苏教版数学中考总复习[中考总复习:全等三角形--知识点整理及重点题型梳理]

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苏教版中考数学总复习

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

中考总复习:全等三角形—知识讲解

【考纲要求】

1.掌握全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;

2.探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式;

3. 善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等,灵活选择适当的方法判定两个三

角形全等.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、基本概念

1.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性质

(1)全等三角形对应边相等;

(2)全等三角形对应角相等.

要点诠释:

全等三角形的周长、面积相等;对应的高线,中线,角平分线相等.

3.全等三角形的判定方法

(1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS);

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

考点二、灵活运用定理

三角形全等是证明线段相等,角相等的最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来.应用三角形全等的判别方法注意以下几点:

1. 条件充足时直接应用判定定理

要点诠释:在证明与线段或角相等的有关问题时,常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分,只要认真观察图形,结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.

2. 条件不足,会增加条件用判定定理

要点诠释:此类问题实际是指条件开放题,即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充三角形全等的条件.解这类问题的基本思路是:执果索因,逆向思维,即从求证入手,逐步分析,探索结论成立的条件,从而得出答案.

3. 条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线用判定定理

要点诠释:在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系,使条件由隐变显,从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.

常见的几种辅助线添加:

①遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”;

②遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形利用的思维模式是全等

变换中的“旋转”;

③遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中

的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理;

④过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻

转折叠”;

⑤截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使

之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目.

【典型例题】

类型一、全等三角形

1.如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE 上,CQ=AB.求证:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.

【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题.

【答案与解析】

证明:

(1)∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,

∴∠1+∠CAE=90°,∠2+∠CAE=90°.

∴∠1=∠2,

∵在△AQC和△PAB中,

∴△AQC≌△PAB.

∴ AP=AQ.

(2)∵ AP=AQ,∠QAC=∠P,

∵∠PAD+∠P=90°,

∴∠PAD+∠QAC=90°,即∠PAQ=90°.

∴AP⊥AQ.

【总结升华】在确定全等条件时,注意隐含条件的寻找.

举一反三:【全等三角形例8】

【变式】(2015?永州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB.(1)求证:∠ABC=∠EDC;

(2)求证:△ABC≌△EDC.

【答案与解析】(1)证明:在四边形ABCD中,∵∠BAD=∠BCD=90°,

∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°,

∴∠B+∠ADC=180°,

又∵∠CDE+∠ADC=180°,

∴∠ABC=∠CDE,

(2)连接AC,由(1)证得∠ABC=∠CDE,

在△ABC和△EDC中,

∴△ABC≌△EDC(SAS).

类型二、灵活运用定理

2.如图,已知AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF.

【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解.

【答案与解析】证明:延长ED至M,使DM=DE,连接 CM,MF,

在△BDE和△CDM中,

∴△BDE≌△CDM(SAS).

∴BE=CM.

又∵∠1=∠2,∠3=∠4 ,

∠1+∠2+∠3+∠4=180°,

∴∠3+∠2=90°,即∠EDF=90°,

∴∠FDM=∠EDF =90°.

在△EDF和△MDF中

∴△EDF≌△MDF(SAS),

∴EF=MF (全等三角形对应边相等),

∵在△CMF中,CF+CM>MF(三角形两边之和大于第三边),

∴BE+CF>EF.

【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中.

举一反三:

【变式】如图所示,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF. 求证:AC=BF.

【答案】

证明:延长AD到H,使得DH=AD,连结BH,

∵ D为BC中点,

∴ BD=DC,

在△ADC和△HDB中

∴△ADC≌△HDB(SAS),

∴ AC=BH, ∠H=∠HAC,

∵ EA=EF,

∴∠HAE=∠AFE,

又∵∠BFH=∠AFE,

∴ BH=BF,

∴ BF=AC.

3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,试判断AB-AD与CD-CB的大小关系,并证明你的结论.

【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系.

【答案与解析】AB-AD>CD-CB;

证明:在AB上取一点E,使得AE=AD,连结CE.

∵AC平分∠BAD,

∴∠1=∠2.

∵在△ACE和△ACD中,

∴△ACE≌△ACD.

∴CD=CE.

∵在△BCE中,BE>CE-CB,

即AB-AE>CE-CB,

∴AB-AD>CD-CB.

【总结升华】本题也可以延长AD到E,使得AE=AB,连结CE.涉及几条线段的大小关系时,用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法.

举一反三:

【变式】如图所示,已知△ABC中AB>AC,AD是∠BAC的平分线,M是AD上任意一点,求证:MB-MC<AB-AC.

【答案】

证明:∵AB>AC,在AB上截取AE=AC,连接ME.

在△MBE中,MB-ME<BE(三角形两边之差小于第三边).

在△AMC和△AME中,

∴△AMC≌△AME(SAS).

∴MC=ME(全等三角形的对应边相等).

又∵BE=AB-AE,

∴BE=AB-AC,

∴MB-MC<AB-AC.

4.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:AC=AE+CD.

【思路点拨】在AC上取AF=AE,连接OF,即可证得△AEO≌△AFO,得∠AOE=∠AOF;再证得∠COF=∠COD,则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC,可得DC=FC,即可得结论.

【答案与解析】在AC上取AF=AE,连接OF,

∵AD 平分∠BAC 、 ∴∠EAO=∠FAO ,

在△AEO 与△AFO 中,

∵AE AF EAO FAO AO AO =??=??=?

∠∠

类型三、综合运用

5 (2015?泰安)如图,△ABC 是直角三角形,且∠AB C=90°,四边形BCDE 是平行四边形,E 为AC 中点,BD 平分∠ABC ,点F 在AB 上,且BF=BC .

求证:(1)DF=AE ;(2)DF ⊥AC .

【思路点拨】(1)由等边三角形的性质可写出结论.

(2)要证明以上结论,需创造一些条件,首先可从△ABC 中分出一部分使得与△ACF 的面积相等,则过A 作AM ∥FC 交BC 于M ,连接DM 、EM ,就可创造出这样的条件,然后再证其它的面积也相等即可.

【答案与解析】

证明:(1)延长DE交AB于点G,连接AD.

∵四边形BCDE是平行四边形,

∴ED∥BC,ED=BC.

∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,

∴AG=BG,DG⊥AB.

∴AD=BD,

∴∠BAD=∠ABD.

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.

又BF=BC,

∴BF=DE.

∴在△AED与△DFB中,,

∴△AED≌△DFB(SAS),

∴AE=DF,即DF=AE;

(2)设AC与FD交于点O.

∵由(1)知,△AED≌△DFB,

∴∠AED=∠DFB,

∴∠DEO=∠DFG.

∵∠DFG+∠FDG=90°,

∴∠DEO+∠EDO=90°,

∴∠EOD=90°,即DF⊥AC.

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.

举一反三:【全等三角形例9】

【变式】如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连结CE交AD于点F,连结BD交CE于点G,连结BE. 下列结论中:① CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④ C D·AE=EF·CG;一定正确的结论有( ) .

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】D.

6.如图,已知△ABC.

(1)请你在BC 边上分别取两点D 、E(BC 的中点除外),连结AD 、AE ,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;

(2)请你根据使(1)成立的相应条件,证明AB+AC >AD+AE .

【思路点拨】考查了三角形面积的求法,全等三角形的判定以及三角形三边的关系.本题(2)中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键.

【答案与解析】

(1)令BD=CE ≠DE,有△ABD 和△ACE ,△ABE 和△ACD 面积相等.

(2)取DE 的中点O ,连结AO 并延长到F 点,使得FO=AO ,连结EF ,CF .

在△AD0和△FEO 中,又∠AOD=∠FOE ,DO=EO,

可证△ADO ≌△FEO .

所以AD=FE .

因为BD=CE ,DO=EO ,

所以BO=CO.

同理可证△ABD ≌△FCO ,

所以AB=FC. 延长AE 交CF 于G 点, A B

C D E

F G

在△ACG中,AC+CG>AE+EG,

在△EFG中,EG+FG>EF,

可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF,

即AC+CF>AE+EF,

所以AB+AC>AD+AE.

【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.

举一反三:

【变式】在△ABC中,,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时,求证:DE=AD+BE;

(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,求证:DE=AD-BE;

(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时,试问:DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.

【答案】

(1)证明:∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°,

∴∠DAC=∠BCE.

又AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,

∴△ADC≌△CEB.

∴CD=BE,AD=CE.

∴DE=CE+CD=AD+BE.

(2)证明:∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°,

∴∠DAC=∠BCE.

又AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,

∴△ADC≌△CEB.

∴CD=BE,AD=CE.

∴DE=AD-BE.

(3)证明:∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°,

∴∠DAC=∠BCE.

又AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,

∴△ADC≌△CEB.

∴CD=BE,AD=CE.

∴DE=BE-AD.

全等三角形知识点总结

全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; > (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等(即对应元素相等)

3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)。 (2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 (3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 , (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等, 因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找

中考专题复习全等三角形(含答案)

中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形: 1.全等图形:能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质:全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形:三角形是特殊的多边形,因此,全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样,如果两个三角形的边、角分别对应相等,那么这两个三角形全等。 说明:全等三角形对应边上的高,中线相等,对应角的平分线相等;全等三角形的周长,面积也都相等。 这里要注意:(1)周长相等的两个三角形,不一定全等;(2)面积相等的两个三角形,也不一定全等。 二、全等三角形的判定: 1.一般三角形全等的判定 (1)三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“”)。 (2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 (3)两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”). 注意:两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定: 性质定理:角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理:到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤: 1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、

全等三角形证明经典题(含答案)

全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,111749AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即 4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=2 2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 4. 5. 证明:连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC A D B C

过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGD EF =CG ∠CGD =∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD =∠1∠1=∠2 ∴∠CGD =∠2∴△AGC 为等腰三角形,AC =CG 又EF =CG ∴EF =AC 7. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠ C 证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠E =∠C ∵AC =AB+BD ∴AE =AB+BD ∵AE =AB+BE ∴BD =BE ∴∠BDE =∠E ∵∠ABC =∠E+∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∴∠ABC =2∠C 8. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB =∠CEF =90° ∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF ∴∠B =∠CFE ∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° ∴∠D =∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC =∠FAC ∵AC =AC ∴△ADC ≌△AFC (SAS ) ∴AD =AF ∴AE =AF +FE =AD +BE 9. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ,连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE (SAS ) ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS )∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C AB ‖ED ,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度, ∵∠EAB=∠BDE , B A C D F 2 1 E D C B A F E A

苏教版数学中考总复习[中考总复习:函数综合--知识点整理及重点题型梳理](基础)

苏教版中考数学总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习:函数综合—知识讲解(基础) 【考纲要求】 1.平面直角坐标系的有关知识 平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征,求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标,求线段的长度,几何图形的面积,求某些点的坐标等; 2.函数的有关概念 求函数自变量的取值范围,求函数值、函数的图象、函数的表示方法; 3.函数的图象和性质 常见的题目是确定图象的位置,利用函数的图象确定某些字母的取值,利用函数的性质解决某些问题.利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势,又能反过来判定函数图象的位置; 4.函数的解析式 求函数的解析式,求抛物线的顶点坐标、对称轴方程,利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值.一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题. 【知识网络】

【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1.相关概念 (1)平面直角坐标系 (2)象限 (3)点的坐标 2.各象限内点的坐标的符号特征 3.特殊位置点的坐标 (1)坐标轴上的点 (2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标 (3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标 (4)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标 4.距离 (1)平面上一点到x轴、y轴、原点的距离 (2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离(3)平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用 (1)利用坐标表示地理位置 (2)利用坐标表示平移 要点诠释:

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y ; (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x ; (3)点P(x,y)到原点的距离等于22y x +. 考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念 3.函数的自变量的取值范围 4.函数值 5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法) 6.函数图象 要点诠释: 由函数解析式画其图像的一般步骤: (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值; (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点; (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来. 考点三、一次函数 1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义 3.正比例函数与一次函数的性质 4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系 5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释: 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式kx y =(k ≠0)中的常数k ;确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式b kx y +=(k ≠0)中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法. 考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念 2.反比例函数的图象及性质 3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释: 反比例函数中反比例系数的几何意义,如下图,过反比例函数)0(≠= k x k y 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ,PN ,垂足为M 、N ,则所得的矩形PMON 的面积S=PM ?PN=xy x y =?. ,y x k = ∴||k S k xy ==,.

最新中考第一轮复习29全等三角形

中考第一轮复习29全等三角形

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 课时29 全等三角形 【考点链接】 1.全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的 判定除以上的方法还有________. 3. 全等三角形的性质:全等三角形_____ ______,____________. 4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 【典例精析】 例1 已知:在梯形ABCD 中,AB//CD ,E 是BC 的中点,直线AE 与DC 的延长线交于 点F. 求证:AB=CF. 例2 (06重庆)如图所示,A 、D 、F 、B 在同一直线上,AD=BF ,AE=BC , 且AE ∥BC .求证:(1)△AEF ≌△BCD ;(2)EF ∥CD . 【巩固练习】 1.如图1所示,若△OAD ≌△OBC ,且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=____. (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图2,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一 样的玻璃,那么最省事的办法是( ) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 3.如图,已知AE ∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE ≌△BCF,可添加的条件是________. B A E F C D

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4. 在⊿ABC 和⊿A /B /C /中,AB=A /B /,∠A=∠A /,若证⊿ABC ≌⊿A /B /C /还要从下列条 件中补选一个,错误的选法是( ) A. ∠B=∠B / B. ∠C=∠C / C. BC=B /C /, D. AC=A /C /, 【中考演练】 1.(08遵义)如图,OA OB =,OC OD =,50O ∠=,35D ∠=,则AEC ∠等于 ( ) A .60 B .50 C .45 D .30 2. ( 08双柏) 如图,点P 在AOB ∠的平分线上,AOP BOP △≌△,则需添加的一个 条件是 (只写一个即可,不添加辅助线): (第1题) (第2题) (第3题) 3. ( 08郴州) 如图,D 是AB 边上的中点,将ABC ?沿过D 的直线折叠,使点A 落在 BC 上F 处,若50B ∠=?,则BDF ∠= __________度. 4. (08荆州)如图,矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE =AD ,DF ⊥AE 于F ,连 结DE ,求证:DF =DC . 5. 如图,AB=AD ,BC=DC ,AC 与BD 交于点E ,由这些条件你能推出哪些结论? (不再添加辅助线,不再标注其它字母,不写推理过程,只要求写出四个你认为正确的结论即可) A B P O C B A C A O E A B D C D

八年级上数学_全等三角形典型例题(一)

全等三角形典型例题: 例1:把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D 在BC 上,连结BE ,AD ,AD 的延长线交BE 于点F .求 证:AF ⊥BE . 练习1:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC , AE 是过点A 的直线,BD ⊥AE ,CE ⊥AE , 如果CE=3,BD=7,请你求出DE 的长度。 例2: △DAC, △EBC 均是等边三角形,AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证:(1)AE=BD ; (2)CM=CN ; (3) △CMN 为等边三角形;(4)MN ∥BC 。 例3:(10分)已知,△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC ,过A 任作一直线l ,作BD ⊥l 于D ,CE ⊥l 于E ,观察三条线段BD ,CE ,DE 之间的数量关系. ⑴如图1,当l 经过BC 中点时,DE = (1分),此时BD CE (1分). ⑵如图2,当l 不与线段BC 相交时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 ,并证明你的结论.(3分) ⑶如图3,当l 与线段BC 相交,交点靠近B 点时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 . 证明你的结论(4分),并画图直接写出交点靠近C 点时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 .(1分) 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D

练习1:以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边,分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF,连结EF、EC。试说明:(1)EF=EC;(2)EB⊥CF B A F E 练习2: 如图(1)A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC若AB=CD,G是EF的中点吗?请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图(2)时,其余条件不变,上述结论还成立吗?为什么?

全等三角形知识点梳理.pdf

第十二章全等三角形 2018.9 杨1.全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.对应边相等。 2.全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.对应角相等。 证明三角形全等基本思路: 三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等,简写成边边边或SSS. 1.如图,AB=AD,CB=CD,求证:(1)△ABC≌△ADC;(2)∠B=∠D. 证明:(1)连接AC,在△ABC与△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SSS). (2)∵△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D. 2.已知在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC A D 做辅助线,连接AC,利用SSS证明全等,得到∠ DAC=∠ACB ,从而证明平行 B C 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A,B,D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ ABC=∠EBD=90°),连接AE,CD,试确定AE与CD的关系,并证明你的结论. 解:结论:AE=CD,AE⊥CD. 证明:延长AE交CD于F,在△ABE与△CBD中AB=CB, ∠ABE=∠CBD, BE=BD, , ∴△ABE≌△CBD(SAS),∴AE=CD,∠EAB=∠DCB, ∵∠DCB+∠CDB=90°,∴∠EAB+∠CDB=90°, ∴∠AFD=90°,∴AE⊥CD. F

2.在△ABC和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,AE与BD交与点 F (1)求证:△ACE≌△BCD (2)求证:AE⊥BD 1,利用SAS证明全等, AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2,全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等,简称角边 角或ASA. 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等,简称 角角边或AAS. 求证:三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等. 如图,AD为△ABC的中线,且CF⊥AD于点F,BE⊥AD,交AD的延长线于点E,求证:BE=CF. 证法1: ∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD, ∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED与△CFD中∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF. 证法2:∵S△ABD=1 2 AD·BE,S△ACD= 1 2 AD·CF, 且S△ABD=S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等), ∴1 2 AD·BE= 1 2 AD·CF,∴BE=CF. 三角形全等的判定(4) 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等,简称“斜边、直角边”或“HL”. 如图,E,F分别为线段AC上的两点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AE=CF,BD交AC于点M. 求证:BM=DM,ME=MF. 证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF∴AF=CE. 在Rt△ABF与Rt△CDE中AB=CD,AF=CE, ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L), ∴BF=DE.∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEM=∠BFM=90°. 在△BFM与△DEM中∠BFM=∠DEM,∠BMF=∠DME,BF=DE, ∴△BFM≌△DEM(A AS), ∴BM=DM,ME=MF. 角的平分线的性质 角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 文字命题的证明方法: a.明确命题中的已知和求证; b.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; c.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.

中考数学知识点训练题(全等三角形)

全等三角形 【复习要点】 1、全等三角形的概念:能够完全 的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边 ,对应角 , 全等三角形的对应中线 ,对应高 , 全等三角形的对应角平分线 。 全等三角形的面积 ,周长 。 (二)实例点拨 例1 (2010淮安) 已知:如图,点C 是线段AB 的中点,CE=CD ,∠ACD=∠BCE 。求证:AE=BD 。 解析:此题可先证三角形全等,由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下: 证明:∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC ∵∠ACD=∠BCE ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD 在△ACE 和△BCD 中, AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE ≌△BCD (SAS ) ∴AE=BD 反思:证明两边相等是常见证明题之一,一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等,或者若要证边在同一个三角形中,也常先证角相等,再用“等角对等边”来证明边相等。 例2 已知:AB=AC ,EB=EC ,AE 的延长线交BC 于D ,试证明:BD=CD E B C A D

解析:此题若直接证BD 、CD 所在的三角形全等,条件不够,所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD 、CD 所在的三角形全等。证明如下: 证明:在△ABE 和△ACE 中 AB=AC , EB=EC , AE=AE ∴ △ABE ≌△ACE (SSS) ∴∠BAE =∠CAE 在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∠BAE= ∠CAE AD=AD ∴ △ABD ≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD 反思:通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理,逐步找出解题的思路,再书写规范过程。 【实弹射击】 1、 如图,AB=AC ,AE=AD ,BD=CE ,求证:△AEB ≌ △ ADC 。 2、如图:AC 与BD 相交于O ,AC =BD ,AB =CD ,求证:∠C =∠B 3、如图,已知AB=CD ,AD=CB ,E 、F 分别是AB ,CD 的中点, 且DE=BF ,说出下列判断成立的理由 .①△ADE ≌△CBF ②∠A=∠C C A B D E 第1题图 O A C D B 第2题图 A D B C F E 第3题图

全等三角形练习题(很经典)

第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷(选择题 共30 分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列说法正确的是( ) A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示,a,b,c 分别表示△ABC 的三边长,则下面与△ABC 一定全等的三角形是( ) 3.如图所示,已知△ABE ≌△ACD ,∠1=∠2,∠B=∠C , 下列不正确的等式是( ) A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A .BC= B / C / B .∠A=∠A / C .AC=A /C / D .∠C=∠C / 5.如图所示,点B 、C 、E 在同一条直线上,△ABC 与△CDE 都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是( ) A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离,先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ,使CD=BC ,再作出BF 的垂线DE , 使A,C,E 在一条直线上(如图所示),可以说明 △EDC ≌△ABC ,得ED=AB ,因此测得ED 的长就是AB 的长,判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知:如图所示,AC=CD ,∠B=∠E=90°,AC ⊥CD ,则不 正确的结论是( ) A .∠A 与∠D 互为余角 B .∠A=∠2 C .△ABC ≌△CE D D .∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中,已知∠C=∠D ,∠B=∠E ,要判定 这两个三角形全等,还需要条件( ) 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷中考真题汇编[解析版]

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷中考真题汇编[解析版] 一、压轴题 1.对于实数x ,若231a x ≤+,则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数,例如:8的内数是5;7的内数是4. (1)1的内数是______,20的內数是______,6的內数是______; (2)若3是x 的內数,求x 的取值范围; (3)一动点从原点出发,以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进,经过t 秒后,动点经过的格点(横,纵坐标均为整数的点)中能围成的最大实心正方形的格点数(包括正方形边界与内部的格点)为n ,例如当1t =时,4n =,如图2①……;当4t =时, 9n =,如图2②,③;…… ①用n 表示t 的內数; ②当t 的內数为9时,符合条件的最大实心正方形有多少个,在这些实心正方形的格点中,直接写出离原点最远的格点的坐标.(若有多点并列最远,全部写出) 2.如图1所示,直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴,y 轴正半轴分别交于A 、B 两点. (1)当OA OB =时,求点A 坐标及直线L 的解析式. (2)在(1)的条件下,如图2所示,设Q 为AB 延长线上一点,作直线OQ ,过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ,BN OQ ⊥于N ,若17AM =,求BN 的长. (3)当m 取不同的值时,点B 在y 轴正半轴上运动,分别以OB 、AB 为边,点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ?和等腰直角ABE ?,连接EF 交y 轴于P 点,如图3.问:当点B 在y 轴正半轴上运动时,试猜想PB 的长是否为定值?若是,请求

出其值;若不是,说明理由. 3.如图,在△ABC中,AB=AC=18cm,BC=10cm,AD=2BD. (1)如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过2s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由; ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使 △BPD与△CQP全等? (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇? 4.阅读下列材料,并按要求解答. (模型建立)如图①,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E.求证:△BEC≌△CDA. (模型应用) 应用1:如图②,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AD=6,CD=8,BC=10,AB2=200.求线段BD的长. 应用2:如图③,在平面直角坐标系中,纸片△OPQ为等腰直角三角形,QO=QP,P(4,m),点Q始终在直线OP的上方. (1)折叠纸片,使得点P与点O重合,折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M,当m=2时,求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标; (2)若无论m取何值,点Q总在某条确定的直线上,请直接写出这条直线的解析 式. 5.在等腰△ABC与等腰△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点D、E、C三点在同一条直线上,连接BD.

(完整版)初中数学全等三角形的知识点梳理

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 (一)概念梳理 1.全等图形 定义:两个能够完全重合的图形称为全等图形,全等图形的形状和大小都相同.例如图1中的两个图形形状相同,但大小不同,不能重合在一起,因此不是全等图形,图2中的两个图形面积相同,但形状不同,也不是全等图形. 2.全等三角形 这是学好全等三角形的基础.根据全等形定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.完全重合有两层含义:(1)图形的形状相同;(2)图形的大小相等.符号“≌”也形象、直观地反映了这一点.“∽”表示图形形状相同,“=”表示图形大小相等. (二)性质与判定梳理 1.全等图形性质:全等多边形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形的对应边、对应角分别相等. 2.全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键.只给定一个条件或两个条件画三角形时,都不能保证所画出的三角形全等,只要有三个条件对应相等就可以,于是判定两个三角形全等的方法有: (1)三边对应相等的两个三角形全等,简记为:SSS ; (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为:ASA; (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为:AAS; (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为:SAS. 若是直角三角形,则还有斜边、直角边公理(HL)。由此可以看出,判断三角形全等,无论用哪一条件,都要有三个元素对应相等,且其中至少要有一对应边相等. (5)注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)去迅速准确地确定要补充的边(角),不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件.从而得到判定两个三角形全等的思路有: ?? ???→→SSS SAS 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 (6)学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是,先找出全等三角形的对应顶点,再确定对应角和对应边,如已知△ABC ≌EFD ,这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应,则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应,对应边所夹的角就是对应角,此外,还有如下规律:(1)全等三角形的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角;(2)全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边,两条对应边所夹的角是对应角. (三)基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形,全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的,所以全等三角形的基本图形大致有以下几种: 1.平移型 如图3,下面几种图形属于平移型: 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的,故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到. 2 .对称型 如图 4,下面几种图形属于对称型: 它们的特征是可沿某一直线对折,直线两旁的部分能完全重合(轴对称图形),重合的顶点就是全等三角形的对应顶点. 3.旋转型 如图5,下面几种图形属于旋转型: 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的,故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中. 三、易混、易错点剖析 1.探索两个三角形全等时,要注意两个特例 (1两个三角形不一定全等;如图6(1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6(1)

人教版八年级上全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图,等边△ABC 中,D 、E 分别是AB 、CA 上的动点,AD =CE ,试求∠DFB 的度数. 2、如下图所示,等边△ABC 中,D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点,AD =BE =CF ,试判 断△DEF 的形状. 3、如下图所示,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,且点B 、A 、D 在同一直线上,AC 、BE 相交于点G ,AE 、CD 相交于点F ,试说明△AGF 是等边三角形. Ex 、如图,四边形ABCD 与BEFG 都是正方形,AG 、CE 相交于点O ,AG 、BC 相交于点M ,BG 、CE 相交于点N ,请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由. 4、△ABC 是等腰直角三角形,AB =AC ,∠BAC =90°,∠B =∠C =45°,D 是底边BC 的中点,DE ⊥DF ,试说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A B A A

m 二.证明全等常用方法(截长法或补短法) 5、如图所示,在△ABC 中,∠ABC =2∠C ,∠BAC 的平分线交BC 于点D .请你试说明AB +BD =AC . Ex1,∠C +∠D =180°,∠1=∠2,∠3=∠4.试用截长法说明AD +BC =AB . Ex2、五边形ABCDE 中,AB =AE,∠BAC +∠DAE =∠CAD,∠ABC +∠AED =180°,连结AC ,AD .请你用补短法说明BC +DE =CD .(也可用截长法,自己考虑) 6、如图,正方形ABCD 中,E 是AB 上的点,F 是BC 上的点,且∠EDF =45°.请你试用 补短法说明AE +CF =EF . Ex1.、如图所示,在△ABC 中,边BC 在直线m 上,△ABC 外的四边形ACDE 和四边形ABFG 均为正方形,DN ⊥m 于N ,FM ⊥m 于M .请你说明BC =FM +DN 的理由.(分别用截长法和补短法) (连结GE ,你能说明S △ABC =S △AGE 吗?) B B C F C A B

中考数学总复习全部导学案

苏教版初中数学一轮复习资料(教师用) 目录 1、第1课时实数的有关概念....................................................................... (2) 2、第2课时实数的运算....................................................................... .. (4) 3、第3课时整式与分解因式....................................................................... (6) 4、第4课时分式与分式方程....................................................................... (8) 5、第5课时二次根式....................................................................... (10) 6、第6课时一元一次方程和二元一次方程 (组) (12) 7、第7课时一元二次方程....................................................................... (14) 8、第8课时方程的应用(一)...................................................................

(16) 9、第9课时方程的应用(二)................................................................... (18) 10、第10课时一元一次不等式(组) (20) 11、第11课时平面直角坐标系、函数及图 像 (22) 12、第12课时一次函数图像及性 质 (24) 13、第13课时一次函数应用....................................................................... (26) 14、第14课时反比例函数图像和性 质 (28) 15、第15课时二次函数图像和性 质 (30) 16、第16课时二次函数应用....................................................................... (32)

中考数学专项复习之全等三角形的相关模型总结

全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型: 辅助线:过点G 作GE ⊥射线AC (1)例题应用: ①如图1,在中ABC ?,,cm 4,6,900 ==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分,那么点D 到直线AB 的 距离是 cm. ②如图2,已知,21∠=∠,43∠=∠.BAC AP ∠平分求证:. 图1 图2 ①2 (提示:作DE ⊥AB 交AB 于点E ) ②21∠=∠ ,PN PM =∴,43∠=∠ ,PQ PN =∴,BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.

(2).模型巩固: 练习一:如图3,在四边形ABCD 中,BC>AB ,AD=CD ,BD 平分BAC ∠. .求证:?=∠+∠180C A 图3 练习二:已知如图4,四边形ABCD 中, ..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证: 图4 练习三:如图5,,,900 CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分,垂足为,中,交CD 于点E , 交CB 于点F. (1)求证:CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到' ' ' E D A ?的位置,使点' E 落在BC 边上,其他条件不变,如图6所示,是猜想:' BE 于CF 又怎样的数量关系?请证明你的结论.

图5 图6 练习四:如图7,90A AD BC =?,∠∥,P 是AB 的中点,PD 平分∠ADC . 求证:CP 平分∠DCB . 图7 练习五:如图8,AB >AC ,∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ,自D 作DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E ,F .求证:BE=CF . 图8 练习六:如图9所示,在△ABC 中,BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ,F 为垂足,DE ⊥AB 于E ,并且AB>AC 。求证:BE -AC=AE 。 A D E C B P 2 1 4 3

全等三角形经典题型题带标准答案

全等三角形经典题型题带答案

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全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥ AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE 12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E

人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题

B P A a 【变式1】如图,在t R ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=?,过点A 的任一直线AN ,BD AN ⊥于D ,BD AN ⊥于E 求证:DE BD CE =- N E D C B A 【变式2】如图,在ABC △中,90ACB ∠=?,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E , 求证:DE AD BE =+. E D C B A 专题 三角形的尺规作图 知识点解析 作三角形的三种类型: ① 已知两边及夹角作三角形: 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形: 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形: 作图依据------SSS 典型例题 【例1】作一条线段等于已知线段。 已知:如图,线段a . 求作:线段AB ,使AB = a . 【例2】作一个角等于已知角。 已知:如图,∠AOB 。 求作:∠A’O’B’,使A’O’B’=∠AOB

【例3】已知三边作三角形 已知:如图,线段a,b,c. 求作:△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a. 作法: 【例4】已知两边及夹角作三角形 已知:如图,线段m,n, ∠α. 求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n. 【例5】已知两角及夹边作三角形 已知:如图,∠α,∠β,线段c . 求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c. 随堂练习 1.根据已知条件作符合条件的三角形,在作图过程中主要依据是() A.用尺规作一条线段等于已知线段;B.用尺规作一个角等于已知角 C.用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角;D.不能确定 2.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形时,第一步骤应为() A.作一条线段等于已知线段B.作一个角等于已知角 C.作两条线段等于已知三角形的边,并使其夹角等于已知角 D.先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3.用尺规作一个直角三角形,使其两条直角边分别等于已知线段时,实际上就是已知的条件是()A.三角形的两条边和它们的夹角B.三角形的三条边 C.三角形的两个角和它们的夹边;D.三角形的三个角 4.已知三边作三角形时,用到所学知识是() A.作一个角等于已知角B.作一个角使它等于已知角的一半 C.在射线上取一线段等于已知线段D.作一条直线的平行线或垂线

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