习题课应有利于学生真正实现_举一反三_
高中版
2014年4月数坛在线
教育纵横
前苏联数学教育家奥加涅说过:“很多习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性.”很多数学问题本身看似平淡无奇,但若能挖掘其内涵,适当变化,常常会有意想不到的收获.特别是教学过程中具有共性的学生错题,教师在讲解过程中不能仅仅停留在对此题的分析评价上,而是应该通过这个问题的解答,进一步扩展,让学生了解相关类似问题并进行归纳梳理,最后还要能延伸推广到其他问题的解答上,形成举一反三的能力.笔者在高三复习中就碰到这样一个习题:
例1
函数y=f (x )(x ∈R ),满足f (x +2)=f (x ),且x ∈
(-1,1]时,f (x )=1-2x 2,函数g (x )=lg |x-2|,则函数h (x )=f (x )-g (x )在区间[-6,12]内的零点个数为(
).
A.18
B.19
C.20
D.17
此题通过函数的零点考查学生的数形结合、转化化归等数学思想方法.作为本校一次调研考试的选择题,全班50人,仅有8位同学做对,还有34位同学的答案为18,另外8位同学选择其他答案,并且做对的8人中也仅有5位同学能正确判断答案却不能完整说明理由.
一、深入剖析,挖掘本源是实现“举一反三”的奠基石
调研发现学生均能将“函数h (x )在区间[-6,12]内的零点个数”问题转化为“函数f (x )与函数g (x )在区间[-6,12]内的图像的交点个数”问题,大部分同学也能由周期性正确得出函数f (x )与函数g (x )在区间[-6,12]内的图像(如图1).然而学生通过点数发现结论为18.
y x
12
2
6
O
1
图1
题中当x ∈[-6,11]时,两个函数的交点个数正好为
17个,然而当x ∈[11,12]时,大部分学生认为两个函数只有一个交点,而班级中5位答对的同学能通过直观判断发现虽然两个函数f (x )和g (x )的图像在x=12处交汇于点(12,1),但是由于两个函数的变化趋势不一样,进而大胆地猜测当x ∈[11,12]时,函数f (x )和g (x )的图像有两个交点.
笔者对这5位学生的数学敏感性及大胆猜想的精神感到欣慰,但是数学问题的解答不能只停留在大胆猜想的阶段,而是要能在“大胆猜想”的基础上进行“小心求证”.那么如何证明当x ∈[11,12]时,函数f (x )和g (x )的图像有两个交点呢?注意到这5位学生提到的“变化趋势不同”的本质即为函数的变化率不同,即当x ∈[11,12]
时,f (x )=1-2(x-12)
2
,g (x )=lg (x-2).由f ′(x )=-4(x-12)∈[0,4],而g ′(x )=1(x-2)ln10∈110ln10,19ln10∈∈
,
可以发现虽然函数f (x )和g (x )在x ∈[11,12]上都是单调递增的函数,但
1
10ln10,19ln10
∈∈奂[0,4],那是否意味着它们有两个不同的交点呢?注意到函数方程思想,我们将它还原为h (x )的零点问题.当x ∈[11,12]时,h (x )=1-2(x-12)2
-lg (x-2
),由h ′(x )=-4(x-12)-1(x-2)ln10,得h ′(11)=4-19ln10>0,h ′(12)=-1
10ln10
<0,因此存在x 0∈[11,
12],使得h ′(x 0)=0,所以h (x )在[11,x 0]上单调递增,在[x 0,12]上单调递减.而h (11)=1-2-lg9<0且h (12)=0,所以由单调性可得极大值h (x 0)>0,因此h (x )=0在区间[11,12]内有两个解.
二、由此及彼,变式训练是实现“举一反三”的助推器
是不是所有的交点问题都是这种情况呢?为了加深学生的理解,笔者又给出了如下练习.
习题课应有利于学生真正实现“举一反三”
筅浙江省杭州第十一中学蔡小雄筅浙江省长兴县金陵高级中学
陈国伟
57
高中版
2014年4月
数坛在线
教育纵横练习1.已知函数f (x )=
-x 2+2x ,
x ≤0,ln (x+1),x >0≤
.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是(
).A.(-∞,0]
B.(-∞,1]
C.[-2,1]
D.[-2,0]
练习2.已知函数f (x )=e x ,x ∈R .设x >0,讨论曲线y=
f (x )与曲线y=mx 2
(m >0)
公共点的个数.练习3.设函数f (x )=ln x-ax ,其中a 为实数,试求f (x )的零点个数.
过程展示:
生1:作y=|f (x )|的图像,如图2,当a ≤0时,直线y=ax 和曲线y=x 2-2x (x ≤0)相切于原点,可得a=-2,所以-2≤a ≤0;当a >0时,如图3,直线y=ax 与曲线y=ln (x+1)(x >0)必有交点,所以a >0不成立.即答案为D.
x
O y
O x
y
图2
图3
生2:
由e x
=mx 2
得m=e x
x 2,则曲线y=f (x )与曲线y=mx 2(m >0)公共点的个数即为函数h (x )=e x
x 2与直线y=m 的交
点个数.由h ′(x )=
e x
(
x-2)x 3
>0且x >0得x >2,所以h (x )在区间(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且h (x )min =h (2)=e 24.如图4,当0<m <e 24时,无公共点;当m=e 24时,有
一个公共点;当m >e 2
4
时,有两个公共点.
图4
生3:由f (x )=ln x-ax=0得a=
ln x x
,则f (x )的零点个数即为直线y=a 和h (x )=
ln x
x
的交点个数.运用导数可快速得出
h (x )在区间(0,e )上单调递减,在(e ,+∞)上单调递增,且h (x )max =h
(e )=1e .如图5,当a >1e 时,无零点;当a=1e 时,有一个零点;当a <1
e
时,有两个零点.
通过对具有不同单调性和凹凸性的函数的交点问题的探讨,学生对数形结合思想有了更为本质的认识,对零点问题的规律的理解也在探究中不断提炼升华,在反复运用中避免了机械的模仿,进而能真正地理解和掌握.
三、归纳梳理,完善思维是实现“举一反三”的催化剂
波利亚指出:“数学问题的解决仅仅只是一半,而更重要的是解题之后的回顾与反思.”笔者引导学生对上述3个练习题进行反思:练习1通过直线的动态过程揭示了直线和曲线的交点个数的变化情况,其主要依据为直线和曲线的相切关系;练习2则由两曲线的交点关系转化为直线和曲线的交点问题;练习3则经历了由直线和曲线的交点问题到不同直线和曲线的交点个数的问题,并且在过程中,发现生2错误的根源是忽略了当x →+∞
时函数h (x )→0的极限概念,因此学生也统一了只要能将方程转化为一条直线和一条曲线即可解决零点问题.
针对更多的不同类型的两个函数的交点情况,学生根据函数的单调性和凹凸性对以下几种不同类型的函数进行了梳理归纳:
类型1:一次函数和不同凹凸性的曲线的交点个数
问题.
y x
O y
O x
y x
O y x
O 图6图7图8图9y x
O y O x
O x y
y x O 图10
图11
图12图13
类型2:不同凹凸性的曲线之间的交点个数问题.
y
x
O y x
O y
x O y x
O y
x
O
y
O x
y O x
图14
图15
图16图17
图18
图19
图20
通过讨论,
学生发现两条不同曲线相交时交点的个数问题并不需要都进行讨论,上述图像中只有图8、图9、图10、图11和图16、图17、图19、图20的交点问题需要讨论.通常关于图16、图17、图19、图20的交点问题需转化为
图5
58
高中版
2014年4月数坛在线
教育纵横
函数的零点通过分类讨论或分离参数等方法(即为图8、图9、图10、图11)解决.
通过对习题的反思和归纳梳理,学生大致了解了“数形结合”中“以形助数”和“以数解形”的具体功能,加深了对此类问题本质属性的了解,完善了“数形结合”在实际操作中的运用技巧.
四、链接高考,学以致用是实现“举一反三”的试验田
纵观多年来的高考试题,数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在求解方程、解不等式、函数的值域、最值和三角函数等问题中,运用数形结合思想,不仅直观易懂,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题过程.虽然数形结合的重点是研究“以形助数”,但也不乏“以数解形”的妙题.
例2(2012年新课标全国理21)已知函数f (x )满足
f (x )=f ′(1)e x -1-f (0)x+1
2
x 2.
(1)
求f (x )的解析式及单调区间;(2)若f (x )≥12x 2+ax+b ,求(a+1)b 的最大值.
解析:(1)f (x )=e x -x+
12
x 2
,单调性(略).(2)由题意转化为e x ≥(a+1)x+b.在同一坐标系中作出曲线y=e x
和y=(a+1
)x+b 的图像,则y=(a+1)x+b 的图像始终在曲线y=e x
的下方.
当a+1<0时,如图21,显然不成立.
y
O x
y
O x
x
y
O 图21
图22
图23
当a+1=0时,如图22,由e x ≥(a+1)x+b 得b ≤0,此时(a+1)b=0.
当a+1>0时,如图23,设直线l 与直线y=(a+1)x+b 平行且与曲线y=e x 相切,可求得直线l 的方程为y=(a+1)x+a+1-(a+1)ln (a+1).
所以(a+1)b ≤(a+1)2-(a+1)2
ln (a+1
).令a+1=t ,则t >0.设h (t )=t 2-t 2ln t ,可求得h (t )的最大值为h (e %
姨-1)=e 2,即(a+1)b ≤e 2
.不畏浮云遮望眼,吹尽狂沙始到金.在高三数学教学中,作为教师我们有义务、有责任关注学生数学思维能力的训练和提升,通过对错题的分析、追本溯源、举一反三,通过适当的迁移、链接,让学生在错误过后不是遗憾、懊恼,而是学有所获、获有所得、得有所悟,学生的思维才可能得以飞翔,能力得以提升.
参考文献:
1.蔡小雄.启迪思维是数学习题教学的首要[J ].中学数学(下),2013(8).
2.朱丽强.让学生的思维在解题研究中飞翔[J ].中学数学(下),2013(2).
3.蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M ].杭州:浙江大学出版社,2009.FH
原生态的想法,
我们教师要倍加珍惜,小心呵护,不能固守已有的“经验”,轻易去作论断,让宝贵的教育资源一滑而过,白白地流失掉,实为可惜.像上面介绍的案例就是一个很好的说明,如果笔者主观臆断地去否定学生的这种想法,对于直线与二次曲线相切的问题只囿于“Δ=0”法,不仅我们教师的能力得不到提高,而且可能使学生丧失了对这一问题作进一步研究的热情与兴趣,他们那富有灵性的思考就会被扼杀,当然不利于学生思维能力的发展,而且这也正是我们教师的思维能力提升的绝好机会,而恰恰我们却疏忽了.
为此建议大家在教学中要做个有心人、用心人,时时捕捉学生的“想法”,善待学生的“想法”,遇到学生提出的“别解”时,不要因为自己不清楚就轻描淡写地回答去应付学生,而应进行潜心研究,要想别人之未想,思别人所未思,虽然此时思考问题是痛苦的,但一旦弄明白困惑的真相,就是一种享受,一种欣慰,可大大地提升教师的思维层次.只有教师乐于解决学生提出的一个个问题,学生的想法得到了解决,相应地,学生的思维能力与解决问题的能力就会得到很大提高,这样的教学态度,才能引导学生学到真正的数学.WG
(上接第51页)59