2011高考试题——数学(江苏卷)-复兰高考名师在线精编解析版
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绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
参考公式:
(1)样本数据12,,
,n x x x 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑,其中1
1n i i x x n ==∑
(2)直柱体的侧面积S ch =,其中c 为底面周长,h 是高 (3)柱体的体积公式V Sh =,其中S 为底面面积,h 是高
.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置
姓名___________________ 准考证号___________________
2
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上........。 1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=?B A 答案:{}1-,2
2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________
答案:+∞1
(-,)2
3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+(i 是虚数单位),则z 的实部是_________ 答案:1
4、根据如图所示的伪代码,当输入b a ,分别为2,3时,最后输出的m 的值是________ 答案:3
5、从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 答案:
13
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差___2=s 解析:可以先把这组数都减去6再求方差,165
7、已知,2)4
tan(=+
π
x 则
x
x
2tan tan 的值为__________
解析:2
2tan(11tan tan 1tan 44tan tan(,2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x x
π
πππ+-+-===++(-)===-
8、在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数x
x f 2
)(=的图象交于P 、Q 两
点,则线段PQ 长的最小值是________
解析:4,设交点为2(,)x x ,2(,)x x --,则4PQ =
9、函数??,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则
____)0(=f
解析:由图可知:7,2,41234T A πππω=
=-==2,3k k π?π?π?+==2(0))32
f k ππ=-=± 3π
π12
10、已知→
→21,e e 是夹角为π3
2
的两个单位向量,,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=?→→b a ,则k
的值为
解析:由0=?→
→b a 得:k=2
11、已知实数0≠a ,函数?
??≥--<+=1,21
,2)(x a x x a x x f ,若)1()1(a f a f +=-,则a 的值为
________
解析:30,2212,2a a a a a a >-+=---=-
,3
0,1222,4
a a a a a a <-+-=++=- 12、在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标
为t ,则t 的最大值是_____________
解析:设00(,),x
P x e 则00000:(),(0,(1))x
x
x
l y e e x x M x e -=-∴-,过点P 作l 的垂线
000000(),(0,)
x x x x y e e x x N e x e ---=--+,
00000000011
[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-
00'01()(1)2x x t e e x -=+-,所以,t 在(0,1)上单调增,在(1,)+∞单调减,max 11()2t e e
=+。
13、设7211a a a ≤≤≤≤ ,其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列,642,,a a a 成公差为1的等差数列,则q 的最小值是________
解析:由题意:231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤,
222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+
3223q a ≥+≥,而212221
,1,,1,2a a a a a ≥=∴++的最小值分别为1,2,3;min q ∴= 14、设集合},,)2(2
|
),{(222R y x m y x m
y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,
若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围是
[
]122
,
.......明、证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分14分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, (1)若,cos 26
sin(A A =+
π
求A 的值;
(2)若c b A 3,3
1
cos ==,求C sin 的值.
解析:(1)
sin()2cos ,sin
,63A A A A A ππ
+=∴=∴=
(2)2222
1cos ,3,2cos 8,
3
A b c a b c bc A c a ==∴=
+-==
由正弦定理得:
sin sin c A C =,而sin 3
A ==1sin 3C ∴=。
(也可以先推出直角三角形)
16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD , AB=AD ,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证:(1)直线E F ‖平面PCD ; (2)平面BEF ⊥平面PAD 解析:(1)因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点,
,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈?面面
∴直线E F ‖平面PCD
(2)
AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点,,BF AD ∴⊥
又平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD ABCD AD,?面面=,BF PAD ∴⊥面
所以,平面BEF ⊥平面PAD 。
17、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角
三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm
(1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2
)最大,试问x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积V (cm 3)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P
解析:(1)2
2
2
2
604(60
2)2408S x x x x =---=-(0 (16) 第题图 (2)2 2(2) (602)(30)(030)2 V x x x x =-=-<<,所以,'(20),V x =- 当020,x <<时,2030V x V <<递增,当时,递减,所以,当x=20时,V 最大。 x 12=60-2) 18、(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN 时,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB 解析:(1)M(-2,0),N(0,、N 的中点坐标为(-1,2-),所以2 k = (2)由{ 22224y x x y =+=得2424(,),(,)3333P A --,2(,0)3C ,AC 方程:2 3422333 x y - = ---即:3y x =- 所以点P 到直线AB 的距离3d == (3)法一:由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则, A 、C 、B 三点共线,0101 10010 ,2y y y y x x x x x +∴ ==-+又因为点P 、B 在椭圆上, 222200111,14242x y x y ∴+=+=,两式相减得:01012() PB x x k y y +=-+ 00110010011001()() []12()()() PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴= -=-=-+++ PA PB ∴⊥ 法二:设112200111(,),(,),A,B N(x ,y ),P(-,),C(-,0)A x y B x y x y x -中点则, A 、C 、 B 三点共线,221121211 ,2AB y y y y k x x x x x -∴ ===+-又因为点A 、B 在椭圆上, 222222111,14242x y x y ∴+=+=,两式相减得:001 2AB y x k =-, 01011 212ON PA AB AB y y k k k x x k ∴= =-?=-,,ON PB PA PB ∴⊥ 19、(本小题满分16分)已知a ,b 是实数,函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和 )(x g '是)(),(x g x f 的导函数,若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立,则称)(x f 和)(x g 在区 间I 上单调性一致