概率论知识点总结

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概率论与数理统计重要知识点总结

第二章 一维随机变量及其分布

1. 已知离散型随机变量的分布律,求分布函数()x F 的方法 (1)以X 的特殊点(取值点)分割-∞到+∞; (2)按右连续的规则加等号; (3)概率累加。

2. 对分布函数()x F 性质的理解 (1)()()0,1F F -∞=+∞=; (2)()x F 为单调不减函数;

(3)()x F 右连续()()()???

?????—右连续

—在间断点大部分都连续

——离散型始终连续!——连续型x F x F v r x F v r .... 说明:

(1)性质1—3,可作为判断分布函数的充要条件; (2)()(){}b X a P a F b F ≤<=- ()a b >;

(3){}()()0--==a F a F a X P ;()()00-==a F a F 连续点。

3. 连续型随机变量的概率、分布函数与概率密度的关系

概率

分布函数

概率密度

{}P x -∞<<+∞ = ()()F F +∞--∞

= ()f x dx +∞

-∞? {}P X x ≤ = ()F x = ()x

f x dx -∞?

{}P a X b << = ()()F b F a - = ()b

a

f x dx ?

{}P X a = =

()()0F a F a --

=

()a

a

f x dx ?0=

4. 求一维连续型随机变量函数分布的方法

已知:(1)X 的概率密度)(x f ; (2))(X g Y =, 求:Y 的概率密度()Y f y . 方法1(分布函数法)

(1)求Y 分布函数:(){}(){}Y F y P Y y P g X y =≤=≤=dx x f X y

x g )()(?

(2)求导数:)()(y f y F Y Y =' 注意:

(1)一般要讨论y 的范围; (2)

dx x f X y

x g )()(?

≤一般不用计算,直接用微积分中“变上下限函数”的导数公式求

导,得到()Y f y 。 方法2(公式法)

当()x g y =是分段严格单调的可导函数时,有:

()()()() 0 i i Y f h y h y y f y ?'?=???∑,

有定义的区间,,

其他..

其中()i x h y =是()x g y =的分段区间上的反函数。

第三章 多维随机变量及其分布

1. 已知二维连续型随机变量的概率密度(,)f x y 为分段函数,求边缘概率密度的方法(以()X f x 为例) (1)写公式:-()(,)d X f x f x y y +∞∞

=?

(2)画图:平面直角坐标系中画出(,)0f x y ≠的表达式所在的区域;

(3)作射线:在(2)中区域画若干条y 从-∞到+∞的射线,从而确定y 穿过

(,)0f x y ≠的区域的边界,即确定y 的积分上下限()()

(,)d h x g x f x y y ?

(4)配上()X f x 其他部分:得到()()(,)d ,()0,

h x g x X f x y y x f x ??

=????的区间,其他.

2. 已知二维连续型随机变量的概率密度(,)f x y ,求三种概率的方法总结 (1){}{}(),,=,D

P X Y P X Y D f x y dxdy =??的不等式落在某区域

(2){}()|||d

Y X c

P c Y d X a f y x dy <<==?(带入x a =)

(3){}{}{}

b X a P b X a d Y

c P b X a

d Y c P <<<<<<=

<<<<,| ()()()()(),,,,b d

a

c

D b X a

b

a D f x y dxdy dx f x y dy

f x dx

f x y dxdy dx f x y dy

'

+∞-∞

''

==

=??

???????

①②

3. 求二维离散型随机变量函数的分布律的方法 已知:(1)()Y X ,的分布律;(2)()Y X g Z ,=, 求:Z 的分布律。

方法:(1)列出Z 的所有可能取值;

(2)对应算概率(Z 的取值?X 与Y 的取值)。

4. 求二维连续型随机变量函数的概率密度的方法

已知:(1)()Y X ,的概率密度(,)f x y ; (2)(,)Z g X Y =, 求:Z 的概率密度()Z f z 。 方法1(分布函数法)

(1)求Z 的分布函数:(){}(){},Z F z P Z z P g X Y z =≤=≤=()(),,g x y z

f x y dxdy ≤??

(2)求导数:()()Z Z F z f z '=

方法2(公式法)当,,,X

Z X Y X Y XY Y

=+-时,一般才用公式法 (通过下面的具体例子讲解方法)

例:[]a U X ,0~,X 与Y 独立同分布,求Y X Z +=的概率密度()z f Z 。 解:(1)写公式:()()()()dx x z f x f dx x z x f z f Y X Z ?

?+∞

-+∞

∞--?=

-=独立,;

(2)为使被积函数≠0,要求:00x a z x a z a x z

<

(3)画数轴(关于积分变量x 的数轴):x 要落在(0,)a 之间,x 还要落在

(,)z a z -之间,则需讨论z 的区间;

(4)讨论z 的区间:()0:0Z z f z <=

()20110:z

Z z

z a f z dx a a a ≤<=?=?

()2

1122:a Z z a a z

a z a f z dx a a a --≤<=?=? ()0:2=≥z f a z Z 。

第四章 数字特征

1. 数学期望的常用计算思路

(1)利用性质:例如()E aX bY Z aEX bEY EZ +-=+- (2)利用常见分布已知的期望公式: (3)利用方差公式变型:()2

2EX DX EX =+ 例如:~()X P λ,则

2222(1)()1()121E X X E X EX DX EX EX λλ++=++=+++=++

(4)利用随机变量函数的期望公式: 例如:()()()()E g X g x f x dx +∞-∞

=?

;()()()(),,,E g X Y g x y f x y dxdy +∞

+∞

-∞

-∞

=?

?

(5)利用分解思想:()

12n EX E X X X =++???+

——适用于离散型随机变量的分布律较难求的情形

2. 本章常用公式

(1)()()2

22

EX EX EX X E DX -=-=

(2)()2

2EX DX EX +=

(3)()()()[]()DY DX EY EX XY E EY Y EX X E Y X XY ??=?-=--=ρ,cov (4)()DX X X =,cov (4)()DY

DX Y X XY ?=

,cov ρ (5)()DX a b aX D ?=+2

(6)()()Y X DY DX Y X D ,cov 2±+=±

(7)()()()()Z X Z Y Y X DZ DY DX Z Y X D ,cov 2,cov 2,cov 2±±+++=±+ (8)()()()Z Y b Z X a Z bY aX ,cov ,cov ,cov ?+?=+(“记得用”) 例:6.0,4,1,2,1=====XY DY DX EY EX ρ,则()2

21 4.2E X Y -+=

3. 独立与不相关的关系、不相关的若干充要条件

X 与Y 独立(无任何关系)?X 与Y 不相关

(无线性关系) ()()()????

???+=±??=?=?=?DY

DX Y X D EY EX XY E Y X XY 0,cov 0

ρ 4. 正态分布的若干结论 (1)()2~,X N μσ,则

()~0,1X N μ

σ

-

(2)()2~,X N μσ,则()22~,aX b N a b a μσ++

(3)相互独立的正态分布的线性组合仍服从正态分布,即()2~,i i i X N μσ,

()1,2,,i n =??? ,且12,,n X X X 相互独立,则

22112211~,n n

n n i i i i i i a X a X a X N a a μσ==??

++??? ???

∑∑

(4)若(),X Y 服从二维正态分布,即()()221212,~,;,;X Y N μμσσρ,则 ①()211~,X N μσ,()222Y ~,N μσ;(反之不成立) ②X 与Y 独立?X 与Y 不相关。(反之不成立)

第六章 数理统计的基本概念

1. 本章常用公式与结论

(1)样本均值1

1n i i X X n ==∑;样本方差()2211 1n i

i S X X n ==--∑; (2)()E X EX =,()DX

D X n

=

,DX S E =)(2; (3)2χ、t 、F 分布的构造原理:

()2222

12n n X X X χ=++???+,

()/X t n Y n =

()/,/X n

F n m Y m =;

(4)正态总体的若干统计量及其分布(前提:总体()2~,X N μσ),则

2~,X N n σμ?? ???,()~0,1/X N n

μσ-,()~1S/X t n n μ--,()()22

2

1~1n S n χσ--

2. 求统计量服从分布的一般思路 (1)根据问题先猜统计量服从的分布;

(2)看已知什么,按2χ、t 、F 分布的构造原理,自己去凑; (3)记得遇到正态分布“标准化”;

(4)最后整理,如果凑的方向对,自然就会出来结果。

第七章 参数估计

1. 点估计是要作什么?

已知:(1)总体X 的分布,其中含有未知参数θ; (2)样本n X X X ,,,21 ,

目的:构造关于样本n X X X ,,,21 的函数,去估计θ,

称:()n X X X g ,,,?21 =θ为θ的估计量,()n x x x g ,,,?21 =θ为θ的估计值。

2. 矩估计的计算步骤:

(1)求出总体矩: ,,,,2K EX EX EX ;

(2)写出样本矩:11

1n i i A X n ==∑,2

211n i i A X n ==∑,…,∑==n i K i K X n A 11…;

(3)列方程:令??

???

????===

K K A

EX A EX A EX 22

1,即可求出θ。 例:()λE X ~,样本n X X X ,,,21 ,求λ的矩估计。

解:(1)λ1

=EX ;(2)X X n A n

i i ==∑=1

11;(3)令X X 1?1=?=λ

λ; 说明:(1)一般有几个参数,列几个方程;

(2)结果记得加 ^;

(3)矩估计法不唯一(由此后面引出了点估计的评价)

(4)大数定律:1

1n P K K i i X EX n =??→∑,即P

K K A EX ??→保证了矩估计方法

的合理性。

3. 极大似然估计的计算步骤:

计算原理:当极大似然函数()L θ取最大值时,求相应的参数θ的方法。 计算步骤:

(1)写出极大似然函数:

()()()()12112212

{}{}{},,离散型总体,

连续型总体.n n n X X X n P X x P X x P X x L f x f x f x θ===??=???

(2)取对数:()θL ln ;

(3)求导数:令()0d dln =θ

θL ,求出估计量θ?。 说明:

(1)若有多个参数,则上面第三步中()θL ln 应对每个参数求偏导数,并令其为0,求出各个参数的估计量;

(2)若上面的方法失效,无法求出θ?,则应从原理上分析,找到使)(θL 取得最大值时θ的估计量,此时一般的结论是

),,,max(?21n X X X =θ或),,,min(?21n

X X X =θ.

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验 概率第二章 (一)随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率 (二)离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列 分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量 (三)连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量 (四)随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数 概率第三章 二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质 联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质: ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点: (1)可重复性 (2)多结果性 (3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为。必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω.样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系:若事件发生必然导致事件B发生,则称B 包含A,记为,则称事件A与事件B 相等,记为A=B。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 事件的积:称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A-B。用交并补可以表示为互斥事件:如果A,B两事件不

能同时发生,即AB=Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A+B。对立事件:称事件“A不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质:事件运算律:设A,B,C为事件,则有: (1)交换律:AB=BA,AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)ABAC (4)对偶律(摩根律): 第二节事件的概率 概率的公理化体系:第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域,它的面积为μ(A),则向区域上随机投掷一点,该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件A 的概率仍可用上式确定,只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率:在事件B 发生的条件下,事件A 发生的概率称为条件概率,记作乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式:设第五节事件的独立性两个事件的相互独立:若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)=两两独立独立的性质:若A 均相互独立总结: 1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,应

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考研数学备考:概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半,还在为了备考方法焦灼?不用担心!老司机带你上车,下面由我为你精心准备了“考研数学备考:概率论各章节知识点梳理”,持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯! 考研数学备考:概率论各章节知识点梳理 众所周知,概率论的知识点又多又杂,需要我们系统的归类并掌握,这样才能获得高分。为此我整理了相关内容,希望对大家有所帮助。 第一部分:随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中:条件概率和独立为本章的重点,这也是后续章节的难点之一,请各位研友务必重视起来。 第二部分:随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布

其中:要理解分布函数的定义,还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分:二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中:本章是概率的重中之重,每年的解答题定会有一道与此知识点有关,每个知识点都是重点,务必重视! 第四部分:随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中:本章只要清楚概念和运算性质,其实就会显得很简单,关键在于计算。 第五部分:大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数:①、常规平均数:12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差:2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距;频率=频数/总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。 2、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程:???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ; 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程:???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差:??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好; 2、残差平方和:21?()n i i i y y =-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度(相关指数):221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高; 4、相关系数 :()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②.犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节:1.、将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结 果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E表示。 在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随 机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。 3、定义:事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为A=B。 定义:和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A,或e∈B}。 定义:积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩ B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义:差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A-B,用集合表示为 A-B={e|e∈A,e?B} 。 定义:互不相容事件或互斥事件 如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6:逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为ā。A与ā满足:A ∪ā= S,且Aā=Φ。

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概率论知识点总结 基本概念随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示。随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω、样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系:若事件A 发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为或。 相等关系:若且,则称事件A与事件B相等,记为A=B。事件的和:“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积:称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩ B或AB。事件的差:称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A-B。用交并补可以表示为。互斥事件:如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A+B。对立事

件:称事件“A不发生”为事件A的对立事件(逆事件),记为。对立事件的性质:。事件运算律:设A,B,C为事件,则有(1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA(2)结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC(4)对偶律(摩根律): 第二节事件的概率概率的公理化体系:(1)非负性: P(A)≥0;(2)规范性:P(Ω)=1(3)可数可加性:两两不相容时概率的性质:(1)P(Φ)=0(2)有限可加性:两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)=P(A)+P(B)(3)(4)P(A-B)=P(A)- P(AB)(5)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率:设事件A是Ω的某个区域,它的面积为 μ(A),则向区域Ω上随机投掷一点,该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件A 的概率仍可用上式确定,只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为条件概率,记作 P(A|B)、乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式:设是一个完备事件组,则

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: (1) 计算一次试验的基本事件总数n ; (2) 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; (3) 依公式()m P A n =求值; (4) 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。 样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω. 样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算(就是集合的关系和运算) 包含关系:若事件 A 发生必然导致事件B 发生,则称B 包含A ,记为A B ?或B A ?。 相等关系:若A B ?且B A ?,则称事件A 与事件B 相等,记为A =B 。 事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积:称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件,记为A∩ B 或AB 。 事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A -B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件:如果A ,B 两事件不能同时发生,即AB =Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A +B 。 对立事件:称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。对立事件的性质: Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律:设A ,B ,C 为事件,则有 (1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA (2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC (4)对偶律(摩根律):B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系: (1)非负性:P(A)≥0; (2)规范性:P(Ω)=1 (3)可数可加性: ????n A A A 21两两不相容时

概率统计知识点全面总结

知识点总结:统计与概率 I 统计 1.三大抽样 (1)基本定义: ① 总体:在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. ② 个体:在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. ③ 样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. ④ 样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量. (2)抽样方法: ①简单随机抽样:逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法:整体编号( 1~N )放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次,即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法:整体编号(等位数,如001、111不能是1、111) 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 (上、下、左、右)重复,超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样:容量大.等距,等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号,若N 无法被整除,则剔除后再分组,n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体,设为l ,则编号为l ,k+l ,2k+l ……(n-1)k ,抽出容量为n 的样本。(每组编号相同)。 ③分层抽样:总体差异明显.按所占比例抽取.等可能.=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成,经总体分成几个部分,然后按照所占比例进行抽样.抽样比为:k =n N 3.总体分布的估计: (1)一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数.众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体:要考察的全体对象称为总体。 4、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率:频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数:一般地,如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 2、加权平均数:如果n 个数中,1x 出现1f 次,2x 出现2f 次,…,k x 出现k f 次 (这里n f f f k =++ 21)。那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。 5、极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1.简单随机抽样 2.简单随机抽样常用的方法:(1)抽签法;⑵随机数表法。 3.系统抽样:K (抽样距离)=N (总体规模)/n (样本规模) 4.分层抽样: 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布直方图的画法;(2)频率的算法;(3)频率分布折线图;(4)总体密度曲线;(5)茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数的算法;(2)标准差、方差公式。 3、样本均值:n x x x x n +++= 21 4、.样本标准差:n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关:自变量增加,因变量也同时增加(即单调递增) 负相关:自变量增长,因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 (1)必然事件(2)不可能事件(3)确定事件(4)随机事件 (5)频数与频率(6)频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小; 2、频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值,概率是准确值

自考概率论与数理统计知识点汇总复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习资料 第一章 随机事件与概率 1.事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2.运算规则 (1)BA AB A B B A =?=? (2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? (3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? (4)B A AB B A B A ?==? 3.概率)(A P 满足的三条公理及性质: (1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP (3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( (n 可以取∞) (4) 0)(=φP (5))(1)(A P A P -= (6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ?,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ (7))()()()(AB P B P A P B A P -+=? (8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4.古典概型:基本事件有限且等可能 5.几何概率 6.条件概率 (1) 定义:若0)(>B P ,则) () ()|(B P AB P B A P = (2) 乘法公式:)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 (3) 全概率公式: ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( (4) Bayes 公式: ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7.事件的独立性: B A ,独立)()()(B P A P AB P =? (注意独立性的应用)

概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性: §1.2 概率 古典概型公式:P (A )= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A :“每个盒子恰有1个球”。求:P(A)=? Ω所含样本点数:n n n n n =???... Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少? 解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求:P(A i )=? Ω所含样本点数:6444443 ==?? A 1所含样本点数:24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P

A 2所含样本点数: 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数:443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注:由概率定义得出的几个性质: 1、0

概率论期末复习知识点

知识点 第一章随机事件与概率 本章重点:随机事件的概率计算. 1.**事件的关系及运算 (1) (或). (2) 和事件:;(简记为). (3) 积事件:,(简记为或). (4) 互不相容:若事件A 和B 不能同时发生,即 (5) 对立事件:. (6) 差事件:若事件A 发生且事件B 不发生,记作(或) . (7) 德摩根(De Morgan )法则:对任意事件A 和B 有 , . 2.**古典概率的定义 古典概型: . 几何概率 · 3.**概率的性质 (1) . (2) (有限可加性) 设n 个事件 两两互不相容,则有 . (3). (4) 若事件A ,B 满足,则有 A B ?B A ?A B ?1 2n A A A ??? 1 n i i A = AB 12n A A A ??? 12n A A A 1 n i i A = AB φ=A A B -AB A B A B ?=?A B A B ?=?()A n A P A n = = Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数()A P A = 的长度(或面积、体积) 样本空间的的长度(或面积、体积)()0P φ=1,2,,n A A A 121 ()() n n i i P A A A P A =???=∑ ()1()P A P A =-A B ?

, . (5) . (6) (加法公式) 对于任意两个事件A ,B ,有 . 对于任意n 个事件 ,有 . 4.**条件概率与乘法公式 . 乘法公式: . 5.*随机事件的相互独立性 事件A 与B 相互独立的充分必要条件一: , 事件A 与B 相互独立的充分必要条件二: . 对于任意n 个事件 相互独立性定义如下:对任意一个,任意的 ,若事件总满足 , 则称事件 相互独立.这里实际上包含了个等式. 6.*贝努里概型与二项概率 设在每次试验中,随机事件A发生的概率,则在n 次重复独立试验中.,事件A恰发生次的概率为 , 7.**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式: ()()()P B A P B P A -=-()()P A P B ≤()1P A ≤()()()()P A B P A P B P AB ?=+-1,2,,n A A A 111 111 ()()()()(1)() n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==- + -+-∑∑ ∑ ()(|)()P AB P A B P B = ()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==()()()P AB P A P B =(|)()P A B P A =1,2,,n A A A 2,,k n = 11k i i n ≤<<≤ 1,2,,n A A A 11()()() k k i i i i P A A P A P A = 1,2,,n A A A 21n n --()(01)P A p p =<

概率论知识点总结归纳

欢迎共阅 概率论知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E 表示。 随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件 样本点样本空间包含关系相等关系事件的和记为A ∪事件的积事件的差 互斥事件对立事件=?B A (1(2(3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C)A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=AB ∪AC (4)对偶律(摩根律):B A B A ?=?B A B A ?=? 第二节事件的概率 概率的公理化体系: (1)非负性:P(A)≥0; (2)规范性:P(Ω)=1 (3)可数可加性: ????n A A A 21两两不相容时 概率的性质:

(1)P(Φ)=0 (2)有限可加性:n A A A ??? 21两两不相容时 当AB=Φ时P(A ∪B)=P(A)+P(B) (3))(1)(A P A P -= (4)P(A -B)=P(A)-P(AB) (5)P (A ∪B )=P(A)+P(B)-P(AB) 第三节古典概率模型 1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为 2落在区域把μ相互独立. 总结:1.3.独立性是概率论中的最重要概念之一,应正确理解并应用于概率的计算。 第二章一维随机变量及其分布 第二节分布函数 分布函数:设X 是一个随机变量,x 为一个任意实数,称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。如果将X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数F(x)的值就表示X 落在区间],(x -∞内的概率 分布函数的性质:(1)单调不减;(2)右连续;(3)1)(,0)(=+∞=-∞F F 第三节离散型随机变量

概率统计知识点归纳

概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数.要描述一组数据的集中趋势,最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明. 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 1.平均数 平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,反映一组数据的集中趋势.平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化. 2.众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.一组数据中的众数有时不唯一.众数着眼于对各数出现的次数的考察,这就告诉我们在求一组数据的众数时,既不需要排列,又不需要计算,只要能找出样本中出现次数最多的那一个(或几个)数据就可以了.当一组数据中有数据多次重复出现时,它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势. 3.中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后,处在最中间的一个数(或处在最中间的两个数的平均数).一组数据中的中位数是唯一的. 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同.在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势,那得看数据的特点和要关注的问题. 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题. 极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的,反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 一、极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差,即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量,它受极端值的影响较大. 二、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数,它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均,再求差,然后平方,最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ,则该组数据方差的计算公式为: ])()()[(12 22212 x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差 在计算方差的过程中,可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致,在实际的应用时常常将求出的方差再开平方,此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量,常用来比较两组数据的波动大小.两组

概率论与数理统计知识点汇总(免费超详细版)

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅 当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅 当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事 件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件 A 与事件 B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=??

徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P (3)可列可加性:设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件,有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y (n 可以取∞) 2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP (ii )若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件,则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y (n 可以取∞) (iii )设A ,B 是两个事件若B A ?,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P (v ))(1)(A P A P -= (逆事件的概率)

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