晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算
不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。总的来说，低指数的晶
面其面间距较大，而高指数面的面间距小。以图1-22所示的简单立
方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。但是，如果分析一下体心立方或面心立方
点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越
稀疏。正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。
简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系：
。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：
若h、k、l 均为奇数，则
；否则，
。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：
若h+k+l=偶数，则
；否则，
晶面间距计算公式
晶面间距计算公式 正交晶系 1/d2=h2/a2+k2/b2+l2/c2 单斜晶系 1/d2={h2/a2+k2sin2β/b2+l2/c2－2hlcosβ/(ac)}/ sin2β 立方晶系 d=a/(h2+k2+l2) 六角晶系 四角晶系 单斜晶系
三斜晶系 If Φ is the angle between plane (h 1 k 1 l 1) and (h 2 k 2 l 2), then for Orthorhombic 2 /12 2222222 22 /12 212 212 2 1221221221)()()(cos ??? ? ??++??? ? ??++++= Φc l b k a h c l b k a h c l l b k k a h h Tetragonal []() 2 /12 2 2222 22 2 /12 21221 21 2 212212 1))/)(cos ??? ? ??++???? ??++++= Φc l a k h c l a k h c l l a k k h h Cubic
()()[] 2 /122 2222 21 21 21 212121cos l k h l k h l l k k h h ++++++= Φ Hexagonal ()() 2 /12222222 222212211212121221221212143434 321 cos ? ????????? ??+++???? ? ?++++++ += Φl c a k h k h l c a k h k h l l c a K h k h k k h h VOLUME: Orthorhombic: =abc Tetragonal: =c a 2 Cubic: =3a Hexagonal: = c a 2 2 3 hcp transition between (UVW) and (uvtw) U=u-t, V=v-t, W=w u=1/3(2U-V), v=1/3(2V-U), t= - (u+v), w=W.
六方晶系四指数推导
1.4 晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。 图1 晶向指数的确定方法 图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，
(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。 1概述 空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。 2 计算 不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。总的来说，低指数的晶 面其面间距较大，而高指数面的面间距小。以图1-22所示的简单立 方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。但是，如果分析一下体心立方或面心立方 点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越
稀疏。正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。 简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系： 。 面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系： 若h、k、l 均为奇数，则 ；否则， 。 体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系： 若h+k+l=偶数，则 ；否则，
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。 图1 晶向指数的确定方法 图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，
(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
测定晶体的晶面间距 (1)
测定晶体的晶面间距 ——X射线衍射法（布拉格法） 一、前言 X射线的波长非常短，与晶体的晶面间距基本上在同一数量级。因此，若把晶体的晶面间距作为光栅，用X射线照射晶体，就有可能产生衍射现象。科学家们深入研究了X射线在晶体中的衍射现象，得出了著名的劳厄晶体衍射公式、布拉格父子的布拉格定律等等。在他们的带领下，人们的视野深入到了晶体的内部，开辟了X射线理论和应用的广阔天地。他们也因自己的卓越研究，都获得了诺贝尔奖。 今天，X射线的衍射原理和方法在物理、化学、地质学、生命科学、……、尤其是在材料科学等各个领域都有了成熟的应用，而且仍在继续兴旺发展，特别是在材料的微观结构认识与缺陷分析上仍在不断揭示新的奇妙现象，正吸引着科学家们致力于开创新的理论突破！ 二、实验目的： 1）掌握X射线衍射仪分析法（衍射仪法）的基本原理和方法； 2）了解Y-2000型Ｘ射线衍射仪的结构、工作原理和使用方法。 三、实验原理 1912年英国物理学家布拉格父子（W. H. B ragg & W. L. B ragg）通过实验，发现了单色X射线与晶体作用产生衍射的规律。利用这一规律，发明了测定晶格常数（晶面间距）d的方法，这一方法也可以用来测定X射线的波长λ。在用X射线分析晶体结构方面，布拉格父子作出了杰出贡献，因而共同获得1915年诺贝尔物理学奖。 晶面间距与X射线的波长大致在同一数量级。当用一束单色X射线以一定角度θ照射晶体时，会发生什么现象呢？又有何规律呢？见图1： 图1 晶体衍射原理图 用单色X射线照射晶体： 1）会象可见光照射镜面一样发生反射，也遵从反射定律：即入射线、衍（反）射线、法线三线共面；掠射角θ与衍射角相等。 2）但也有不同：可见光在0°~180°都会发生反射，X射线却只在某些角度有较强的反射，而在其余角度则几乎不发生反射，称X射线的这种反射为“选择反射”。 选择性反射实际上是X射线1与X射线2互相干涉加强的结果，如图1（b）所示。当X射线1与2的光程差2 δ是波长λ的整数倍时，即2 δ = n λ（n∈Z﹢）时，会发 生干涉： ∵δ = d Sin θ 2 δ = 2 d Sinθ ∴ 2 d Sin θ = n λ ( 1 ) 此即著名的布拉格公式。 布拉格公式指出，用波长为λ的X射线射向晶体表面时，当在某些角度的光程差正好为波长λ的整数倍时，会发生干涉加强。让试样和计数器同步旋转（即转过扫查角度范围），用记数器记录下单位时间发生衍射的光量子数CPS，用测角仪测出发生衍射的角度（ 2 θ），如图2所示。 图2 测量衍射示意图 用CPS（CPS–C ounts P er S econd ）作纵坐标，2 θ作横坐标，描绘出所记录到的光量子数与角度的关系曲线，就可以得到如下衍射波形图： 图3 S i的衍射波形图 衍射峰对应的横坐标值即测得的2 θ角，而实验中的X射线管发出的X射线的波长λ
如何确定晶面间距
通过HRTEM的高分辨衬度条纹，可以量出相应的晶面间距为0.5nm，可以对材料的PDF 卡片看下这个间距对应的是哪个晶面的晶面间距，这样就可以把条纹所代表的晶面确定下来。最下面的SAED点比较杂乱，可能是所选区处含有多种晶向的晶体，因此可能会得到几种方向斑点重合的的SAED。你所测得的0.297nm或0.387nm都是对的，但是对应于不同的晶面衍射，究竟是对应哪个还是需要对比PDF卡片数据进行指认。 你这里的HRTEM与SAED并没有很明显的对应关系，可能原因是打HRTEM是区域较小，但打SAED时选区包含的晶粒较多，又出现不同取向造成的。或者他们根本就不是在一个地方打的。 FFT结合HRTEM可以进一步确定晶体的晶面及取向信息。 从HRTEM量得的明显的条纹间距就是0.5nm。你也可以用电子尺通过标尺来量取间距。一次可以量10个，然后再平均。正常情况同样晶面得到的晶格条纹间距是应该相等的，如果你量取的值出现与标准值有差别的情况，如果差得不多是正常的，还要再结合SAED指认晶面。或者看FFT的点分布能与什么样的拍摄几何构型对得上。总之当一种图片里信息不好确定情况下，要采用其它佐证。 关键要对FFT中的点进行标定，这也要结合HRTEM，如果测试结果正确，分析过程没问题，HRTEM的晶格条纹是会给出可信的晶面信息的，然后看FFT可以看出晶面的对称信息。从你这个FFT可以看出与电子束入射方向平行的晶面应该是有六方对称存在的，只不过电子束方向在实际测试时并没有与这些晶面都很好地平行，所以测得的HRTEM并不理想，只有一种晶面看得最清楚。 这张图照得很好，可以同时看到两种晶面的信息，竖条的如果是（220），那么横条就是与之成近90度的另一晶面。都需要测量，然后给标定出来，如果横条的与竖条间距一致，那么说明这两个是同一族晶面，正常标定就可以了。 HRTEM所测得的条纹间距，就是相应晶面的晶格间距。SAED打出的六方感觉的点不一定就说明材料是六方相，我们知道对于立方相的（111）方向打SAED就是很完美的六方点，但材料本身是立方相。关键要看电子束是从晶体的哪个面入射的。SAED的多晶环，每个环对应一种晶面，但HRTEM要想照出很好的晶格对电子束与晶体之间的角度是有关系的。所以有时候就算晶体很薄，电子束可以透过，也可能会出现HRTEM打不出晶格的情况，或者只能打出一种晶面的晶格条纹。HRTEM与FFT有对应关系，但与测的SAED除非晶体很完美，如果是纳米晶，一般就很难有完美的对应。 1.L*λ叫相机常数，依赖于不同的仪器。 2. r是用直尺所量的长度 所以，很明显，这是老仪器的套路。 要把图置于真实尺寸下量取距离，带入公式即可计算。 现在是ccd成像，scale bar直接在照片上，量出来的中心点至衍射点的距离，就直接是d值的倒数， 按你的图，即1/nm。 3. 中心点就是圆心。 4. 标衍射点，请先做理论计算或者叫“模拟”，按你的晶体结构jcpds77-2042进行，晶
晶面夹角公式
晶面夹角公式： 设晶面（h 1k 1l 1）和晶面（h 2k 2l 2）的面间距分别为d 1、d 2，则二晶面的夹角ω以下列公式计算（Ｖ为单胞体积）。 立方晶系： cos φ= 正方晶系：121212 22 cos h h k k l l φ++= 六方晶系：( )2 1212122112 213cos a h h k k h k h k l l φ++++= 正交晶系：121212 222cos h h k k l l φ++=菱方晶系： ()()()42212 1212121221122112212cos sin cos cos a d d h h k k l l k l k l l h l h h k h k V φααα??=+++-+++++??单斜晶系：()2122112121212222 2cos sin cos sin l h l h d d h h k k l l a b c ac ββφβ+?? =++-???? 三斜晶系： ()()()12 1112221233122312211312211212212cos d d S h h S k k S l l S k l k l S l h l h S h k h k V φ= ++++++++???? 立方晶系： cos φ= 正方晶系：121212 22 cos h h k k l l φ++=
立方晶系：( )2 1212122112 213cos a h h k k h k h k l l φ++++= 正交晶系：121212 222cos h h k k l l φ++= 菱方晶系： ()()()422 121212121221122112212cos sin cos cos a d d h h k k l l k l k l l h l h h k h k V φααα??=+++-+++++?? 单斜晶系： ()2122112121212222 2cos sin cos sin l h l h d d h h k k l l a b c ac ββφβ+?? =++-???? 三斜晶系： ()()()12 1112221233122312211312211212212cos d d S h h S k k S l l S k l k l S l h l h S h k h k V φ= ++++++++??? ?
晶面指数
引用晶面指数、晶向指数、晶面间距 第二章X射线衍射方向 【教学内容】 1．晶体几何学基础。 2．X射线衍射的概念与布拉格方程（布拉格定律、衍射矢量方程、爱瓦德图解、劳埃方程）。 3．布拉格方程的应用与衍射方法。 【重点掌握内容】 1．晶体几何学的基本概念，包括布拉菲点阵，晶面和晶向指数等。 2．布拉格方程，这是本章的重中之重。 3．关于反射级数，X射线衍射与可见光反射的区别，以及衍射产生的条件及其在实际分析工作应用。 【了解内容】 1．复习晶体几何学的某些概念，如晶体、空间格子、晶带、晶带定律和晶面间距和晶面夹角的计算。 2．布拉格方程的应用和主要的衍射分析方法。 【教学难点】 1．倒易点阵。 2．衍射矢量方程、爱瓦德图解。 【教学目标】 1．熟练掌握X射线衍射的基本原理，尤其是布拉格方程。 2．培养学生善于利用这些理论去指导实际分析工作的能力。 【教学方法】 1．以课堂教学为主，通过多媒体教学手段，使学生掌握较抽象的几何结晶学的概念和布拉格方程。 2．通过做习题加深对X射线衍射理论的理解。 一、X射线衍射的发现 上章已经X射线的波动本质。我们对X射线的应用很大程度依赖于它的波动性。 第一个成功对X射线波动性进行的研究是德国物理学家劳厄（M. V. Laue）(照片)。1912年，劳厄是德国慕尼黑大学非正式聘请的教授。在此之前，人们对光的波动性已经进行了很多的研究，有关的理论已相当成熟。比如，光的衍射作用。人们知道，当光通过与其波长相当的光栅时会发生衍射作用。另一方面，人们对晶体的研究也达到相当的水平，认为晶体内部的质点是规则排列的，且质点间距在1-10A之间。当时，同校的一名博士研究生厄瓦耳（P. P. Eward）正在研究关于“各向同性共振体按各向异排列时的光学散射性质”。一天，他去向劳厄请教问题。劳厄问他，如果波长比晶体的原子间距小，而不象可见光波
晶面间距计算公式
正交晶系 1/d2=h2/a2+k2/b2+l2/c2 单斜晶系 1/d2={h2/a2+k2sin2β/b2+l2/c2－2hlcosβ/(ac)}/ sin2β 立方晶系 d=a/(h2+k2+l2) 六角晶系 四角晶系 单斜晶系
三斜晶系 If Φ is the angle between plane (h 1 k 1 l 1) and (h 2 k 2 l 2), then for Orthorhombic 2 /12222222222 /1221221221221221221)()()(cos ??? ? ??++??? ? ??++++= Φc l b k a h c l b k a h c l l b k k a h h Tetragonal []() 2 /1222222222 /1221221212 2 122121 ))/)(cos ??? ? ??++???? ??++++= Φc l a k h c l a k h c l l a k k h h Cubic ()()[] 2 /122 2222 21 2 1 21 212121cos l k h l k h l l k k h h ++++++= Φ Hexagonal ()() 2 /12222 222 2222122 11212121221221212143434 321 cos ????? ????? ??+++???? ??++++++ += Φl c a k h k h l c a k h k h l l c a K h k h k k h h
VOLUME: Orthorhombic: =abc Tetragonal: =c a2 Cubic: =3a 3 Hexagonal: =c a2 2 hcp transition between (UVW) and (uvtw) U=u-t, V=v-t, W=w u=1/3(2U-V), v=1/3(2V-U), t= - (u+v), w=W.