济南大学2014 年 6 月30日线代试卷

济南大学2013～2014学年第二学期课程考试试卷（A 卷）

课 程 线 性 代 数W 考试时间 2014 年 6 月30日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

一、选择题（每小题3分，共15分）

1、若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式12311223|,,,|,|,,,|,m n αααβααβα==则4阶行列式

12312|,,,+|αααββ=[ ].

(A ) m+n ； (B ) –(m+n )； (C ) m –n ； (D ) n –m .

2、n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是[ ].

(A ) 12,,,s ααα 中的任意部分组都线性无关；

(B ) 齐次线性方程组Ax =0仅有零解，其中系数矩阵12(,,,)s ααα= A ；

(C ) 存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得11222,;s k k k ααα+++≠ 0

(D ) 12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示.

3、若A 是m ×n 矩阵，则下列结论正确的是[ ].

（A ）若Ax =0仅有零解，则=Ax b 有唯一解； （B ）若Ax =0有非零解，则=Ax b 有无穷解；

（C ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0仅有零解； （D ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0有非零解.

4、若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，且AB =E ，则下列结论正确的是[ ].

（A ）矩阵A 可逆； （B ）R (A )=m ； （C ）R (A )=n ； （D ）R (A )≤min(m , n ).

5、已知3阶矩阵A 的行列式|A |=3，则|-2A |的值为[ ]

(A ) -24； (B ) 24； (C ) -6； (D ) 6.

二、填空题（每小题3分，共21分）

1、方程2

124

13901x x =的全部根为 .

2、10101131024????=???????? .

3、已知100301101101101????????-=????????????

X ，则X = . 4、设5421,,3234????==????-????

B C 且BAC =E ，则A -1= . 5、向量(0,1,2)T β=在基123(1,2,1),(0,1,1),(1,1,1)T T T ααα===下的坐标为 .

6、已知矩阵A =????

??????---53342111a 的秩为2, 则a = . 7、设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且其秩为n -1，x 是n 维列向量，则齐次线性方程组Ax =0的通解

为 .

三、计算题（每小题10分，共30分）

1、计算行列式1111

11111111

1111x x x x

++++. 2、求向量组1234(1,3,0,1),(1,2,1,2),(1,1,2,3),(1,3,6,7)T T T T αααα====-的秩及一个最大无关组.

3、已知矩阵126032022????=-????-??

A ，计算12()()-+-A E A E . 四、解方程（每小题12分，满分24分）

1、设1234,,,αααα为4维列向量，123,,ααα线性无关. 4123ααα=-,令()1234αααα=Α，求齐次线性

方程组=0Ax 的通解.

2、试分析a 为何值时, 线性方程组 ???

????=---=+++=++-=+++a x x x x x x x x x x x x x x 4324321

4324321220122122有解, 并求其解. 五、证明题（每小题5分，共10分）

1、证明向量组1234=(1,0,1,2,0),(1,2,1,0,0),(5,6,3,4,1),(2,4,0,4,1)T T T T -=-=-=-αααα线性相关.

2、设方阵A 满足A 2+A =E ，证明A 可逆，并求A 的逆矩阵.