迪杰斯特拉算法计算最短路径
利用Dijkstra算法计算最短路径
摘要
福格环游地球问题是一个十分典型的最短路径求解问题，题设给出了当时世界上主要交通网络图及交通通畅的城市之间来往所需时长，并限定了福格的出行方向（福格选择的是往东走），给出起止地点后要求找出福格环游世界天数最短的最佳路径。
我们认为，这个问题的实质在于最短路径的求解和优化。我们对比图论中的多种最短路径算法，决定利用Dijkstra算法解决这个问题。
由于Dijkstra算法要求输入图G的关联矩阵，且图G为二维赋权图，而题中给出的地图可看成是三维环状地图，因此，我们对题设地图做相关处理，将其从起点处“切断”并展开为二维图，然后根据此图建立关联矩阵。同时，我们考虑到最短路径可能会与切断线有交点，在切断线以西找出若干地点一分为二，修改关联矩阵。
对于题目中缺失的两处数据，本文将以当时的交通数据为基础，经过合理的数据处理，结合Google Earth测距软件与题目数据的合理类比，补充缺失数据，完成关联矩阵。
得到关联矩阵后，我们分别以伦敦、纽约和上海作为起点，调整关联矩阵起点和终点，用matlab编程进行求解得到最短环游时间和最短路径，进而判断出所选择的路径是否能让他赢得赌注。根据我们的求解结果，在这三个城市，福格均能在80天内环游地球，赢得赌注。
本文进一步对此种算法的优缺点、灵敏度与推广性进行了分析，同时初步提出了两种优化方法。
关键词：最短路径算法 dijkstra算法算法优化
一、问题重述
儒勒?凡尔纳的著名小说《环游世界80天》中，英国绅士福格在伦敦与人打赌能够在80天内环游世界，这在当时的1872年是一个了不起的壮举。当时最快的旅行方式是火车和轮船，然而世界上大部分地区还是靠马车、大象、驴子或者步行来旅行。下面是一个从伦敦环游世界不同路线的交通网络图，福格选择的是往东走，每段路线所需要的天数显示在图上（见附录一），旅行的时间基于1872年能采用的旅行方式以及距离。
我们将解决以下问题：
1．我们将设计一个算法为福格选择一条最佳路径，即环游世界天数最短，并判断所选择的路径是否能让他赢得赌注。
2．若他在别的地方与人打赌，如纽约或者上海，我们将分别设计最佳路径并判断所选择的路径是否能让他赢得赌注。
二、问题分析
福格环游地球问题是一个十分典型的最短路径求解问题，题设给出了当时世界上主要交通网络图及交通通畅的城市之间来往所需时长，并限定了福格的出行方向（福格选择的是往东走），给出起止地点后要求找出福格环游世界天数最短的最佳路径。
本题实质在于最短路径的求解和优化，如何求解最短路径呢，我们联系到图论中求解最短路径的Dijkstra算法，然而，要满足Dijkstra算法的条件，首要任务是弄清如何处理题设所给的世界交通网络图。我们可以把题中给出的地图看成是三维环状地图，而Dijkstra算法要求输入图G的关联矩阵，且图G为二维赋权图，因此，我们应该对题设地图做相关处理，将其从起点处“切断”并展开为二维图，然后根据此图建立关联矩阵。但是，考虑到最短路径可能会与切断线有交点，我们必须在切断线以西找出若干地点一分为二，修改关联矩阵。
在创建关联矩阵的时候，必须考虑到如何估计两处缺失的数据，当时的地区交通状况文献已经无法查询，因此，我们只能根据当地周围相似地形地势处的已知交通状况进行估值。如何估值呢，我们用Google Earth对两地距离进行测量，并进行若干假设，与附近相似地形已知数据处进行同比例估值，得到近似结果。对于题目提出的问题，分别以伦敦、纽约和上海作为起点，我们只需调整关联矩阵起点和终点用matlab编程进行求解即可得到最短环游时间和最短路径，从而判断出所选择的路径是否能让他赢得赌注。
三、基本假设
1、题目中给出的数据均准确。
2、题目中给出的数据均采用当时能达到的最高效的交通方式。
3、在环游地球的路程中，福格不会在任何地点因任何原因停留。
4、相似地理环境下，两地之间所需时间正比于两地距离。
5、Google Earth所测得的数据均准确。
6、相近地理环境下两地点间交通路线距离与直线距离近似成正比。
7、1870年至今数据缺失处地形地势未发生明显变动。
8、在旅行路途中因改变交通工具导致的可能的时间延误已计入数据所给时间。
9、在环球旅程中所有交通工具均能正常行驶。
四、符号说明
具体的符号使用将在具体使用处说明。
五、模型的建立与求解
5.1 缺失数据确定
题目所给数据中有两段路程具体数据缺失，需要自行估算。由于年代久远，当时的确切数据已很难查出，我们决定利用google earth软件对路径长度进行测距，结合当时的地理环境与题目已给出的数据进行估算。为了保证结果的合理性，对所有需要四舍五入的时间长度均采取进位的方式，由此计算的总天数不会超过实际所需天数，得到的数据相对合理。
5.1.1 15Minsk~19Moscow
Minsk作为在19世纪飞速发展的工业城市与白俄罗斯首都，与Moscow之间有铁路连接，因此我们选取同以铁路连接的，Moscow与Berlin进行同类比对。由Google Earth 测距，Berlin至Moscow距离1615.6公里，题目中数据为9天路程；Minsk至Moscow距离676公里。由此我们估算由Minsk至Moscow耗时4天。
5.1.2 31Calcutta~32Bangkok
我们认为由Calcutta至Bangkok的路途有两种方案，一是走陆路，利用马车大象的交通工具，由于两地之间有海湾相隔，只能绕行，大大增加了里程；二是走水路，由于Bangkok临近湄公河，Calcutta临近恒河，两城市均能方便而快捷的通过水路进入孟加拉湾，加上当时轮船是较为方便快捷的交通工具，因此水路能节省更多的时间。综上，我们选择第二种方案。有测距软件，两地距离1584公里。由Calcutta至Singapore同样走水路，有于需绕行大陆架，我们选择折线测距，距离3264公里，时长10天，由此可算得由Calcutta至Bangkok耗时4天。
5.2 利用dijkstra算法计算由伦敦出发的最短路径
5.2.1 算法选择
此题是一道非常典型的最短路问题，解决最短路问题存在不同算法。
在诸多最短路径算法中，Floyd算法和Warshall算法也可以解决这个问题，
前者时间复杂性是O（），而后者时间复杂性为O（），二者时间复杂性均大
于本模型所选用算法，因此，dijkstra算法的运算速度和运算量目前来说是最优的[1]。
5.2.1 数据初步处理
由于dijkstra算法可计算两顶点间最短路，而题目中需要我们计算同地点出发同地点结束，因此我们需要对数据进行整理与合理简化。以伦敦为例详细表述。
首先，我们将图以伦敦为界分为东西两个方向，设计一个新的节点1’作为旅途终点。同时我们发现，如果将与1相连的点都分别与1、1’相连，则可能会出现绕小圈的计算结果，达不到环游地球的目标路线。如果机械的将与1相连的点分为东西两部分分别与1,1’相连，则可能无法使计算所得的路程最短。因此，我们加设了两个点2’、3’。具体整理出的表格见下页。
由此得到的数据表格将直接作为关联矩阵进行计算。
在这种数据处理下，得到的结果将较为可靠。
5.2.2 dijkstra算法
这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V 中所有顶点v除s外d[v]= ∞）。当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。这条路径的长度是d[u]+w(u,v)。如果这个值比目前已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过组织因而当d[u]达到它最终的值的时候没条边(u,v)都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展[2]。
简而言之，这种算法就是逐点计算从起点到各个驻点的最短路程，进而得出两点之间的最短路径。算法计算过程中，将遍历所有点，因此所得的结果十分准确，与效率相关的分析将在后文给出。
5.2.3 模型的求解
我们利用matlab软件对模型进行了求解。
得出的结果如下：
环游世界共需79天，即可以赢得赌注
经历的的城市编号如下：1、6、7、12、17、22、23、28、31、32、35、37、39、41、47、50、53、1’。
线路如下图所示：
5.3 以纽约和上海为起点的环球旅行
5.3.1 以上海为起点
数据处理与求解的过程与伦敦相仿，因此不再赘述，具体的数据处理等见附录。所得的结果如下：
环球旅行共需75天。
旅行所经城市路线图如下：
5.3.2 以纽约为起点
数据处理也不再赘述，结果如下：
环球旅行所需天数75天，路线图如下：
六、模型优化
Dijkstra 算法是经典的解决最短路径问题的算法，它可以找出指定节点到其他各个节点间的最短路径，其主要思想是首先从源点求出长度最短的一条路径，然后通过对路径长度迭代得到从源点到其他各目标节点的最短路径。这一点在上文中有详细的叙述。
由其算法步骤可知，用标记法实现Dijkstra 算法的主要步骤是从未标记的节点中选择一个权值最小的链路作为下一个转接点，而要选择一个权值最小的链路就必须把所有节点都扫描一遍，在大数量节点的情况下，这往往成为制约算法计算效率的关键因素。而本题正是这种情况。因此，我们认为，这一算法是可以进行优化处理的。
6.1 优化思路一
通过分析传统Dijkstra 算法的基本思路，我们认为，原始Dijkstra算法搜索的核心是从临时标记的点中选择一个权值最小的弧段，即每次在V—s查找距离源点最近的节点。这个过程可以近似为以源点为圆心的一系列同心圆，搜索过程没有考虑终点所在的方向和位置，在从源点出发的搜索过程中，其他节点与终点被搜索到的概率是相同的。为了减小算法中成功搜索的搜索的范围，以尽快达到目标节点，可以对原始Dijkstra算法进行优化。思路是：考虑到交通道路网络的搜索不同于一般数学上的网络搜索，节点位置总是与一定的空间位置相联系，所以从源点到终点的搜索也应具有一定的方向性。如果在运算过程中，首先沿着有效方向进行搜索，那么运算量将会大大降低[3]。
根据分析，我们通过讨论，提出以下两种优化思路。
一、引入一个辅助变量D i，表示每个节点S i到终点的直线距离。对于每个当前所找到的终点Z i，确定下一个终点时Z i+1时，如果D i+1>D i，就将此路径舍弃，这样就减少了大量不必要的计算。为提高准确性，也可将D i+2与D i进行对比，或将D i+2与D i进行对比，依此类推，对比的两个点越“远”，准确性越高，当然，计算量也越大。考虑到距离与时间并不成严格的正比关系，而且实际问题复杂多变，由此计算的路径可能有偏差，因此，此种优化思路只适用于精度要求不高的最短路问题，不保证得出的路径是最短路径。
二、引入一个辅助变量θi
，表示每个节点S i与终点连线到水平方向的夹角（逆时针为正），
对于每个当前所找到的终点Z i，确定下一个终点时，只在θi±90o的范围内搜索。同样，采用这种优化思路所得出的最短路也不一定是最短的路径，但计算的复杂度降低了很多。
对于以上两种思路中的直线距离和角度如何得出，是需要进一步研究的问题。
6.2 优化思路二
通过分析传统Dijkstra 算法的运算过程，我们还发现，由于题目中给出的不同路线的交通网络图属于稀疏图，即图中很多地点之间是不能直接到达的，在传统Dijkstra 算法中它们之间路径的权重为∞。因此，在运算的过程中，要进行很多次与∞的比较，这些比较是完全没有必要的。
通过查找资料，我们发现可以用邻接多重表的存储结构解决这一问题。
6.2.1 邻接多重表结构
临界多重表是无向图的一种链式存储结构，类似于链表结构。其中包括顶点结构，和边的结构。
顶点的结构由两个域组成：第一个域中存储标示该顶点的信息，本题中即为
j存储这条边的两个顶点在图中的编号，ilink和jlink都是指针域，其中ilink指向下一条与顶点i连接的边，jlink指向下一条与顶点j连接的边。weight域为指向和该边相关的各种信息的指
由于每条边依附于两个顶点，则每个边结点同时链接在两个链表中。采用邻接多重表来表示无向图，节点中设计一个域用来存放任意两点之间的权值。节点用来表示边，若边不存在的话，则不新建节点[4]。
6.2.2邻接多重表优化模型分析
6.2.2.1传统Dijkstra 算法的时间复杂度
6.2.2.1.1构造邻接矩阵的时间复杂度分析
假设无向图的顶点数为n，无向图的边数e(0≤e≤n(1tl一1)／2)。如果用邻接矩阵A来表示，则要占用N×N的空间。对于稀疏图（e< 6.2.2.1.2基于邻接矩阵的Dijikstra算法程序的时间复杂度分析 根据算法程序分析该算法的运行时间，外层循环的时间复杂度是O(n一1)，嵌套的内层循环执行的时间是0(n)，因此得到，采用邻接矩阵作为存储结构的Dijkstra算法程序的总时间复杂度是0(n2)。 6.2.2.2基于邻接多重表的Dijkstra 算法时间复杂度 6.2.2.2.1构造邻接多重表的时间复杂度分析 构造邻接多重表分为两个步骤，首先是寻找到依附于某一顶点的最后一条边的指针；其次是在图的邻接多重表中插入一条边。寻找依附于某一顶点的最后一条边的指针的算法程序如附录6所示。由图论可知，对于n阶完全图而言，与顶点V关联的边的条数为n一1，即依附于顶点V的链表的最长的长度为n一1。因此，循环最多执行n一1。通过上述分析得到，第一步的时间复杂度为O(n一1)。插入边的程序如附录7所示。该算法是按照顶点递增顺序插入边。若插入e 条边，则调用e次InsertEdge()函数，它所耗费的时间为0(e)。此外，插入N个顶点的时间复杂度是0(n)。因此，采用邻接多重表，构造一个具有n个顶点和e 条边的无向图的时间复杂度是0(n+e×(n—1))。 6.2.2.2.2基于邻接多重表的Dijikstra算法程序的时间复杂度分析 基于邻接多重表的Dijkstra算法程序如附录8所示，算法中，针对边的操作，是按照依附于顶点的边的递增顺序搜索边。已知s为已求得最短路径的终点的集合，V为未求得最短路径的终点的集合，假设从vi到vj有边(vi，vj)(i 基于以上分析，采用邻接多重表结构确实可以使计算简化。 6.2.3 邻接多重表优化算法的适用范围 通过6.2.2的分析，只有当e< 七、灵敏度分析 本算法具有很好的灵敏度，即若路径权值或起点位置发生改变且足以改变理论最短路径，本算法可灵敏地作出相应改变，找出最短路径；若改变不足以改变理论最短路径，本算法找出的最短路径则不会有明显变动。 八、模型评价与推广 8.1 模型的优点 本模型将福格环游地球具有54个地点的三维线路图（地球表面）根据具体情况抽象成了具有55个或更多顶点的二维赋权图G（将起点一分为二三维环状图断成二维平面图），并将没有连通的两点权值设为0，在matlab程序中将其转变成无穷大，方便运用本模型建立的算法对其进行路径分析。 根据图论知识，凡是时间复杂性为的算法（其中为一二元多项 式），著名数学家J.Edmonds 称之为“好算法”（Good algorithm）或多项式时间算法，区别于运算量大的指数型时间算法（时间复杂性无法用输入长n的多项式作为其上界的算法），用以评估算法的运算效率，而实践证明，好算法与指数型时间算法的运算效率有天壤之别。在本模型中，复杂性计算如下： 加法： 比较： v∈S：（其中为G的顶点数） 总共算得其时间复杂性为O（），是多项式时间算法，即好算法。 此外，我们找到了其它两种算法求最短路径，分别是Floyd算法和Warshall 算法。经计算，前者时间复杂性是O（），而后者时间复杂性为O（），二者 时间复杂性均大于本模型所选用算法，因此，这种算法的运算速度和运算量目前来说是最优的。 8.2 模型的缺点 由于此题所给地图是闭合的，要求求出从A出发然后绕地球一圈回到A的 最短路径，而我们选用的算法只能求出从A到B（A与B为不同地点）的最短 路径，因此，在制作关联矩阵时，我们只能将地图从A点截断（即将A分为A 和A’）抽象成二维的赋权图G，这里就产生了较为复杂的数据处理问题，因为 我们在制作关联矩阵的过程中，需要考虑哪些路应该“截断”（权值设为0），不同的起点需要考虑不同的情况，有不同的关联矩阵，给模型的求解过程带来不便。 另外，用matlab计算出的最短路径编号并不一定和地点编号一一对应，要找出实际路径必须以最短路径编号作为索引在关联矩阵中找到对应地点编号，因为此算法要求起点终点必须在关联矩阵的第一行第一列和最后一行最后一列，并按照关联矩阵的元素位置序号输出路径。但是此缺点带来的工作量可以忽略不计[5]。 8.3 模型的推广 本算法不仅适用于本题环游地球的最短路径求解问题，只要将任何实际问题抽象为赋权图G，并有确定的起点与终点，即可由本算法求出最短路径，最短的时间，最短的路程等等。 实际生活中的许多问题都可归结于图论中的最短路径问题，如：电子导航、交通旅游、公交出行，管道铺设，厂区布局以及电力、通讯中的很多问题等。这里的最短路径不仅仅指地理意义上的距离最短，可引申为最少费用、最短时间、延时最短、吞吐量最大等约束条件。而此模型正是基于典型最短路问题建立的，因此，本文所提供的方法同样适用于解决这些这些问题。 对于一些多阶段决策问题，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在其每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的效果。各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状况，有影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，确定了整个决策过程的活动路线。利用通常的动态规划模型求解是比较困难的，比如，要写出其动态规划的递推关系难度很大，并且不易用程序语言表述，对于此类问题，我们可以将实际问题数学抽象成相应的树图，根据实际情况给图的每一边赋上相应的权值，将它转化为最短路径问题，并利用上述模型求解，这样的转换可简化复杂的动态规划实际问题，并方便地用程序语言进行表达。 此外，基于最短路径问题，我们还可以将本文提出的算法做适当修改，求出最短路径、次短路径等等，这对一些实际问题如交通规划的不同方案选取、旅游路线方案的选取等有重要意义。 九、参考文献 [1]陈东彦等，数学建模，科学出版社 [2]卜月华，图论及其应用，东南大学出版社 [3]章永龙，Dijkstra，最短路径算法优化，南昌工程学院学报，Vol.25，No.3 [4]宋金华，Dijkstra算法程序的优化，海南广播电视大学学，2008，No.4 [5]殷剑宏，图论及其算法，中国科学技术大学出版社 附录附录一：题目数据图 附录五：matlab程序 function [d,path]=dijkstra(W,s,t) [n,m]=size(W);ix=(W==0);W(ix)=inf; if n~=m,error('Square W required');end visited(1:n)=0; dist(1:n)=inf;parent(1:n)=0;dist(s)=0;d=inf; for i=1:(n-1),%每个节点与起点的关系 ix=(visited==0);vec(1:n)=inf;vec(ix)=dist(ix); [a,u]=min(vec);visited(u)=1; for v=1:n,if (W(u,v)+dist(u) dist(v)=dist(u)+W(u,v);parent(v)=u; end;end;end if parent(t)~=0,path=t;d=dist(t);%最短路径 while t~=s,p=parent(t);path=[p path];t=p;end; end; 将处理的的数据保存为M文件 调用的时候 W =xlsread('R:\beijing.xlsx'); s = 1; t = 57; [ d , path ] = Dijkstra( W , s , t ) 附录六模型优化的C语言程序1 EdgePtr LastEdge(GraphType *g，int vi) { EdgePtr p； jf((*g)．Adjmuljsl[vi]．firstEdge==NULL) { return g一>Adjmulist[vi]．firstEdge； } else{ P =(*g)．Adjmulist[vi]．firstEdge； 语句1：if(vi == p一>elem．ivex) { 语句2： while(P一>ilink!=NULL){P=P一>ilink;} return p；} else{ while(P一>jlink!=NULL) { P=P一>jlink；} return p；} } } 附录七模型优化的C语言程序2 在图的邻接多重表中插入一条边 void Insert_Edge(GraphType *g，EdgeType e) { EdgePtr p,q，r； P =(EdgePtr)malloc(sized(EdgeNode))； P一>elem．1ength=e．1ength； P一>elem．ivex=e．ivex；p一>elem．jvex=e．jvex； q=LsstEdge(g，e．ivex)；r=LastEdge(g，e．jvex)； if((q==NULL)&&(r==NUIL)) { (*g)．Adjmulist[e．ivex]．firstEdge = p； (*g)．Adjmulist[e．jvex]．flrstEdge = p； P一>elem．ivex=e．ivex；p一>elem．jvex= e．jvex； } else{ if(q一>elem．ivex==e．ivex) { q一>ilink=p；P一>elem．Ivex=e.ivex;P一>elem．jvex=e．jvex； } if(q一>elem．jvex==e．ivex) { q一>jlink 2 p；P一>dem．ivex=e.jvex；P一>elem．jvex=e．ivex； } if(r==NULL) { (*g)．Adjmulist．jvex]．firstEdge=p； p一>ilink=NULL；p一>jlink=NULL； } else { p一>iliIlk=r：p一>jlink=NULL； (*g)．Adjmulist[e．jvex]．firstEdge = p； } } 附录八模型优化的C语言程序3 Void ShortestPath(Graph Type g，int st，int nd，int &pathLenght，PTrype&Pathlnfo) { ／／利用迪杰斯特拉算法的基本思想求图g中 从顶点st到顶点nd的一条 ／／最短路径Pathlnfo及其路径长度path- Lengtha ／／设int aist[MAXVTXNUM]；PathType path [MAXVTXNUM]； for(i=0；i {dist[i]=maxint；InitPath(path[i])；} P=LastEdge(g，st)； while(p){ NextEdge(g，p，st，q，adjvex)； dist[adjvex]=p一>length； InsertPath(path[adjvex]，st，adjvex)； p=q； } found=FALSE： InitSet(ss)；PutInSet(st，ss)； 语句l：while(!found) { min=minval(dist)； if(min==nd)found=true； else{ v=min；PutInSet(v，ss)；P 2 Fimtedge(g，V)； 语句2：while(p) { NextEdge(g，p，v，q，W)； if(!InSet(W，ss)&& (dist[v]+P一>length) dist[W]=dist[v]+P一>length； copyPath(path[W]，path[v])； InsertPath(path[W]，v，W)； } P =q； }／／while(P) }／／else }／／while(!found) pathLength=dist[nd]； OutPath(g，path[nd]，Path Val)； } 最短路径算法—D i j k s t r a 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII Dijkstra 算法解释 本文引用三篇文章：分别是谢光新-Dijkstra 算法， zx770424 -Dijkstra 算法， 中华儿女英雄 -Dijkstra 算法 有兴趣的朋友请引用原文，由于分类很不相同难以查找，此处仅作汇总。 谢光新的文章浅显易懂，无需深入的数学功力，每一步都有图示，很适合初学者了解。 zx770424将每一步过程，都用图示方式和公式代码\伪代码对应也有助于，代码的理解。 中华儿女英雄从大面上总结了Dijkstra 的思想，并将演路图描叙出来了。起到总结的效果。 希望这篇汇总有助于大家对Dijkstra 算法的理解。 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 简介 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。 算法描述 (这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值) 1．置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边) 2．在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3 3．对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k 的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 复杂度分析 Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2) 空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2) 两个指定顶点之间的最短路径 问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。 以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。 求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。 (ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用 )}()(),({min uv w u l v l i S u +∈ 代替)(v l 。计算)}({min v l i S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令}{11++=i i i u S S 。 (iii). 若1||-=V i ，停止；若1||- :算法的设计思想 本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。 本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。 伪代码 算法AlgBB() 读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中 Dijkstra(length) Dijkstra(cost) while true do for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点 if shortestlength>optimal or mincost>1500 pruning else if i＝50 optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的 较小值做最优解 else if looped //如果出现回路 pruning //剪枝 else 将城市i插入到优先队列中 end for while true do if 优先队列为空 输出结果 else 取优先队列中的最小节点 if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解 continue 5.3.4 附录E 最短路径算法——Dijkstra 算法 在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford 算法和Dijkstra 算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。我们在下面只介绍Dijkstra 算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。 应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。 令v 部分： 不直接相连与结点若结点 1 v ? ?∞在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子， 可以使D (v ) = 99。 (2) 寻找一个不在N 中的结点w ，其D (w )值为最小。把w 加入到N 中。然后对所有不在N 中的结点v ，用[D (v ), D (w ) + l (w , v )]中的较小的值去更新原有的D (v )值，即： D (v )←Min[D (v ), D (w ) + l (w , v )] (E-1) (3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N 中为止。 表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D (w ) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N 之中，整个算法即告结束。 表E-1 计算图E-1的网络的最短路径 现在我们对以上的最短路径树的找出过程进行一些解释。 因为选择了结点1为源结点，因此一开始在集合N中只有结点1。结点1只和结点2, 3和4直接相连，因此在初始化时，在D(2)，D(3)和D(4)下面就填入结点1到这些结点相应的距离，而在D(5)和D(6)下面填入∞。 下面执行步骤1。在结点1以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w，这应当是w = 4，因为在D(2)，D(3)和D(4)中，D(4) = 1，它的之值最小。于是将结点4加入到结点集合N中。这时，我们在步骤1这一行和D(4)这一列下面写入①，数字1表示结点4到结点1的距离，数字1的圆圈表示结点4在这个步骤加入到结点集合N中了。 接着就要对所有不在集合N中的结点（即结点2, 3, 5和6）逐个执行（E-1）式。 对于结点2，原来的D(2) = 2。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 2) = 1 + 2 = 3 > D(2)。因此结点2到结点1距离不变，仍为2。 对于结点3，原来的D(3) = 5。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 3) = 1 + 3 = 4 < D(3)。因此结点3到结点1的距离要更新，从5减小到4。 对于结点5，原来的D(5) = ∞。现在D(w) + l(w, v) = D(4) + l(4, 5) = 1 + 1 = 2 < D(5)。因此结点5到结点1的距离要更新，从∞减小到2。 对于结点6，现在到结点1的距离仍为∞。 步骤1的计算到此就结束了。 下面执行步骤2。在结点1和4以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w。现在有两个结点（结点2和5）到结点1的距离一样，都是2。我们选择结点5（当然也可以选择结点2，最后得出的结果还是一样的）。以后的详细步骤这里就省略了，读者可以自行完 1的路由表。此路由表指出对于发往某个目的结点的分组，从结点1发出后的下一跳结点（在算法中常称为“后继结点”）和距离。当然，像这样的路由表，在所有其他各结点中都有一个。但这就需要分别以这些结点为源结点，重新执行算法，然后才能找出以这个结点为根的最短路径树和相应的路由表。 第36卷第5期2002年9月 浙 江 大 学 学 报(工学版) Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science) Vol.36No.5Sep.2002 收稿日期:2001-10-24. 作者简介:柴登峰(1974-),男,浙江江山人,博士生,从事遥感图像处理、地理信息系统方面研究.E-mail:chaidf@z https://www.360docs.net/doc/493301082.html, 前N 条最短路径问题的算法及应用 柴登峰,张登荣 (浙江大学空间信息技术研究所,杭州浙江310027) 摘 要:现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N 条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N 短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstr a 算法的新算法,该算法可以求取前N 条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要. 关键词:最短路径;N 条最短路径;网络分析;地理信息系统;交通咨询系统 中图分类号:P 208;O 22 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2002)05-0531-04 Algorithm and its application to N shortest paths problem CHAI Deng-f eng,ZHAN G Deng-rong (I nstitute of Sp ace and I n f ormation T echnical ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China ) Abstract :As the shor test path denotes one path ,algorithms designed for shor test path problem can g et only one path .N shortest paths are N paths including the shortest one ,the one inferior to the shortest one,eto.After reviewing the application of shortest poth pro blem ,an N shortest paths problem w as put fo rw ard and described.Gr aph theo ry w as used to analy ze the problem and results in fo ur theoretical con-clusions .T hen ,algo rithm recursively calling the Dijkstra algor ithm was desig ned and analy zed .Bath time co nplexity and space conplex ity are poly nom ial order.The algo rithm w as tested by ex periment and applied to a traffic consultatio n system of Guang zhou City ,it can meet the need of r eal-time application.Key words :sho rtest path;N shor test paths;netw ork analysis;tr affic consultation system ;GIS 20世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的理论和应用研究得到广泛重视,图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立.现在,图论的应用已经深入到众多领域,GIS 网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[3] ,此外,还有城市规划、电子导航、交通咨询等等. 最短路径问题是图论中的一个典范问题[1],主要研究成果有Dijkstra 、Floy d 等优秀算法[1,2],Dijk-stra 还被认为是图论中的好算法[1] .目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面[3,4].最短路径问题通常有两类[2]:一类是求取从某一源点到其余各点的最短路径;另一类是求取每一对顶 点之间的最短路径.它们从不同的角度描述问题,但有一个共同的缺陷:这里的最短路径指两点之间最 短的那一条路径,不包括次短、再次短等等路径.在此不妨称以上两类问题为狭义最短路径问题,为此设计的算法只能求得最短的一条路径,而不能得到次短、再次短等等路径. 实际上,用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上.因此,有必要将最短路径问题予以扩充,成为N 条最短路径问题,即不但要求得到最短路径,还要得到次短、再次短等路径.这称之为广义最短路径问题. 计算最短路径的Dijkstra算法的编程实现 实验环境: C++ 为了进行网络最短路径路径分析，需将网络转换成有向图。如果要计算最短路径，则权重设置为两个节点的实际距离，Dijkstra算法可以用于计算从有向图中任意一个节点到其他节点的最短路径。 算法描述： 1）用带权的邻接矩阵来表示带权的n个节点的有向图，road[i][j]表示弧< vertex i, vertex j>的权值，如果从vertex i到vertex j不连通，则road road[i][j]=无穷大=9999。引进一个辅助向量Distance，每个Distance[i]表示从起始点到终点vertex i的最短路径长度。设起始点为first，则Distance[i]= road[first][i]。令S为已经找到的从起点出发的最短路径的终点的集合。 2）选择vertex j使得Distance[j]=Min{ Distance[i]| vertexi∈V-S},vertex j就是当前求得的一条从起始点出的的最短路径的终点的，令S=S∪{ vertex j} 3）修改从起始点到集合V-S中任意一个顶点vertex k的最短路径长度。如果Distance[j]+ road[j][k]< Distance[k]，则修改Distance[k]为：Distance[k]= Distance[j]+ road[j][k]。 4）重复2,3步骤操作共n-1次，由此求得从起始点出发到图上各个顶点的最短路径长度递增的序列。 算法复杂度为O(n2)。 程序代码如下： #include 地图中最短路径的搜索算法研究 学生:李小坤导师：董峦 摘要：目前为止, 国内外大量专家学者对“最短路径问题”进行了深入的研究。本文通过理论分析, 结合实际应用，从各个方面较系统的比较广度优先搜索算法(BFS)、深度优先搜索算法(DFS)、A* 算法的优缺点。 关键词:最短路径算法；广度优先算法；深度优先算法；A*算法； The shortest path of map's search algorithm Abstract:So far, a large number of domestic and foreign experts and scholars on the" shortest path problem" in-depth study. In this paper, through theoretical analysis and practical application, comprise with the breadth-first search algorithm ( BFS ), depth-first search algorithm ( DFS ) and the A * algorithms from any aspects of systematic. Key words: shortest path algorithm; breadth-first algorithm; algorithm; A * algorithm; 前言： 最短路径问题是地理信息系统（GIS）网络分析的重要内容之一，而且在图论中也有着重要的意义。实际生活中许多问题都与“最短路径问题”有关, 比如: 网络路由选择, 集成电路设计、布线问题、电子导航、交通旅游等。本文应用深度优先算法，广度优先算法和A*算法，对一具体问题进行讨论和分析，比较三种算的的优缺点。 在地图中最短路径的搜索算法研究中，每种算法的优劣的比较原则主要遵循以下三点:[1] (1)算法的完全性：提出一个问题，该问题存在答案，该算法能够保证找到相应的答案。算法的完全性强是算法性能优秀的指标之一。 (2)算法的时间复杂性: 提出一个问题，该算法需要多长时间可以找到相应的答案。算法速度的快慢是算法优劣的重要体现。 (3)算法的空间复杂性:算法在执行搜索问题答案的同时，需要多少存储空间。算法占用资源越少，算法的性能越好。 地图中最短路径的搜索算法: 1、广度优先算法 广度优先算法(Breadth-First-Search)，又称作宽度优先搜索，或横向优先搜索，是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型,Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽 中南大学 《数据结构》课程设计 题目第9题 Dijkstra算法求最短路径 学生姓名 XXXX 指导教师 XXXX 学院信息科学与工程学院 专业班级 XXXXXXX 完成时间 XXXXXXX 目录 第一章问题分析与任务定义---------------------------------------------------------------------3 1.1 课程设计题目-----------------------------------------------------------------------------3 1.2 原始数据的输入格式--------------------------------------------------------------------3 1.3 实现功能-----------------------------------------------------------------------------------3 1.4 测试用例-----------------------------------------------------------------------------------3 1.5 问题分析-----------------------------------------------------------------------------------3 第二章数据结构的选择和概要设计------------------------------------------------------------4 2.1 数据结构的选择--------------------------------------------------------------------------4 2.2 概要设计-----------------------------------------------------------------------------------4 第三章详细设计与编码-----------------------------------------------------------------------------6 3.1 框架的建立---------------------------------------------------------------------------------6 3.2 点结构体的定义---------------------------------------------------------------------------7 3.3 创立带权值有向图------------------------------------------------------------------------8 3.4 邻接矩阵的显示---------------------------------------------------------------------------9 3.5 递归函数的应用---------------------------------------------------------------------------10 3.6 Dijkstra算法实现最短路径--------------------------------------------------------------10 第四章上机调试------------------------------------------------------------------------------------11 4.1 记录调试过程中错误和问题的处理---------------------------------------------------11 4.2 算法的时间课空间性能分析------------------------------------------------------------11 4.3 算法的设计、调试经验和体会---------------------------------------------------------11 第五章测试结果-----------------------------------------------------------------------------------12 第六章学习心得体会-----------------------------------------------------------------------------12 第七章参考文献-----------------------------------------------------------------------------------12 附录------------------------------------------------------------------------------------------------------12 最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法 有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等） 5.3.4 附录E 最短路径算法——Dijkstra算法 在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。我们在下面只介绍Dijkstra算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。 应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。 下面以图E-1的网络为例来讨论这种算法，即寻找从源结点到网络中其他各结点的最短路径。为方便起见，设源结点为结点1。然后一步一步地寻找，每次找一个结点到源结点的最短路径，直到把所有 点1, j)为结点i (1) 初始化 令N表示网络结点的集合。先令N = {1}。对所有不在N中的结点v，写出 不直接相连与结点若结点直接相连 与结点若结点 1 1 ),1()(v v v l v D ? ? ?∞= 在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子，可以使D (v ) = 99。 (2) 寻找一个不在N 中的结点w ，其D (w )值为最小。把w 加入到N 中。然后对所有不在N 中的结点v ，用[D (v ), D (w ) + l (w , v )]中的较小的值去更新原有的D (v )值，即： D (v )←Min[D (v ), D (w ) + l (w , v )] (E-1) (3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N 中为止。 表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D (w ) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N 之中，整个算法即告结束。 表E-1 计算图E-1的网络的最短路径 #include 最短路径问题的算法分析及建模案例 最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。 1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题 Dijstra 最短路径算法 1课程设计目的 为进一步巩固学习《数据通信与通信网技术》课程。加强对Dijstra最短路径算法的认识，所以需要通过实践巩固基础知识，为使我们取得最现代化的设计技能和研究方法，课程设计训练也就成为了一个重要的教学环节。通过Dijstra 最短路径算法的设计和实现，达到进一步完善对通信网基础及应用课程学习的效果。增加对仿真软件的认识，学会对各种软件的操作和使用方法；加深理解路径算法的概念；初步掌握系统的设计方法，培养独立工作能力。 2设计方案论证 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 2.1 设计内容 沈阳大学 Dijkstra算法求最短路径(C#版)行如下图的路径,(V0是中心): 经过该算法后转化为下图 using System; using System.Collections; using System.Text; namespace Greedy { class Marx { private int[] distance; private int row; private ArrayList ways = new ArrayList(); public Marx(int n,params int[] d) { this.row = n; distance = new int[row * row]; for (int i = 0; i < row * row; i++) { this.distance[i] = d[i]; } for (int i = 0; i < this.row; i++) //有row个点，则从中心到各点的路有row-1条 { ArrayList w = new ArrayList(); int j = 0; w.Add(j); ways.Add(w); } } //------------------------------ public void Find_way() { ArrayList S = new ArrayList(1); ArrayList Sr = new ArrayList(1); int []Indexof_distance=new int[this.row]; for(int i=0; i < row; i++) { Indexof_distance[i]=i; } S.Add( Indexof_distance[0] ); for (int i = 0; i < this.row; i++) { Sr.Add( Indexof_distance[i] ); } Sr.RemoveAt(0); int[] D = new int[this.row]; //存放中心点到每个点的距离 //---------------以上已经初始化了，S和Sr(里边放的都是点的编 最短路径算法及其路径规划中的应用 摘要： 这篇文章把徒步运动的路径规划问题转化为求解图中任意两点间的最短路径问题，进而针对此问题介绍了Floyd算法，对该算法的时间花费进行分析，并介绍了在实际问题中如何灵活运用该算法解决路径决策中遇到的问题。 关键词：路径规划、最短路径、决策、Floyd算法 将实际地图的转化为有向图 在策划一次徒步旅行时，设计正确的旅行的线路特别重要，首先我们必须先要得到那个地区的地图，以便进行后续的线路规划。当我们拿到某一地区的地图时，我们可以把地图上的每一条线路用线段表示，用顶点表示地图上的岔路口，即多条线段的交点，这样就形成了一个由点和线段组成的图。我们可以在每条线段上标上数字，表示两点之间的实际距离，或者表示通过这条路径所需的时间。当然，如果两点之间没有线段相连，我们可以认为距离为无穷大，用∞表示。有时候某些线路是单向的，即只能从一个方向到另一个方向，不能逆行。这种情况在具体的路径设计中非常常见，比如，在繁华的都市内会有一些单行道，在山区景点中，常会出现一些上山索道，这些都是单向线路的常见例子。有时候，沿某条线路的两个方向所需的时间不同，这种例子更为常见，比如上山与下山，顺风与逆风等等。对于这两种情况，我们可以在表示路径的线段上加上箭头表示该路径的方向，形成有向图。 到达v2的距离为8，而从v2到v1的距离为3。 从点v1到v0的距离为5，而从v0到v1的距离 为∞。这种带有箭头的有向图，比不带箭头的无 向图能够表示更一般的情形，可以说无向图只是 有向图的一种特殊情况。 如果我们知道任意两点间的最短路径，这对 我们进行路径规划将会有很大的帮助，但当地图 较为复杂时，凭直觉估计最短路径的方法往往不 可靠，这时就必须借助计算机的强大计算能力，寻找最短路径。下面，我们就以 这种有向图为工具，来探究寻找最短路径的方法。最短路径算法—dijkstra总结
最短路径的Dijkstra算法及Matlab程序
最短路径流程图及算法详解
Dijkstra算法
前N条最短路径问题的算法及应用
计算最短路径的Dijkstra算法的编程实现
地图中最短路径的搜索算法研究综述 (1)
数据结构课程设计报告Dijkstra算法求最短路径
gis计算最短路径的Dijkstra算法详细讲解
Dijkstra最短路径算法
迪杰斯特拉算法求解最短路径
最短路径问题的算法分析及建模案例
Dijstra 最短路径算法
Dijkstra算法求最短路径
最短路径算法及其在路径规划中的应用