考研高数冲刺考点精华：空间解析几何
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！
第 1 页 共 1 页
考研高数冲刺考点精华：空间解析几何 距离考研已经越来越近了，为了帮助广大考生更好地进行考研数学高数冲刺复习，避免在高数答题的时候必要的丢分。凯程考研小编为大家整理分享考研高数冲刺考点精华之空间解析几何，希望对大家有所帮助。
1.理解空间直线坐标系，理解向量的概念及其表示。
2.掌握向量的线性运算，掌握单位向量、方向角与方向余弦，掌握向量的坐标表达式掌握用坐标表达式进行向量运算方法。
3.掌握向量的数量、积向量积、混合积并能用坐标表达式进行运算，了解两个向量垂直、平行的条件。
4.理解曲面方程的概念，了解二次曲面方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
5.了解空间曲线的概念，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
6.掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹角，并会用平面的相互关系(平行相交垂直)解决有关问题。
7.掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线及点到平面的距离。
小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2 222 =+y x 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141:1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42 =绕z 轴旋转一 周，所得旋转曲面方程是[B ] A. ) (42y x z += B. 2 2 2 4y x z +±= C. x z y 422 =+ D. x z y 422 ±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 22 x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则 = b proj a ?ρ[ C ]
高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
空间解析几何和向量代数总结
第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系（右手系）向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算（8—1，19） 方向角与方向余弦（8—1，15） 向量的数量积、向量积、混合积 （8—2，1、3、6、10； 总习题八，1（3）、（4））
应用：判断向量正交、 平行（共线）、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 （P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）
旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =；
(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）
()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4） 平面及其方程 建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0
向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第七章 空间解析几何参考答案 第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（ 1，－ 2，3）在 [ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2. 方程 2 x 2 y 2 2 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3. 直线 l 1 x 1 y 1 z 1 x y 1 0 : 2 3 与 l 2 : x y z 2 ，的夹角是 [ C ] 4 A. 4 B. 3 C. D. 0 2 4. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 xoy 平面的对称点是 [ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5. 将 xoz 坐标面上的抛物线 z 2 4 x 绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. z 2 4 ( x y ) B. z 2 4 x 2 y 2 C. y 2 z 2 4 x D. y 2 z 2 4 x 6. 平面 2x-2y+z+6=0 与 xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 1 B. 1 C. 2 2 3 3 3 D. 3 7. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 yoz 平面的对称点是 [ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 2 2 8. 方程 x y z 2 表示的是 [ B ] a 2 b 2 A. 椭圆抛物面 B. 椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b [ C ] A. 3B. 1 C. -1 D. 1 3 10．已知 a , b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. a 2 b 2 (a b ) 2 B. a 2 b 2 ( a b ) 2 C. (a b) 2 (a b )2 D. ( a b ) 2 ( a b ) 2 a 2 b 2
高等数学空间解析几何练习
高等数学空间解析几何 练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→ =+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.
第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→ =--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→ ?。 6．判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==-
(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc
空间解析几何与矢量代数小练习 一填空题 5 ’x9=45 分 1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________. 2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________ 3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面. 5、方程x2 y2 z 表示______________曲面. 6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 . 7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 . 二计算题11 ’x5=55 分 1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线x y 3 z 1 的直线方程 . 2 1 5 4、求过点 (2,0,-3) x 2 y 4z 7 0 且与直线 5 y 2z 1 垂直的平面方3x 0 5、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。 1
参考答案 一 填空题 1、 6 , 7 , 6 11 11 11 2、 M 1 M 2 =2, cos 1 ,cos 2 ,cos 1 , 2 , 3 , 2 2 2 3 4 3 3、 ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14 4、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为 6 的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、 x 1 y 2 z 3 4 、 16x 14y 11z 65 0 2 1 5 5 S 1 OA OB 19 2 2 2
线性代数与空间解析几何总结
线性代数与空间解析几何总结 线性代数和空间解析几何是非数学专业的一门基础课程，可以看做是高等代数和解析几何的简化版。其内容大概分为八章，以线性代数内容为主，穿插少量解析几何知识。全书逻辑严谨，内容关联性强，但是缺乏直观性，对于没有基础的大一新生，不免显得生硬。 第一章主要讲述行列式相关内容，直接给出了行列式的定义。这一章的重点内容是根据行列式的定义推出一些性质，利用定义推导出行列式运算的一些性质，并且根据这些性质灵活的化简计算具体的行列式。其实行列式的计算相当繁琐，我们只需要掌握最基本的一些方法，如构造三角行列式（这种方法很重要，矩阵初等变换也要用）、加边法、递推法等等，还有一个重要的范德蒙行列式需要掌握。在章末，给出了克莱姆法则及其在解方程组时的应用，这本来是线性方程组理论内容，为了强化行列式的应用，放在了第一章介绍。 第二章讲述矩阵的基本内容，这是全书的核心，而矩阵理论也是整个线性代数体系的核心内容之一。这一章内容很多，而且联系复杂，但以矩阵的逆和秩为中心内容。首先，介绍的是矩阵的基本概念，基本分类和基本运算，对于矩阵的运算，比较重要的是矩阵与矩阵之间的乘法，这是个新运算，要多加练习，在此基础上，还引出了方阵的幂的概念。然后就开始通过单位矩阵和1的类比，引出矩阵的逆的概念，给出了矩阵逆的性质，给出了判别矩阵是否可逆的充要条件（以后还有很多补充）和求逆矩阵的伴随矩阵法。接着通过解线性方程组的一般解法，引出矩阵的初等变换，给出了行阶梯型矩阵、行最简型矩阵和标准型矩阵的概念。给出了矩阵秩的定义（显然，一个方阵是否可逆与其是否满秩是等价的），指出初等行变换不会改变矩阵的秩，并给出了求矩阵秩的方法——化矩阵为行阶梯型矩阵。接着，又给出了初等矩阵的定义，并且将矩阵初等变换和矩阵与一个初等矩阵相乘建立起一一对应的关系，用初等变换将矩阵化为标准型，显然，根据初等变换不该变矩阵的秩，则初等变换不改变矩阵可逆性，由于我们可以很容易地观察出标准型矩阵的秩和行列式，所以若一个方阵可逆，它的标准型必然是一个单位阵。于是，每个可逆矩阵都可以写成N个初等矩阵的乘积，且初等矩阵都是可逆的，并且都有其明确的变换意义，我们便利用这个结论给出了求可逆矩阵的一般方法——初等变换法（很重要）。最后一部分介绍的是关于分块矩阵的一些知识，其实这些内容是矩阵内容的推广，把矩阵中的元素由数换成了矩阵，内容可以类比于矩阵进行学习，但要注意由于矩阵并不是数，所以比如说行列式运算与一般矩阵的运算法则不同，这种问题最好还是化为一般矩阵处理，以免超范围使用性质，造成不必要的错误。值得一提的是，分块矩阵的秩的性质很重要，在书的后续内容中有着广泛的应用。 第三章是空间向量，属于向量理论范畴，这是线性代数体系的另一个核心内容，它与线性方程组理论和解析几何有着紧密的联系。本章主要介绍基本的空间几何即三维向量知识，为学习更深一层向量理论给出一个直观印象，这是本书中空间解析几何部分的内容。首先给出三维向量的直观概念，空间中既有大小又有方向的量，然后给出了一些性质；建立坐标系，向量线性运算转化为坐标运算，这些都可以类比于平面向量学习。下面介绍空间中的平面和直线的知识，这是本章的重点。给出了平面在空间直角坐标系中的方程，利用两个平面的交线是直线这一结论给出直线方程的一般形式，根据方程解的情况讨论空间平面和直线的位置关系。空间中主要解决距离和角度两个问题，通过引入的向量积和平面法向量，给出了一系列相关求解公式，当然，理解这些公式的推导是更重要的，这能大大简化问题的求解。最后，书中还给出了平面束和投影的概念，求解直线在某一平面上的投影方程的方法要掌握。
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习 第八章 向量代数与空间解析几何 一、容要求 1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念 10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲 面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量 14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题 1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （容要求1） A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D 2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（容要求2） 3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ ; 解：222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（容要求2） 4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---
向量代数与空间解析几何 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 12 14 1: 1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±= C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 2 2 x y z a b + =表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 2 2 2 ()a b a b =? B. 2 2 2 ()a b a b ?=? C. 2 2 ()()a b a b ?=? D. 2 2 2 2 ()()a b a b a b ?+?=
《空间解析几何》学习指导
《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式
高等数学向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何 向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：??? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++= a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a ?? a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。
高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→ -+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量. 第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算
规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→ ?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)(a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→ +取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→?。 6． 判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→ ===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==- (3){1,1,2},{2,4,5},{3,9,8};a b c →→→=-== 第三部分 空间解析几何 [内容要点]:
第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =，b =，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
高等数学空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何及向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明 确学习空间解析几何的意义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通 过坐标把空间的点及一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形 勾股定理为： 222212221 22 12NM pN p M NM N M M M d ++=+== 而 121x x P M -= 12y y PN -=
1 22z z NM -= 所以 21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-== 特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o 222z y x oM d ++== 例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(2222 21=-+-+-=M M 6)23()12()75(222232=-+-+-=M M 6)13()32()45(222213=-+-+-=M M 由于 1332M M M M =，原结论成立。 例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。 解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x ()11 3222221+=++=x x PP ()211222 22+=+-+=x x PP 212PP PP = 221122+=+∴x x 1±=?x
高等数学向量代数与空间解析几何测试题ABC
第八章 向量代数与空间解析几何 自测题 A 卷 一、 填空题：（第1题5分，其余每题3分，共17分） .________________________)5(.________________________)4(.__________________)3(.___________________,__________)2(.____________________,____________________)1(),1,1,3(),4,3,1(,)1,1,2(.1的直线方程为且平行于过的平面方程为且垂直于过的面积为以三点为顶点的三角形为的夹角与为上的投影在向量单位向量为的方向余弦为向量则 已知三点AB C AB C AC AB AC AB AB C B A ----- . _________________)()()2(._________________)()()1(}, 2,0,2{},4,1,1{.2=-?+=-?+-=-=b a b a b a b a b a 设 ._________________________116 251.3222的名称是曲面=-+z y x ._________________________01 .42曲面方程是轴旋转一周得到的旋转绕曲线y z x y ?? ???=+= ._________________________012)0,2,1(.5上的投影点是在平面点=+-+-z y x 二、 选择题（每题3分，共15分） . )1,3,2()(;)1,3,2()(;)1,3,2()(;)1,3,2()()1,3,2(.1D C B A M --------是 关于坐标原点的对称点点 .3 2)(;3 2) (;2 3)(;2 3) (). ( ,,}1,1,2{},1,1,1{.2- - ⊥+-=--=D C B A a b a b a 等于则为非零常数，若设λλλ . )()(;0)(;0)(;0)(,,,.3c b a D c b a C c b a B c b a A c a b a c b a -⊥=≠=-===?=?必有时，必有当必有或必有则 满足关系式三向量设 。 轴旋转所得曲面绕平面上直线轴旋转所得曲面绕平面上直线轴旋转所得曲面绕平面上曲线轴旋转所得曲面绕平面上曲线表示 方程y y a z yoz D z x a z xoz C y x a z xoz B x y a z yoz A y x a z =-=-=-=-+=-)(;)(;)()(;)()()(.42222222 。 直线在平面上既不平行也不垂直面上互相平行但直线不在平互相垂直与空间直线 ：平面)(; )(; )(;)(). (1 2 1131032.5D C B A z y x z y x -=-+=-=+-+π 三、 计算题（第1，2题每题6分，第3－10题每题7分，共68分） 1. ., ,3)^,(,3,2,3,32B A B A b a b a b a B b a A ??===-=+=求已知π 2. 轴的平面方程。且平行于和求过两点ox )7,2,5()1,2,1(-- 3. 的平面方程。和直线求过点? ??=+-=---0620 165)1,3,2(z y y x
高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案
高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答 案 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模 _________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.
3、求过点(1,2,3)且平行于直线 5 1132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线? ??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。 参考答案 一 填空题 1、???? ??-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21 cos == -=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同 5????=→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一 实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e → → → → → =+
的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0 数量积的几何意义：