r f r r f r f r x u -'+
?-'-''=
??.
类似地,有
3
2
5
2
2
2
)
()()]
()([3)(r
r f r r f y r
r f r r f r f r y
u -'+
?-'-''=
??,
3
2
5
2
2
2
)
()()]
()([3)(r
r f r r f z r
r f r r f r f r z
u -'+
?-'-''=
??.
于是 3
2
5
2
2
2
2
2
22
)]
()([3)]
()([3)(r
r f r r f r r
r f r r f r f r z
u y
u x
u -'+
?-'-''=
??+
??+
??r
r f )(''=
.
4.设),(y x f z =由方程02=+-++++y x z e y x z 所确定,求dz .
解:利用微分形式不变性,在所给方程02=+-++++y x z e y x z 两端取微分,得
0)(=++?-++++dy dx dz e
dy dx dz y
x z .
则有 dy e dx e dz e y x z y x z y x z )1()1()1(-+-=-++++++. 当0≠++z y x 时,有 dy dx dz --=.
5.设),(),(y x y x u u υυ==、由?????=+-=-+0
2
2222υυu xy u y x 确定,求y x y u x u ????????υυ、、、.
解:将所给每个方程两边分别对x 、y 求导,并注意υ、u 是x 、y 的函数,得
???????=??+??-=??-??-;
,022022x x u u y x
u x u x υυυυ ???
???
?=??+??-=??-??-.,022202y y u u xy y u y u y υυυυ 解得
)
(242
2
2υ++=
??u uy
xv x
u ,
)
(242
2
2
υυυ+-=
??u y
xu x
,
2
2
2υ
υ++=
??u xyu y y
u ,
2
2
2υ
υυ+-=
??u xy yu y
.
6.设0),(0),,(),(===z x h z y x g y x f u 、、,其中f 、g 、h 都具有连续的一阶
偏导数,且0≠y g 、0≠z h ,求dx
du .
解:
dx
du dx
dy f f y x ?
+=,0=+?
+dx
dz g dx
dy g g z
y x ,0=+dx
dz h h z
x .
解得
z
y z
x x z y x h g h g h g f f dx
du -?
+=.
7.求曲线???=+-=++4
6423222z y x x
z y x 在点(1,1,1)处的法平面方程.
解:曲线在点(1,1,1)处的切向量
T )1,1,1(),(),(,),(),(,),(),(???? ????????=y x G F x z G F z y G F )
1,1,1(4,22,32,2,632,2,6,42,2????
??----=y x x z z y ???
?
??----=4,22
,1,
2,61,2,6,42,2()0,5,102=()0,1,210=, 故所求法平面方程为0)1()1(2=-+-y x ,即032=-+y x . 8.求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值.
解:由)1242(2
2+++='y y x e f x x ,)1(22+='y e f x y ,得驻点为)1,2
1
(-.
又e y y x e f A x xx
2|)12(4)1,2
1
()
1,2
1(
2
2=+++=-''=-,
0|)1(4)1,21()1,21(2=+=-''=-y e f B x xy
,e e f C x yy 2|2)1,21()1,2
1(2==-''=-, 有02
>-B AC ,且0>A ,故),(y x f 有极小值e f 2
1)1,2
1(-
=-.
9.试分解正数a 为三个正数之和,使得它们的倒数和为最小. 解:设三个正数为z y x 、、.求z y x z y x f 111),,(++=
在a z y x =++条件下,在
0>x 、0>y 、0>z 内的最小值点.记)(111a z y x z
y x F -+++++=λ,令
??
??????
??
?
=++=+-==+-==+-=,
,
,,a z y x z F y F x
F z y x
01
010122
2λλλ 解出 3
a z y x =
==.
由问题的背景可知,此最小值点存在.由考虑范围为开区域,故其为极小值点.再由函数的可导性可知其驻点,故其为)3
,3,3(a
a a . 答:这三个正数均为
3
a .
10.设有界闭区域D :0≥x ,0≥y ,1≤+y x .判断函数xy z =在D 上的最大值是否存在,并在其存在时求出其值.
解:xy z = 在有界闭区域D 上连续,xy z =∴在D 上的最大值存在.
y z x = 、x z y =在D 的内部无零点,xy z =∴在D 上的最大值必在边界上达
到.
在D 的边界0=x (]1,0[∈y )或0=y (]1,0[∈x )上,有0≡=∴xy z ; 在D 的边界1=+y x (]1,0[∈x )上,有)1(x x xy z -==.求)1(x x z -=在]1,0[上的最大值:
由x x z 21)(-=',得)1(x x z -=的驻点2
1=x ,进而得)1(x x z -=在]1,0[上的
最大值为4
1)21
(=
z (也可利用拉格朗日数乘法求xy z =在D 的边界1
=+y x (]1,0[∈x )上的最大值),此即为xy z =在D 的边界1=+y x (]1,0[∈x )上的最大值.
故函数xy z =在D 上的最大值为4
1.
四.证明题
试证:存在一条定直线l ,使曲面)(z y f x z -+=上任一点处的切平面都与之平行,其中f 连续可导.
证:曲面上任一点),,(z y x M 处的法向量)1,,1(f f n '+'--= .取)1,1,1(=s
,则由
0=?s n 可知s n
⊥.于是,取定直线l 的方向向量为s ,则有曲面上任一点的切平面都平行于定直线l .证毕.