江西省上饶市“山江湖”协作体2018-2019学年高一(自招班)下学期第一次月考数学试题(解析版)

江西省上饶市“山江湖”协作体2018-2019学年高一下学期

第一次月考数学试题

满分：150分考试时间120分钟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合A,B，即可求出，再利用交集概念即可求解.

【详解】由题可得：，

所以，所以

故选：A.

【点睛】本题主要考查了集合的交、补集运算，属于基础题。

2.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

设等差数列的首项为，公差为，由及列方程组即可求解。

【详解】设等差数列的首项为，公差为，由及得：

，解得：

故选：B

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题。

3.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

三视图复原的几何体为正方体中的一个四棱锥，再求其底面积与高，即可得到结果.

【详解】由三视图可知几何体为正方体中的一个四棱锥S-ABCD，

其体积为：V

故选：A

【点睛】本题考查几何体的三视图和体积，要求能把三视图还原成几何体，并能熟练求解几何体中的长度关系，要求有较好的空间想象力和读图识图能力，属基础题

4.已知数列的前项和为，对任意正整数，，则下列关于的论断中正确的是（）

A. 一定是等差数列

B. 一定是等比数列

C. 可能是等差数列，但不会是等比数列

D. 可能是等比数列，但不会是等差数列

【答案】C

【解析】

试题分析：若数列中所有的项都为0，则满足，所以数列可能为等差数列；由得：

，则，所以，另由得：，即，

所以数列不是等比数列。故选C。

考点：等差数列和等比数列的定义

点评：本题利用了等差和等比数列的定义进行判断，解决本题容易出现差错的是，当得到式子时，就认为数列是等比数列，这是错误的，因为这个式子不包括首项。

5.将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称

A. 向左平移个单位

B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位

D. 向右平移个单位

【答案】B

【解析】

【分析】

设出将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．

【详解】假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到

y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称

∴将x=﹣代入得到

sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0

∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，

当k=0时，ρ=﹣，向右平移，

故选：B．

【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.

6.若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）

A. B. C. -1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.

【详解】利用向量垂直的充要条件有：，∴，

则向量在方向上的投影为,故选B.

【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

7.设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则

的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

由题意，则，

画出函数的大致图象，如图所示，

由图可得，当时，方程恰有三个根，

由得；由得，

由图可知，与点关于直线对称；

点和点关于对称，所以，

所以，故选D．

点睛：本题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期，求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.

8.已知定义在R上的函数f(x)＝－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，则a，b，c的大小关系为( )

A. a

B. a

C. c

D. c

【答案】B

【解析】

【分析】

根据f（x）为偶函数便可求出m＝0，从而f（x）＝﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.

【详解】解：∵f（x）为偶函数；

∴f（﹣x）＝f（x）；

∴﹣1＝﹣1；

∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；

（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；

∴mx＝0；

∴m＝0；

∴f（x）＝﹣1；

∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），

b＝f（），c＝f（2）；

∵0＜＜2＜；

∴a

故选：B．

【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．

9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示

则A（0，2），B（2，0），C（0，0），

由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，

设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；

则=（cosθ，sinθ），

又+=（2，2）；

∴?（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），

当θ+=，即θ=时，?（+）取得最大值2，

当θ+=，即θ=时，?（+）取得最小值﹣2，

∴?（+）的取值范围是[﹣2，2]．

故选：D．

【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

10.正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析：如图,设,连接是的中位线,故,由异面直线所成角的.设

,

则,在中,运用余弦定理可得

,故应选C．

考点：异面直线所成角的概念及求法.

11.已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

先作出f(x)的图像，可知当直线时，直线y=a与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点，即方程f(x)-a=0有三个不同的实数根.故应选

D.

12.记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

对的公比是否为1分类，可排除，再利用也是等比数列列方程即可得到，分别令，

，，，可得只有时才存在满足方程，问题得解。

【详解】当时，令（其中为非零常数），

整理得：，要使得它对任意的恒成立，

则：，解得：，这与为等比数列矛盾.

所以，

令（其中为非零常数），则，整理得：

，要使得它对任意的恒成立，

则，整理得：，

令，则，解得：，这与为等比数列矛盾.

令，则，整理得：，此方程无解。

令，则，整理得：，记，

，，所以在上必有一零点。即

至少有一个实根.

令，则，整理得：，解得：，这与为等比数列矛盾.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式，考查分类思想及转化能力，还考查了计算能力及方程思想，属于中档题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.函数的对称中心，，则数列的前项和是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

先由已知得到m=1，再计算出，再利用裂项相消法求和.

【详解】由已知得到m=1，所以，

所以数列的前项和=

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数的对称性，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

14.若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．

【答案】8

【解析】

试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以

所以，所以，，故数列的前8项最大.

考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.

15.已知且,则______。

【答案】1

【解析】

【分析】

整理得：

由此得到，问题得解。

【详解】因为，

所以，整理得：

，又，

所以，所以，

所以

【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，考查计算能力，还考查了三角恒等式，属于基础题。

16.若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）

①；②；③.

【答案】①②

【解析】

【分析】

对于①，求出的反函数为，即可判断原函数是“旋转对称函数”，对于②，验证得：，即可判断原函数是“旋转对称函数”，对于③，可分析出当时，，时，，由函数特征即可判断③不是“旋转对称函数”.

【详解】对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.

对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.

对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线

对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.

【点睛】本题主要考查了反函数的求解及互为反函数的图像关系，考查了偶函数的图像特征，还考查了分析函数图像特征的能力以及极限思维，考查分析能力及新概念知识，属于中档题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.设为各项不相等的等差数列的前n项和，已知.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列{}的前n项和，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用已知条件，根据等差数列的公式得到方程，求出数列的通项公式；（2）利用第一问的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

【详解】（1）等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．

设{a n}的公差为d，

则由题意知

解得（舍去）或，

∴a n=2+（n﹣1）×1=n﹣1．

（2）∵，

∴

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和

的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求

和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

18.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.

（1）证明：平面平面；

（2）若平面，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）证明AC平面PBD即可。

（2）由PD∥平面EAC可得：E为线段PB的中点，利用体积转换即可求解.

【详解】（1）由底面ABCD是菱形可得：AC BD，

又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC.

PD和BD为平面PBD的两条相交直线，

所以AC平面PBD，又AC平面EAC

所以平面EAC⊥平面PBD.

（2）由PD∥平面EAC可得：,又O为BD的中点，

所以E为线段PB的中点，

由题可得：,

所以.

【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查转化思想及空间思维能力，还考查了体积计算，属于基础题。

19.已知函数f(x)＝4cosωx·sin (ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)在区间上的值域．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等变换化简函数，利用周期性即可得到ω的值；

（2）由题意得到≤2x＋≤利用正弦型函数的图像与性质，即可得到结果.

【详解】(1)f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx

＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，

则≤2x＋≤，≤sin(2x＋)≤1，

2sin＋的值域是[0,2+].

【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，涉及函数的周期性，函数的值域，考查学生恒等变形的能力，考查数形结合的思想，属于中档题.

20.已知等比数列的前项和为，若，，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意列关于首项与公比的方程组，解之即可得到结果；

（2）由（1）知，，利用错位相减法即可得到数列的前项和.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

因为，

解得，所以；

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减得

，

∴

【点睛】本题考查等比数列的性质，着重考查数列的求和，突出考查错位相减法，考查方程思想与运算能力，属于中档题．

21.已知函数

（1）求函数的最小正周期与单调增区间；

（2）设集合,若,求实数的取值范围

【答案】（1）最小正周期（2）

【解析】

【分析】

(1)先化简函数得,再求函数的最小正周期和单调递增区间.(2)先由题得

，再求f(x)的最大值和最小值，即得m的范围.

【详解】

(1)=

=

所以函数f(x)的最小正周期T=π.

由得

函数f(x)的单调递增区间为.

（2）由,即f(x)-2＜m＜f(x)+2.

因为,

当时,不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立,

所以

因为

所以.

【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的单调区间和最小正周期的求法，考查三角函数的最值，

意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数

的最值.

22.已知圆C过点P（1，1），且与圆M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称．

⑴求圆C的方程；

⑵设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；

⑶过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

【答案】（1）；（2）－4；（3）平行．

【解析】

试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等；所以可先由圆C与圆M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称，求出圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x0,y0），进而写出圆C的方程，再由圆C过点P（1，1）就可求出半径r的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x0,y0）这样进行：因为圆M的圆心M(-2,-2),所以有MC的中点在直线x+y+2=0上，且MC与直线x+y+2=0垂直，可列出关于x0,y0的方程组，解此方程组就可求得x0,y0的值；（2）设出点Q的坐标,则可用点Q的坐标表示出来,再由点Q在圆C上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;（3）由于直线PA和直线PB的倾斜角互补且PA与PB是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA的斜率为k，则PB的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆C的方程结合起来就可用k的式子表示出A，B两点的从标，从而就可求出直线AB的斜率，又OP的斜率可求，从而就可判断直线OP和AB是否平行了．

试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x0,y0）,由于圆M的圆心M(-2,-2),则

有:,所以圆C的方程为:,又因为圆C过点P（1，1）,所以有,故知:⊙C的方程为：

（2）设Q（x、y），则，从而可设

则

所以的最小值为-4.

（3）设PA的方程为：，则PB的方程为：

由得，同理可得：

OP∥AB．

考点：１．圆的方程；２．向量的数量积；３．直线和圆的位置关系．