上海市复旦附中2014年高中自主招生数学试题
2014复旦附中自招数学部分试题
1.解方程：1122111x x x x ????=-+- ? ?????
2.已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则
22b a a b +=__________. 3.分数10013
分子、分母同时加上正整数n 后，变为整数，则这样的n 有________个. 4.ABC ?为等边三角形，P 从A 到B 用时1秒，Q 从B 到C 用时2秒，R 从C 到A 用时3秒，在1秒时间内，________时，PQR ?的面积最小.
5.已知()2xy p x y p =+，为奇质数，求满足条件的()x y x y <、的整数解. .
6.如图，抛物线过点(8,14)
A，顶点为
59
28
??
?
??
，-，求
(1)抛物线解析式；
(2)B C D
、、点坐标；
(3)若P为x轴上任意一点，比较PA PB
+与BC AC
+的大小.
参考答案
1.12x +=
2.9049
-，3. 2. ， 4.当1112
t =时，PQR ?的面积最小.
6.(1)21
5
222y x x =-+;
(2)(0,2)(1,0)(40)B C D ，，，；
(3)略
复旦大学自主招生自荐信
复旦大学自主招生自荐信 复旦大学自主招生自荐信 复旦大学自主招生自荐信 尊敬的复旦大学自主招生领导： 尊敬的领导， 你们好! 我的父母在改革开放初期的1980年幸运地考上了大学。 对于出生于外省小镇的父亲和母亲来说，大学不仅是他们的梦想，更是改变他们命运的神圣殿堂。 那个时候大学录取率只有3%左右，他们从许多人中脱颖而出，经过一步步脚踏实地的拼搏，然后凭着学历和专业成就以人才引进的方式来到上海，在这里发挥着自己的专业特长，实现了安居乐业的人生理想。 但是，每一次我跟着父母回故乡，都会看到我父母当年同学和朋友中的许多人依然过着贫苦的日子，或者外出打工勉强养家活口，或者固守一方土地维持最低温饱，或者成为小商小贩游走在纷乱的街头，就这样沿着他们父辈的生活轨迹，艰难挣扎在物质生活中，默默消失在人海里。 相对来说，“知识改变命运”这一信条在我的父辈这一代人中体现得尤为突出。 大学，是他们改变自身命运的重要一步。 我要感谢我的父母为我创设了良好的生活环境，我能在上海成长很大程度上缘自于他们多年的奋斗和努力。 上海的高考环境令许多外地考生羡艳不已，考大学不再是一件稀奇事。 我不必为考不上大学而过分担忧，我也不必为自己的物质生活操心。
随着高考的一步步走近，我经常在内心叩问自己，我要追求的到底是什么? 比起我的父辈，也许改变命运的紧迫性在我的身上已经不再强烈，但是人生一世应该有自己的渴望与追求，有自己的价值实现。 我渴望进一步完善自己的知识体系，丰富自己的人文情怀，为使自己真正成为社会财富的创造者、人类文化的保护者做好充分的准备。 作为一个未来的创造者，我要继承父辈那种百折不挠的奋斗精神，学有所成，不仅让我的亲人幸福，也为千千万万的草根服务。 所以，我的大学梦应该是责任与行动。 在世界范围内，贫富差距的拉大使许多与我同龄的学生至今无法如愿地接受良好的教育。 当我梦想着我的大学时，心中也深感我的大学梦之重。 大学的学习注定将是责任的再一次担当，而责任付诸实践，便产生行动。 我要用在大学练就的本领服务于社会，帮助更多的人实现大学梦。 作为一个理科学生，我希望自己所选的学科既朝科学的方向靠拢，又不失人文精神——经济学将是我的第一选择。 曾经有一个诺贝尔奖得主说，经济学家应当是拥有良知的一群人，而非受利益所趋。 虽然我并不一定能够如他一样成为这个领域的拔尖人才，但是在我的能力范围之内，我将始终用自己的`学识和能力帮助弱势群体——最起码在经济上，我与志同道合者的努力能使他们不为学习的费用而发愁，能够圆他们的大学梦。 去年诺贝尔和平奖得主穆罕穆德“尤努斯的成就坚定了我的梦想。 中国传统文化有一种声音，知识分子应当时刻行动，墨家的实践者的脚步应该在当代知识分子的身上回响。 康德也曾经说过，知识分子应当是社会的良心。 踏入大学，我就将成为社会知识分子的后备力量。 我将对社会更多地关注，并且参与其中。
初中升高中-学校自主招生选拔考试-数学试题
数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0
A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O
自主招生数学试卷(含答案)
中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两
点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环
中学自主招生考试数学试卷试题
2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c②
福州一中历年自主招生物理试卷(整理)讲解
福州一中历年自主招生物理试卷（整理） 一．选择题 （2007） 1．用绳子拉着重物在光滑水平面上运动，当重物速度达到V 时，绳子突然 断裂。绳子断裂后，重物的速度将（） A．逐渐减小B．逐渐增大C．立即变为零D．保持V 不变 2．载人航天是当今世界技术最复杂、难度最大的航天工程，它代表一 个国 家的生产力发展水平和经济实力，更是扬国威的最佳途径。2005年 10 月12日 至17 日，我国神舟六号载人航天飞行获得圆满成功。神州六号载人飞船环绕地球做圆周运动时离地面的高度是（） A．343km B．686km C．1029km D．1372km 3．如果作用在一个物体上的两个力大小分别为5N 和8N，则这个物体所受的合力大小（） A．可能小于3N B ．可能大于13N C．可能是10N D．一定等于13N 4．甲身高180cm，眼距头顶8cm，乙身高160cm，眼距头顶 6cm，两人同居一室，今欲固定一铅直悬挂的平面镜，使各人站立于镜前时，均可看见自己的全身像，则镜子的最小长度应为（）A．98.5cm B．99.0cm C．99.5cm D．100.0cm (2008) 5．当电磁波的频率增大时，它在真空中的速度将（） A.减小 B.增大 C.不变 6.战斗机在空中加油时的情景如图所示，已知加油 机的速度是 800km/h，则此时战斗机的速度应尽可能（） A．等于0 km/h B.等于800km/h C. 大于800km/h D.小于800km/h 7．街道旁的路灯、江海里的航标灯都要求夜晚亮、白天灭。利用半导
体的电学特性制成了自动点亮、熄灭的装置，实现了自动控制。这是利用半导体的（） A.压敏性 B.光敏性 C.热敏性 D.三种特性都利用了8．吊在室内天花板上的电风扇，静止不动时对固定吊杆的拉力为T1,当电风扇在
2019高中自主招生数学试题
2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温
3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图
南充高中2016年面向省内外自主招生考试数学试题
南充高中2016年面向省内外自主招生考试 数 学 试 卷 （时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（填空题、选择题） 一、填空题（每小题6分，共84分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）） 1、已知3,1,a b ab +==-则3 3 a b += 2、若2 10x x +-=则3 223x x x +-= 3、若0,0,x xy <<则15y x x y -+---= 4、123201120122011321+++ +++++++等于 的平方 5、在有理数范围内分解因式：(3)(1)(2)(4)24x x x x --+++= 6、甲、乙、丙三名学生分20支相同的铅笔，每人至少1支，则不同的分配方法有 种 7、已知a 、b 、2分别为三角形三边的边长，且a 、b 为方程 22(341)(345)12x x x x ----=的根（a 、b 可以相等），则三角形的周长为 8、一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知动点P 每秒前进或后退1个单位,设n x 表示第n 秒时点P 在数轴的位置所对应的数（如4564,5,4x x x ===）.则2012x = 9、关于x 的方程21x k -+=有四个相异的实数根，则k 的取值范围是 10、ABC ?中，90,7,24.B AB BC ∠===ABC ?内部有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为 11、某中学派41名学生参加南充市中学生田径运动会，其中得金牌的12人，得银牌的
5人，得铜牌的8人，同时得金、银牌的2人，同时得金、铜牌的6人，同时得银、铜 牌的3人，同时得金、银、铜牌的1人，那么这所中学派出的学生中没有得奖牌的有人. 12、已知直线AB的方程为：y kx m =+经过点(,),(,8)(0,0). A a a B b b a b >>当b a 是整 数时，满足条件的k= 13、如图，在梯形ABCD中，//,3,9,6, 4. AD BC AD BC AB CD ====若//, EF BC 且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为 14、若[]x表示不超过实数x的最大整数，例如[][] 3.13, 3.14 =-=-，则方程：[] 23 x x -=的解为 二、选择题（每小题5分，共20分,下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置） 15、当式子1231999 x x x x -+-+-++-取得最小值时,实数x 的值是（） A．1 B．999 C．1000 D．1999 16+=（） A．1 B．-1 C．2 D．-2 B A ． C D E F （13题图）
历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版
复旦大学2018年保送生招生（自主招生）测试 数学试题（理科） 一、填空题（每小题10分，共60分） 1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππ ααα+++-＝______________． 3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞ ++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成 等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________． 5．正实数x ,y 满足关系式x 2xy 4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________． 6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从 站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了 ______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分） 1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ． 2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它 圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．
3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于 1 2arcsin 2 ，求该棱锥的体 积． ( 1 cos 124 π =) 4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形． 5 ．设(1n n x y =+x n,y n为整数，求n→∞时，n n x y 的极限． 6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．
2018年上中自主招生数学试卷及答案
2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成；
4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9
【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】
8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】
历年自主招生考试数学试题大全2017年上海复旦大学自主招生数学试题Word版
2017年复旦大学自主招生考试 数学试题 一、填空题（每题8分，共80分） 1．设842421(21)(1)x x x x ax +=+++，则a = ． 2．已知|5x +3|+|5x ?4|=7，则x 的取值范围是 ． 3．椭圆22 1169 x y +=内接矩形的周长最大值是 ． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出6只正好能形成2双，有 种取法． 5．已知等比数列{}n a 中a 1=3，且第l 项至第8项的几何平均数为9，则第3项为 ． 6．若2 (1)0x a x a -++<的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是 ． 7．己知22 (4)149 x y -+=，则2249x y +的最大值为 ． 8．设x 1、x 2是方程2x ?x sin 35π＋cos 35π=0的两个实数解，那么arctan x 1+ arctan x 2= ． 9．方程3z z =的非零解是 ． 10．方程112x x y -+=的值域是 ． 二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：5log (3)1x x -=．
2．已知12sin(),13αβ+= 4sin(),5αβ-=-且0,0,,2παβαβ>>+<求tan 2α． 3．已知过两抛物线C 1：x ＋1=（y ?1）2，及C 2： （y ?1）2＝?4x ?a +11的一个交点的两条切线互相垂直，求a 的值． 4．若存在M ，使任意x ∈D （D 为函数f （x ）的定义域），都有|f （x ）|≤M．则称函数f （x ）有界，函数f （x ）= 11sin x x 在10,2x ??∈ ???上是否有界？ 5．求证: 13++ 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷 一、解答题 1．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，O 为顶点，若OFAA S '=p ． 2．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C 点，若CFAA S '=p ． 3．已知实数x ，y 满足221x xy +=，求22x y +最小值． 二、填空题 4．已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1 ()()(2)2 f x f x f x ++=， 则在a ，b ，c ，d 中能确定的参数是 ． 5．若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则实数a = ． 6．展开式231011 ()x y x y + ++中，常数项为 ． 7．111 lim[]1425(3) n n n →+∞++?+=??+ ． 8．点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ． 9．方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 ． 10．设,[,]44x y ππ ∈-，若3 33cos()20 2 4sin cos 0 x x a y y y a π?++-=???++=?，则cos(2)x y += ． 11．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是 ． 12．在ABC ?中，1 cos 3 BAC ∠=，若O 为内心，且满足AO xAB y AC =+，则x y +的最大值为 ． 三、选择题 13．已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=，则( ) A ．m 和n 可能重合 B ．m 和n 不可能垂直 C ．存在直线m 上一点P ，以P 为中心旋转后与n 重合 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C ' 2018年上海交通大学自主招生考试 数学试题 一、填空题（每题5分，共50分） 1．已知方程2212x px p --=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ??? ，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????，则n= ． 4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图 523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ． 6．化简：() ()122222246812n n +-+-++-L = ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ． 8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ． 9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ． 10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ． 二、解答题（本大题共50分） 1．已知方程x 3+ax 2 +b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值． 2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 （l ）最大角是最小角的两倍？ （2）最大角是最小角的三倍？ 若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281 ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。 4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）． 5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，?， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数 r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）? 2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学 三校联合自主招生考试试题 （数学部分） 1．（仅文科做）02 απ<< ，求证：sin tan ααα<<．（25分） 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02 x π<< 时，()1cos 0f x x '=->．于是 ()f x 在02x π << 上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0 g x x x =->． (0)0g =，当02 x π<< 时，2 1()10 cos g x x '= ->．于是()g x 在02 x π<< 上单调增． ∴在02 x π<< 上有()(0)0g x g >=．即tan x x >． 注记：也可用三角函数线的方法求解． 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB 2 （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1 m ax AB O P PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使A B 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，A B 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2B R B A ≥．于是 22max AB R P R Q == 小升初自主招生考试数学试题 一、填空。（16分，每空1分） 1、南水北调中线一期工程通水后，北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水（横线上的数读作）。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米（横线上的数写作，省略亿位后面的尾数， 约是亿）， 2、 直线上A 点表示的数是（ ），B 点表示的数写成小数是（ ）， C 点表示的数写成分数是（ ）。 3、分数a 8 的分数单位是（ ），当a 等于（ ）时，它是最小的假分数。 4、如下图，把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度，他们之间的换算关系是：摄 氏度×5 9 ＋32＝华氏度。当5摄氏度时，华氏度的值是（）；当摄氏度的值是 （）时，华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课，如果步行需要15分钟，如果骑自行车则只需要9分钟，他骑自行车的速度和步行的速度比是（ ）。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是（ ），第n 个数是（ ）。 二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（16分、每题2分） 1、一根铁丝截成了两段，第一段长37米，第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较（ ） A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1，那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是（ ）。 A 、a ＜a 2＜a 1 B 、 a ＜a 1＜a 2 C 、a 1＜a ＜a 2 D 、a 2＜a ＜a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到， 从左面看到（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验，甲的成绩是85分，比乙的成绩低9分，比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是（ ）分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数，和是（ ）的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ） 历年自主招生试题分类汇编——平面几何 4．（2013年北约）如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DM 、DN 分别为∠ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较BM ＋CN 与MN 的大小关系，并说明理由． 解析 延长ND 至E ，使ND ＝ED ，连结BE 、ME ，则△BED ≌△CND ，△MED ≌△MND ，ME ＝MN ， 由BM ＋BE ＞EM ，得BM ＋CN ＞MN ． 题4（2012年北约）如果锐角ABC ?的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比。 解： 如图，过O 分别作,,BC CA AB 的垂线，垂足为,,D E F ,设 123,,OD d OE d OF d ===， OA OB OC R === 由平几知识得2BOC A ∠=，∴BOD A ∠=，1cos d R A = 同理：2cos d R B =，3cos d R C = ∴123::cos :cos :cos d d d A B C = 即O 到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。 评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生 的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。 题8（2012年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。 A C N A C N A A C O F D E 解： 如图，五边形ABCDE 为O 内接五边形， 延长,,,AE CD DC AB 有两交点,G H ，连接AC ， ∵AED EDC ∠=∠, ∴GED GDE ∠=∠ ∴GE GD = ∵,,,A C D E 在O 上 ∴CAG GDE ∠=∠,GCA GED ∠=∠ ∴CAG GCA ∠=∠ ∴GA GC = ∴AE CD = 连结AD ，同理可得AB CD =，从而AE AB CD ==， 同样，延长,,,BC ED BA DE ,可证得：BA BC DE == ∴AB BC CD DE EA ====，从而可知五边形ABCDE 为正五边形。 评析：本题是一道平面几何题，图形简单，背景公平，重点考查学生的推理论证和演绎能力，可贵的是有别于数学竞赛的平几题。 1. （2011年北约）已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长. 【答案】x =x .由22222(35)6,x +=+ 解得x =. 2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求. 2．（2010年北约）AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于 是 第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。 2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。 4．答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 22 1 -π … 4．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是 A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB 历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
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