2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准

（A 卷）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数2

54()2x x f x x

-+=

-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x

=--时上式取等号．

而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．

2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为 （ D ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根

12a x =22a x =

故B A ?等价于12x ≥-且24x <，即

22a -且42a ， 解之得03a ≤<．

3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为

23，乙在每局中获胜的概率为1

3

，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A. 24181 B. 26681 C. 274

81

D. 670243

[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

22215

()()339

+=．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5

(2)9

P ξ==

， 4520

(4)()()9981P ξ===，

2416

(6)()981

P ξ===，

故52016266

2469818181

E ξ=?+?+?=．

[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得

12125

(2)()()9

P P A A P A A ξ==+=

， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

33211220

2[()()()()]333381

=+=，

1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

222116

4()()3381==，

故52016266

2469818181

E ξ=?+?+?=．

4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2

2

2

2

394c a b c ≥++=，2

31c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，

7，6．

若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．

若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2

230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，

则2

5a =无解，若4b =，则2

14a =无解．此时无解．

若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．

若6c =，则22943658a b +=-=，此时2

2

2

258b a b ≥+=，2

29b ≥．故6b ≥，但

6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．

综上，共有两组解2,3,9a b c =??=??=?或3,

6,7.a b c =??

=??=?

体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．

5．方程组0,

0,

0x y z xyz z xy yz xz y ++=??+=??+++=?

的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

[解] 若0z =，则00.

x y xy y +=??+=?，解得00x y =??=?，或11.x y =-??=?，

若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②

将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1

x y

=-

，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故

该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =??=??=?

或1,

1,0.

x y z =-??=??=?

6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则

sin cot cos sin cot cos A C A

B C B

++的取值范围是

（ C ）

A. (0,)+∞

B.

C.

D. )+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而

sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C

B C B B C B C

++=

++ s i n ()

s i n (

)s i n

s i n ()s i n ()s i n

A C

B B b q B

C A A a ππ+-=

=

===+-． 因此，只需求q 的取值范围．

因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组

22

,a aq aq aq aq a ?+>??+>??即2

210,

10.

q q q q ?--??

解得q q q <

q <<

． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,

n =，若

7()128381f x x =+，则a b += 5 .

[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++

++

1

1

n n

a a x

b a -=+?-，

由7()128381f x x =+得7

128a =，71

3811

a b a -?=-，因此2a =，3b =，5a b +=．

8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为1

2

-，则a

=．

[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---

221

2(cos )2122a x a a =----，

(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；

(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =

时取最小值21

212

a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为1

2

-

，

故211

2122

a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．

9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．

[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如

||||*****

***

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．

若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253

=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

12324x x x ++=．

的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：

21212

32323H C C 253===．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1

(1)n n n S a n n -+=

+，1,2,

n =，则通项n a =112(1)

n

n n -+．

[解] 1111

(1)(2)(1)

n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=

--++++，

即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(1

11)2)(1(221

=

)

1(1

)2)(1(2++

+++-n n a n n n ， 由此得 2)

1(1

))2)(1(1(1++

=++++n n a n n a n n ． 令1(1)

n n b a n n =++，

111122b a =+= (10a =)，

有112n n b b +=

，故12n n b =，所以)1(1

2

1+-

=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤?，(6)()632x f x f x +-≥?，则)2008(f =200822007

+．

[解法一] 由题设条件知

(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-

24323263232x x x x ++≥-?-?+?=?， 因此有(2)()32x f x f x +-=?，故

(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-+

+-+

2006200423(2221)(0)f =?++

+++

1003141

3(0)41

f +-=?+-

200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则

2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤?-?=，

6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥?-?=，

即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，

故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，

所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为

答12图1

答12图

2

则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

．

[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为

111A B C 的中心．

因111

1111

3P A B C A B C V S PD -?=?

111

4O A B C V -=?

1111

43

A B C S OD ?=???，

故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．

记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1

OP ，则

22

11PP PO OP =-=

=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF ，如答12图2．记正四面体 的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16

MPP π

∠=

，

有11cos PM PP MPP =?==，故小三角形的边

长1

2PE PA PM a =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

1

PAB PEF S S ??

-22())a a -

-2

=-． 又1r =

，a =

1PAB P EF S S ??-==

由对称性，且正四面体共4

个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的

最大值为α，求证：

答13图

2

cos 1sin sin 34ααααα

+=

+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =

)0(>k 的三个交点如答13图所示，

且在3(,

)2

π

π内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,

)2

παπ∈． …5分

由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα

-=-，即tan αα=． …10分 因此

cos cos sin sin 32sin 2cos αα

αααα

=

+ 14sin cos αα

=

…15分

22cos sin 4sin cos αααα+=

21tan 4tan α

α

+=

2

14αα

+=． …20分 14．解不等式

121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．

[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于

1210864353122x x x x x ++++>+．

即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，

864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分

所以 4210x x +->，

2

2(0x x >． …15分

所以2x >

，即x

故原不等式解集为51

(,()2

--∞+∞． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于

1210864353122x x x x x ++++>+． …5分

即

64222322621

33122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1

(2)1(

232232+++<+x x x

x ， …10分 令3()2g t t t =+，则不等式为

221

(

)(1)g g x x

<+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于

221

1x x

<+， …15分

即222()10x x +->，解得2x >

(2x <)，

故原不等式解集为51

(,()2

--∞+∞． …20分

题15图

15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于

PBC ?，求PBC ?面积的最小值．

[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．

直线PB 的方程:00

y b y b x x --=

，

化简得 000()0y b x x y x b --+=．

又圆心(1,0)到PB 的距离为1，

1= ， …5分

故22222

000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，

易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，

同理有2

000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022

y b c x -+=

-，

002x bc x -=

-，则 22

2

0002

0448()(2)x y x b c x +--=

-．

因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2

002y x =，则

2

2

2

04()(2)x b c x -=

-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222

PBC x S b c x x x x x ?=-?=?=-++--

48≥+=．

当20(2)4x -=

时，上式取等号，此时004,x y ==±

因此PBC S ?的最小值为8． …20分