四边形知识整理讲义

二．突出图形性质的探索过程，重视直观操

辑推理的有机结合．

在本章，重点研究了一些特殊的四边形，由于涉及的图形比较多，因此，本章涉及的图形的性质和判定方法也比较多．教学时要注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过各种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质．

以下是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的知识点对比．

判定

②

①(a ②

（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。

B C

为等腰梯形，。：

中，，

：.

，连结。求证：四边形是菱形。

，，

四边形为菱形

解：HG=HB。

证法1：连结AH，

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形

∴∠B=∠G=90°

由题意知AG=AB，又AH=AH

∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）

∴ HG=HB

证法2：连结GB

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形

∴∠ABC=∠AGF=90°

由题意知AB=AG

∴∠AGB=∠ABG

∴∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB

∴ HG=HB

5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。

（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相

交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；

（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。

解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。

理由如下：

∵在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，

∴ Rt△ADO≌Rt△AEO

∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）

∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）

注：其它的结论也成立如GD⊥BE。

（2）∵四边形AEOD的面积为

∴三角形ADO的面积=

∵ AD=2

∴

∴∠DAO=30°

∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°

6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。

（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。

证明：（1）如图，

∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°

又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE

∴△ADE≌△CDG

∴ AE=CG

（2）猜想：AE⊥CG。

证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交

点为N

∵△ADE≌△CDG

∴∠DAE=∠DCG

又∵∠ANM=∠CND

∴△AMN∽△CDN

∴∠AMN=∠ADC=90°

∴ AE⊥CG

7．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。

）当时（答案不唯一），四边形

落到处，折痕为）由折叠可知：，，

∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD

∴∠B=∠D′，AB=AD′

∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3

∴∠1=∠3

∴△ABE≌△AD′F

（2）四边形AECF是菱形。

由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5

∵四边形ABCD是平行四边形

∴ AD∥BC

∴∠5=∠6

∴∠4=∠6

∴ AF=AE

∵ AE=EC

∴ AF=EC

又∵ AF∥EC

∴四边形AECF是平行四边形

∵ AF=AE

∴四边形AECF是菱。

9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．

（1）求证：BP=DP；

（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不

是，请用反例加以说明；

（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边

形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．思路分析：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP．

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．

（2）不是总成立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，

DP>DC>BP，此时BP=DP不成立．

说明：未用举反例的方法说理的不得分．

（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等．

在图中，可证四边形PECF为正方形，

在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC．

从而有BE=DF

10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图

解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．

）设，用

由已知：，。

中，，

的距离为。

上，，点上，，

∴ x的取值范围是。

（2）根据（1），。

（3）∵，∴当t=0时，即x=10时，有最大值25。

当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。

此时，△AMN为等腰三角形。

12．（08通州22改编）如图，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点M是边AD 上一点，且DM=2cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x，

（1）试用含x的代数式表示△CGF的面积；

（2）当GF⊥AD时，求AE的值。

解：（1）∵在平行四边形ABCD中CD=AB=8，BC=AD=6

∵ DM=2，AD=6，∴ AM=4，

取AM、ME中点P、Q，则由中位线定理知，PQ∥AE且。

由AE∥GD可得PQ∥GD从而△DGM≌△PQM

∴，

过点F作FN⊥CD于N，

∵∠C=∠A=60°，CF=x

∴

∴

（2）当GF⊥AD时，

∵ AD∥BC，∠GDA=∠A=60°

∴∠OGD=30°，GF⊥BC

∴在Rt△GFC中，

即：

时，

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