2011高考试题——数学(江苏卷)-复兰高考名师在线精编解析版

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学I

参考公式:

(1)样本数据12,,

,n x x x 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑,其中1

1n i i x x n ==∑

(2)直柱体的侧面积S ch =,其中c 为底面周长,h 是高 (3)柱体的体积公式V Sh =,其中S 为底面面积,h 是高

.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置

姓名___________________ 准考证号___________________

2

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上........。 1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=?B A 答案:{}1-,2

2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________

答案:+∞1

(-,)2

3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+(i 是虚数单位),则z 的实部是_________ 答案:1

4、根据如图所示的伪代码,当输入b a ,分别为2,3时,最后输出的m 的值是________ 答案:3

5、从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 答案:

13

6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差___2=s 解析:可以先把这组数都减去6再求方差,165

7、已知,2)4

tan(=+

π

x 则

x

x

2tan tan 的值为__________

解析:2

2tan(11tan tan 1tan 44tan tan(,2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x x

π

πππ+-+-===++(-)===-

8、在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数x

x f 2

)(=的图象交于P 、Q 两

点,则线段PQ 长的最小值是________

解析:4,设交点为2(,)x x ,2(,)x x --,则4PQ =

9、函数??,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则

____)0(=f

解析:由图可知:7,2,41234T A πππω=

=-==2,3k k π?π?π?+==2(0))32

f k ππ=-=± 3π

π12

10、已知→

→21,e e 是夹角为π3

2

的两个单位向量,,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=?→→b a ,则k

的值为

解析:由0=?→

→b a 得:k=2

11、已知实数0≠a ,函数?

??≥--<+=1,21

,2)(x a x x a x x f ,若)1()1(a f a f +=-,则a 的值为

________

解析:30,2212,2a a a a a a >-+=---=-

,3

0,1222,4

a a a a a a <-+-=++=- 12、在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标

为t ,则t 的最大值是_____________

解析:设00(,),x

P x e 则00000:(),(0,(1))x

x

x

l y e e x x M x e -=-∴-,过点P 作l 的垂线

000000(),(0,)

x x x x y e e x x N e x e ---=--+,

00000000011

[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-

00'01()(1)2x x t e e x -=+-,所以,t 在(0,1)上单调增,在(1,)+∞单调减,max 11()2t e e

=+。

13、设7211a a a ≤≤≤≤ ,其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列,642,,a a a 成公差为1的等差数列,则q 的最小值是________

解析:由题意:231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤,

222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+

3223q a ≥+≥,而212221

,1,,1,2a a a a a ≥=∴++的最小值分别为1,2,3;min q ∴= 14、设集合},,)2(2

|

),{(222R y x m y x m

y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,

若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围是

[

]122

.......明、证明过程或演算步骤。

15、(本小题满分14分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, (1)若,cos 26

sin(A A =+

π

求A 的值;

(2)若c b A 3,3

1

cos ==,求C sin 的值.

解析:(1)

sin()2cos ,sin

,63A A A A A ππ

+=∴=∴=

(2)2222

1cos ,3,2cos 8,

3

A b c a b c bc A c a ==∴=

+-==

由正弦定理得:

sin sin c A C =,而sin 3

A ==1sin 3C ∴=。

(也可以先推出直角三角形)

16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD , AB=AD ,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证:(1)直线E F ‖平面PCD ; (2)平面BEF ⊥平面PAD 解析:(1)因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点,

,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈?面面

∴直线E F ‖平面PCD

(2)

AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点,,BF AD ∴⊥

又平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD ABCD AD,?面面=,BF PAD ∴⊥面

所以,平面BEF ⊥平面PAD 。

17、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角

三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm

(1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2

)最大,试问x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积V (cm 3)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P

解析:(1)2

2

2

2

604(60

2)2408S x x x x =---=-(0

(16)

第题图

(2)2

2(2)

(602)(30)(030)2

V x x x x =-=-<<,所以,'(20),V x =- 当020,x

<<时,2030V

x V <<递增,当时,递减,所以,当x=20时,V 最大。

x 12=60-2)

18、(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆12

42

2=+y x 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x

为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN 时,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB

解析:(1)M(-2,0),N(0,、N 的中点坐标为(-1,2-),所以2

k =

(2)由{

22224y x x y =+=得2424(,),(,)3333P A --,2(,0)3C ,AC 方程:2

3422333

x y -

=

---即:3y x =- 所以点P 到直线AB 的距离3d ==

(3)法一:由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则, A 、C 、B 三点共线,0101

10010

,2y y y y x x x x x +∴

==-+又因为点P 、B 在椭圆上,

222200111,14242x y x y ∴+=+=,两式相减得:01012()

PB x x k y y +=-+

00110010011001()()

[]12()()()

PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=

-=-=-+++ PA PB ∴⊥

法二:设112200111(,),(,),A,B N(x ,y ),P(-,),C(-,0)A x y B x y x y x -中点则,

A 、C 、

B 三点共线,221121211

,2AB y y y y

k x x x x x -∴

===+-又因为点A 、B 在椭圆上,

222222111,14242x y x y ∴+=+=,两式相减得:001

2AB y x k =-,

01011

212ON PA AB AB

y y k k k x x k ∴=

=-?=-,,ON PB PA PB ∴⊥ 19、(本小题满分16分)已知a ,b 是实数,函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和

)(x g '是)(),(x g x f 的导函数,若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立,则称)(x f 和)(x g 在区

间I 上单调性一致

(1)设0>a ,若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围; (2)设,0

解析:(1)因为函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,所以,

''[1,),()()0,x f x g x ?∈-+∞≥即 [1,),x 0,

x ?∈-+∞≥2(3+a )(2x+b)0,[1,),0,a x >∴?∈-+∞≥2x+b

0,[1,),,2;a x b >∴?∈-+∞≥-∴≥b 2x

(2)当b a <时,因为,函数)(x f 和)(x g 在区间(b,a )上单调性一致,所以,

''(,),()()0,x b a f x g x ?∈≥

(,),x 0,

x b a ?∈≥2(3+a )(2x+b)0,(,),20

b a x b a x b <<∴?∈+<,

2(,),3,x b a a x ∴?∈≤-

23,b a b ∴<<-设z a b =-,考虑点(b,a)的可行域,函数23y x =-的斜率为1的切线的切点

设为00(,)x y

则0001

161,,,612x x y -==-=-

max 111()1266

z ∴=---=; 当0a b <<时,因为,函数)(x f 和)(x g 在区间(a, b )上单调性一致,所以,

''(,),()()0,x a b f x g x ?∈≥

(,),x 0,

x a b ?∈≥2(3+a )(2x+b)0,(,),20

b x a b x b <∴?∈+<,

2(,),3,x a b a x ∴?∈≤-

213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤max 1

();3

b a ∴-=

当0a b <<时,因为,函数)(x f 和)(x g 在区间(a, b )上单调性一致,所以,

''(,),()()0,x a b f x g x ?∈≥

即(,),(x 0,x a b ?∈≥22x+b)(3+a )0,b >而x=0时,

x 2(3+a )(2x+b)=ab<0,不符合题意,

0a b

<=时

(,0),x 0,x a ?∈≥22x (3+a )2(,0),x 0,30,x a a a ∴?∈≤∴+<23+a

11

0,33

a b a ∴-<<∴-<

综上可知,max 1

3

a b -=。

20、(本小题满分16分)设M 为部分正整数组成的集合,数列}{n a 的首项11=a ,前n 项和为n S ,已知对任意整数k 属于M ,当n>k 时,)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立。 (1)设M={1},22=a ,求5a 的值;(2)设M={3,4},求数列}{n a 的通项公式。 解析:(1)

1112111,1,2(),2()n n n n n n k n S S S S S S S S +-++=∴?>+=+∴+=+即:

212n n n a a a +++=

所以,n>1时,{}n a 成等差,而22=a ,23211353,2()7,4,8;S S S S S a a ==+-=∴=∴= (2)由题意:3334443,2(),(1);4,2(),(2)n n n n n n n S S S S n S S S S +-+-?>+=+?>+=+,

421353144,2(),(3);5,2(),(4);n n n n n n n S S S S n S S S S +-++-+?>+=+?>+=+

当5n ≥时,由(1)(2)得:4342,(5)n n a a a +--= 由(3)(4)得: 5242,(6)n n a a a +--= 由(1)(3)得:4212,(7);n n n a a a +-++=

由(2)(4)得:5312,(8);n n n a a a +-++=

由(7)(8)知:412,,,n n n a a a ++-成等差,513,,,n n n a a a ++-成等差;设公差分别为:12,,d d 由

5

6

532442421541222,(9);222,(10);n n n n n n a a d a a d a a d a a d +-++-+=+=-+=+=-+

由(9)(10)得:54214122321,2,;n n n n a a d d a d d a a d d ++---=-=+-=-{}a (2)n n ∴≥成等差,设公差为d,

在(1)(2)中分别取n=4,n=5得:121222+6a 152(255),452;a d a a d a d +=++-=-即

1212228282(279),351a a d a a d a d ++=++-=-即 23,2,2 1.n a d a n ∴==∴=-

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学II (附加题)

__________________ 准考证号___________________

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定...............

区域内作答.....

, 若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A . 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)

如图,圆1O 与圆2O 内切于点A ,其半径分别为1r 与212()r r r >, 圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C (1O 不在AB 上), 求证::AB AC 为定值。 证明:由弦切角定理可得11

212,O B r AB AO C

AO B AC O C r

== B . 选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵1121A ??=?

???,向量12β??=????

,求向量α,使得2

A αβ=. 设x y α??=??,由2

A αβ=得:321432x y ??????=????????????,

32111,43222x y x x y y α+==--????∴∴∴=????+==????

C .选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos 3sin x y ?

?

=??

=?(?为参数)的右焦点且与直线

423x t

y t =-??

=-?

(t 为参数)平行的直线的普通方程。 解析:椭圆的普通方程为22

1,259x y +=右焦点为(4,0),直线423x t y t

=-??=-?(t 为参数)的普通方程为22y x -=,斜率为:

12;所求直线方程为:1

(4),2402

y x x y =---=即

D .选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)

解不等式:|21|3x x +-<

解析:原不等式等价于:4

3213,23

x x x x -<-<-∴-<<

,解集为4(2,)3-

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内........

作21-A 第图

文字说明、证明过程或演算步骤。

22. (本小题满分10分)

如图,在正四棱柱1111ABCD ABC D -中,12,1AA AB ==,点N 是BC 的中点,点M 在1CC 上,设二面角1A DN

M --的大小为θ。 (1)当0

90θ=时,求AM 的长; (2)当cos θ=

时,求CM 的长。 解析:以D 为原点,DA 为x 轴正半轴,DC 为y 轴正半轴,DD 1为z 轴正半轴,

建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A 1(1,0,2),N(1

2

,1,0),C(0,1,0) ),设M(0,1,z), 面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =,11

(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2

DA DN DM z ===

设面A 1D N 的法向量为000(,,)n x y z =,则00100200,0,102

x z DA n DN n x y +=??

==∴?+=??

取0002,1,1,x y z ==-=-则即(2,1,1)n =--

(1)由题意:

11111111111

020,0,,00

20x y DN n DM n nn y zz x y z ?+=??

===∴+=??--=??

1111

2,1,

5,;5

x y z z ==-==则

AM ∴==

(2)由题意:11116

0,0,,6nn DNn DM n n n ===即111121111111

102034420

x y y zz x x y x z y z ?

+=??+=?

?--+=??

取 11112,1,

2,;2x y z z ==-==则1

.2

CM ∴=

22第题图

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