完整分式讲义
分式考点精讲精练
1． 分式的概念： 形如
B
A
(A,B 是整式，且B 中含有字母)。要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。1、式子①
x 2 ②5y x + ③a -21 ④1
-πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2、分式
1
3-+x a
x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若3
1-≠a 时,分式的值为零 D. 若3
1
≠a 时,分式的值为零 3. 若分式
1
-x x
无意义,则x 的值是( )A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 4.如果分式
x 211
-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21 1>x 2． 分式的基本性质： 2．下列等式：① ()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c +; ④m n m --=-m n m -中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 3．不改变分式23 23523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332 523 x x x x ---+ 4．对于分式 1 1 -x ，永远成立的是（ ） A ． 1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2 ) 1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 3． 最简分式及分式的约分与通分： 2.约分：(1)432304ab b a ， (2)2 2112m m m -+- ， 3.把下列各式通分: (1) 2261,32ab a - ， (2)2 2)2(1,4+--x x x x . (3) 9452,232,3212-+-+x x x x ， (3)2 21 ,,b a b a b b a ---. 4． 分式的运算： 2．计算：23x x +-·22 694 x x x -+-．4．计算：23a a -+÷22469a a a -++． 5． 整数指数幂的运算： 1．若m,n 为正整数,则下列各式错误的是（ ） A ．n m n m a a a a -?=÷ B.n n n b a b a -=?? ? ?? C.() mn n m a a =-- D. n n am am 1= - 2.下列计算正确的是( ) A.()110 -=- B.15.0210 =?? ? ??- C. ()111-=-- D.()()23 5x x x -=-÷- 3.若2510 2=x ,则x -10等于( )A.51- B.51 C.50 1 D.6251 4.若31 =+-a a ,则22-+a a 等于( )A. 9 B. 1 C. 7 D. 11 9.已知:57,37==n m ,则=-n m 27 ________________. 10.已知:9 4 328273 21 = ?? ? ???? ? ? ??--x x , 则x=_____________ 13．（2013江西，17，6分）先化简，再求值：122442 22+-÷+-x x x x x x ，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值 （2013?巴中）先化简，然后a 在﹣1、1、2三个数中任选一 个合适的数代入求值． 分式方程及应用： 7.已知方程 5 3 1)1()(2-=-+x a a x 的解为51-=x ,则a =_________. 8.解下列分式方程: (1). 3115+=-x x ， (2) 1 6 37222-=-++x x x x x . 9.已知关于x 的方程3 23-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围. 10.当m 为何值时,解方程1 15122-=-++x m x x 会产生增根? 【例5】若分式方程 12 2-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 例1．若分式方程 x m x x -= --221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程1 1122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程 4 3 2212 -=++-x x k x 有增根，求k 的值。 3. （2013江苏扬州，16，3分）已知关于x 的方程1 23++x n x =2的解是负数，则n 的取值范围 为 ． 4.若方程 k x x +=+233有负数根,则k 的取值范围是__________. 例题1：（2011武汉）=+=-+-a 34 9332 无解，求x x ax x 36 （2013?新疆8分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？ （2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ （2013? 淄博）下列运算错误的是 （A ） 2 2 ()1()a b b a -=- （B ）1a b a b --=-+ （C ） 0.55100.20.323a b a b a b a b ++= -- （D ） a b b a a b b a --= ++ （2013? 淄博）如果分式21 22 x x -+的值为0，则x 的值是 （A ）1 （B ）0（C ）1- （D ）1± 18．（5分）(2014年山东淄博)计算： ? ． 7．化简222a 1a 1a a a 2a 1+-÷ --+的结果是【 】 (A)1 a (B)a (C) 1 1 a a +- (D) 1 1 a a -+ 14.计算 a a a a -++-11142的结果是 18． （本题满分6分） 解方程： 120.112x x x x -+=+- 分式 一、从分数到分式： （1）.分式定义：一般地，形如 A B 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。整式和分式称为有理式。注意：判断代数式是否是分式时不需要化简。 例：下列各式πa ，11x +，1 5x y +，22a b a b --，23x -，0?中，是分式的有___ ________；是整式的有 _____ ______；是有理式的有___ ______． 练习： 1.下列各式:①312-x ;②x x 22;③21x ;④πv .其中分式有 。 2.在代数式m 1,41,xy y x 22,y x +2,3 2a a +中，分式的个数是 。 （2）分式有意义的条件：分母不等于0. * 例：下列分式，当x 取何值时有意义． （1）21 32 x x ++； （2）2323x x +-． 练习： 1.当___________________时,分式 ) 2)(1(--x x x 有意义. 2.当____________________时,分式 2) 2(--x x x 无意义. 3.当m____________时，分式m m 412 7-+有意义. 4.下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是( ) A. 121+x B.15.01+x C.231x x - D.1 23 52 ++x x — 5.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231 x x + D ．2221x x + 7．使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 8.应用题:一项工程，甲队独做需a 天完成，乙队独做需b 天完成，问甲、乙两队合作，需________天完成. (3)分式的值为0：分子等于0，分母不等于0 例：1.当x=____________时,分式x x x -2的值为0， 第十七章 分式 §17.1 分式及其基本性质 一． 知识点： 1.分式的概念：形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件） 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 二．学习过程： 1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。（单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三．例题及习题： 教材中的题目。 典型例题 1.23m m 是一个分式么？ 答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基 本性质化简的，另外2 3m m 与3m 中的字母的取值也不同． 习题一 （1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252 -a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x 有意义，则.（ ） （A ）x ≠23- (B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23 - 或x ≠5 （3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ） （A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2 1 a a + （4）. 当x 是什么数时，分式25 2++x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0 所以，当x=-2时，分式的值是零 习题二 一、填空题 1.约简公式 = . 2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1 的值为正整数. 3.如果x+x 1=3，则1x x x 2 42 ++的值为 . 4.已知x=1+a 2,y=1-a 1 .用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表 示x ，得x= . 5．要使代数式3a 2a 3 a 2 ---的值为零，只须 . 6.已知s=) y s (q 1yq x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 . 7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 . 复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个 根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0 6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数z a bi =+←???→一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义： 分式复习 知识点复习 1. 分式的概念 （1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有未知字母，那么式子 A B 叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即 A B 中， B ≠ 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00 A B =??≠?时，A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。 A A M B B M ?=?, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分 （1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母; （3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 ①取各分母系数的最小公倍数。 ②凡出现的字母（或含字母的式子）因式都要取。 ③相同字母（或含字母的式子）的幂因式取指数最大的。 ④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示为： a a a b b b -==--；a a a a b b b b ---=-==-- 9. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 10. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即n a b ?? ??? = 11. 分式的加减 （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 a b c c ±= a c b d ±== 12. 分式的混合运算原则 （1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。 （2）同级运算，按运算顺序进行。 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a = ?=÷=?; 讲义 ———分式 姓名： 分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或 ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或 ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中 A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=． 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10= 2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（） A．+=1 B．+= C．+= D．+=1 【同步训练】 1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程 +=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8 2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有 非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 分式 1． 分式的概念： 形如B A (A,B 是整式，且B 中含有字母)。要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0， 即B ≠0。要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。 1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1 -πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2、分式1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31 ≠a 时,分式的值为零 3. 若分式 1 -x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 4.如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21 分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ． 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进 价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10= 2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾， 调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据 题意可列出方程为（） 八年级数学培优试题----分式1 1、学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224 x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444 x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222 x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的 2、下列四种说法（1）分式的分子、分母都乘以（或除以）2+a ，分式的值不变；（2）分式y -83的值可以等于零；（3）方程11 111-=++++x x x 的解是1-=x ；（4）12+x x 的最小值为零；其中正确的说法有（ ） A .1个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 3、关于x 的方程211 x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 4．若解分式方程x x x x m x x 11122+=++-+产生增根，则m 的值是（ ） B. D. 5． 已知,511b a b a +=+则b a a b +的值是（ ） A 、5 B 、7 C 、3 D 、 31 6．若x 取整数，则使分式1 -2x 36x +的值为整数的x 值有( )． (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 7. 已知x B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 8. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） 分式 一、从分数到分式： （1）.分式定义：一般地，形如 A B 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。整式和分式称为有理式。注意：判断代数式是否是分式时不需要化简。 例：下列各式πa ，11x +，15 x y +，22a b a b --，23x -，0?中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有___ ______． 练习： 1.下列各式:①312-x ;②x x 22;③21x ;④πv .其中分式有 。 2.在代数式m 1,41,xy y x 22,y x +2,3 2a a +中，分式的个数是 。 （2）分式有意义的条件：分母不等于0. 例：下列分式，当x 取何值时有意义． （1）2132 x x ++； （2）2323x x +-． 练习： 1.当___________________时,分式) 2)(1(--x x x 有意义. 2.当____________________时,分式 2 )2(--x x x 无意义. 3.当m____________时，分式m m 4127-+有意义. 4.下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是( ) A.121+x B.15.01+x C.2 31x x - D.12352++x x 5.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 7．使分式||1 x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 8.应用题:一项工程，甲队独做需a 天完成，乙队独做需b 天完成，问甲、乙两队合作，需________天完成. (3)分式的值为0：分子等于0，分母不等于0 例：1.当x=____________时,分式x x x -2的值为0， 2.当x _______时，分式2212 x x x -+-的值为零． 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义. 3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、教学目标： 1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根 3. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 4. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。 二、教学内容： 课前热身： 1、分解因式：（2a+b ）（2a －b ）+b （4a+2b ） 2、如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，D E⊥AC 于F ，交BC 于点G ，交AB 的延长 线于点E ，且AE ＝AC. （1）求证：AB=AF ； （2）若∠BAF=60° ，且FG=1，求BC 的长. 考点一、分式方程 1、定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程． 2、解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法 是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根． 【例题解析】 例1、指出下列方程中，分式方程有（ ） A B E G F D C ①21123x x -=5 ②223x x -=5 ③2x 2-5x=0 ④52 52 x x - +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、掌握分式方程的解法步骤 例2、解方程：（1）51 144 x x x --= -- 解： 51 144 x x x -+= -- 方程两边同乘以 ， 得 ． ∴ 检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解. （2） 22162 242 x x x x x -+-= +-- 解：方程两边同乘以 ，得 ， ∴ ． 检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。所以，原方程无解。. （验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。） 例3、（2007陕西）设23111 x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？ 例4.若关于x 的方程2 1x x x +--13x =33 x k x +-有增根，求增根和k 的值． 例5、如果 25452310 A B x x x x x -+=-+--，那么A 和B 的值各是多少？ 八年级上册《分式》知识点归纳与总结 主讲 王老师 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<0 0B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠） 三、分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。 3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母 相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 分式专题一：分式有无意义、X 取值范围 例1、当x 满足什么条件时，分式有意义？ （1）1 2+x x （2）1122+-x x （3）) 1)(2(1 2-+-x x x （4） x x -1 变式训练：当x 满足什么条件时，分式有意义？ （1） 521 -+x x （2） x x -+243 例1、已知x x 321 --，x 取哪些值时；（1）y 的值是0？（2）分式无意义；（3）y 的值是正数 变式训练：已知分式3 18 22+-x x ，（1）若分式有意义，求x 的取值范围； （2）当x 取什么值时，分式为0？ （3）若分式值为负数，求x 的取值范围 练习题 1、（1）当x 取何值时，分式21--x x 的值是非负数（2）当x 取何值时，分式m x m x -+的值是0？ 2、（1）已知分式9 18 62 -+-a a 的值是正整数，求a ； （2）等式) 1)(1()1(1+++=+b a b a a a 成立的条件。 3、已知x 为整数，且分式1 2 22-+x x 的值为整数，求x 的取值范围。 4、使代数式 1 2-x x 有意义的x 的取值范围是 5、已知x 为整数，且分式9 6 291222--+--x x x 的值为整数，求满足条件的x 的和为多少？ 6、当x 时，分式42-x x 有意义。当x= ____时，分式x x --112的值为零。 7、已知：分式9 18 62 ---a a 的值为正整数，则整数a 的值为__________。 8、m 取_________________整数值时，分式1 7 2-+m m 的值是正整数。 分式专题二：分式中的待定系数 例1、当2=x 时，分式m x k x +-的值为1，求k ，m 满足的条件 变式训练：分式2 2222)(n m an am n a m a n m ++?--的值等于5，求a 例2、已知3553=-+-m A m 那么A= 变式训练：1、已知) 1)(3(5 313+--=++-x x x x B X A ，求A 、B 的值 2、已知 2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ，求A 、B 的值 3、.若分式1 2323942 --+=---x B x A x x x （A ，B 为常数），请求出A ，B 的值 4、若2 22 22222222b a b ab a b a x b a ab b ++-++=+-，求x 的值 分式 本章小结 小结1 本章概述 本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根． 小结2 本章学习重难点 【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程. 【本章难点】应用分式方程解决实际问题． 小结3 中考透视 本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主． 知识网络结构图 分式的概念 分式的意义、无意义的条件 0的条件 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则 分式的除法规则 分式 同分母分式的加减法法则 分式的运算 分式的加减法法则 异分母分式的加减法法则 运算性质 负正数指数幂 科学记数法 公式方程的概念 解分式方程的步骤 分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解 列分式方程应用题的步骤 专题总结及应用 一、识性专题 专题1 分式基本性质的应用 【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题. 例1 化简 (1) 2 610xy x ; (2) 21 xy y x --； 解：(1)2 6233.10255xy x y y x x x x == 希望教育2019 年中考数学一轮复习讲义 分式方程及其应用讲义 【基础知识精讲】 1、分式方程概念 ②分母中含 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征是①是方程；有 未知数．在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程． 2、解分式方程的基本思路——转化 “去分解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程．这种转化的具体做法是 母”，即方程两边同乘最简公分母，归纳如下： 如：解方程： 方程两边都乘以(x＋ 3)(2x－ 7)得 2(2x－ 7)=3(x＋ 3) 4x－ 14=3x＋9 x=23 3、分式方程的解法 （1）去分母：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，确定原方程的解．即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若 结果不是零，说明此根是原方程的根；若结果是零，说明此根是原方程的增根，必须舍去．验根的方法有两种，一是代入到所乘的最简公分母中，看公分母的值是否为零 .若不为零，是原方程的根 .若为零，不是原方程的根，叫原方程的增根 .二是分别代入到原方程的左 边和右边，若左边与右边的值相等，则是原方程的根，若左右不等或一边分母为零，则不是 原方程的根 . （4）写出方程的解． 解分式方程的一般步骤列表如下： 4、分式方程的增根及产生增根的原因 将适合所化的整式方程，但不适合原分式方程的根叫做分式方程的增根． 在解分式方程时，必须将其化为整式方程，这样就要在分式方程的两边同乘以恰当的整式，当这个整式的值为0时，就产生了增根．所以同乘以最简公分母时扩大了未知数的范围， 因而可能产生增根．因而需要检验． 5、列分式方程解应用题的步骤 （1）审清题意，找出题目的等量关系；（2）设出未知数，表示其它未知量； （3）根据等量关系，列出分式方程．（4）解分式方程，并验根（这是解分式方程必不 可少的步骤）． （5）写出符合题意的答案． 典型例题 例 1、解方程：。 分析：本题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将 分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。 解：将原方程变形： 去分母： 检验： 注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。 练习 一；填空题 1．当x ______时，1 x 的值等于 1 ． 5 x 2 2．当x ______时， 4 2x 的值与 x 5 的值相等． 4 x x 4 3．若 1 与 1 互为相反数，则可得方程 ___________,解得x _________. x 1 x 1 4．若方程2x a 1 的解是最小的正整数，则 a 的值为________. x 2 5.分式方程21 的解是_________ 3x x 1 x a 3 无解，则 a ． 6. 若关于x的分式方程 1 1 x x 二、选择题 7．下列方程中是分式方程的是（） 分式的概念、运算及分式方程 一、知识框架 ： 二、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad c b b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为： a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ??? 8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ???（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 复习—— 分式 一．选择题 1．在代数式2215323,,6,,,25235 a b a bc x x y a y +++中，为分式的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2．使得分式11 y x +-的值为0的条件是（ ） （A ）1y =- （B ）1x ≠ （C ）1y =-且1x ≠ （D ）以上答案都不对 3．若分式 z y x 2-中（0≠z ），z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值是原来的（ ） （A ）2倍 （B ）4倍 （C ）21倍 （D ）1倍 4．下列等式成立的是（ ） （A ）23－）（－ ＝－9． （B ） 23－）（－ ＝9 1 ． （C ） （a 12）2 ＝a 14． （Ｄ）0.0000000618＝6.18×10－7． 5．列各式从左到右的变形正确的是（ ） A ．122122 x y x y x y x y --=++ B ．0.220.22a b a b a b a b ++=++ C ．11x x x y x y +--=-- D ．a b a b a b a b +-=-+ 6．化简2 293m m m --的结果是（ ） A. 3+m m B. 3+-m m C. 3-m m D. m m -3 7．某厂去年的产值是m 万元，今年的产值是n 万元（m ＜n ）,则今年的产值比去年的产值增加的百分比是( ) （A ）n n m - ×100％． （B ）m m n - ×100％． （C ） （m n ＋1）×100％． （Ｄ）m m n 10- ×100％． 8．已知2111=-b a ，则b a a b -的值是（ ） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－2 9．若02 (3)2(36)x x ----有意义，那么x 的取值范围是（ ） 八年级数学分式及其运算讲义 ? 课前预习 1. 小学阶段学习分数，主要从概念、运算两方面学习，请回顾相关知识，回答 下列问题： （1）请举出几个分数的例子． （2）分数有哪些性质？ （3）运用分数的性质计算： 24________35 ?=； 54________815 ?=； 24________35 ÷=； 54________33 +=； 11________23+=； 24________35 -=． ?知识点睛 1.分式的定义：分母中含有字母的式子叫做分式． 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ____________________，分式的值不变． 3.分式的符号： y y y x x x - -== - （符号调整时_________________ ____________________）． 4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 ________________．对分式进行约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者 __________． 5.分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．6.分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母__________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减． ?精讲精练 1.下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1 π ；②2x x ；③(3)(1) x x +÷-；④2 10xy-；⑤ 24 2 x x - - ； ⑥ 10 9x y +． 2.当x取何值时，下列分式有意义？八年级数学-分式讲义
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