一种改进的判断点在多边形内外的算法

计算机工程第38卷第12期

2012年6月

索引算法，在判断点在凸多边形内的时间复杂度为(1)O ，但是对于任意简单多边形来讲，梯形化是最快的方法，其时间复杂度为(log )O n 。基于二维空间二分查找树(BSP 树)进行点在多边形内判断就是梯形化思想的一种实际应用。

经典的基于BSP 树的算法思想如下：首先将任意简单多边形进行水平分解，形成一组水平扫描线，并使用BSP 树对这些线进行管理；其次，每两条水平扫描线形成一个条带区域，在每个条带的内部，依据经过多边形的边，构成一棵与多边形边相关的BSP 树。

当进行点在多边形内查询时，首先使用条带BSP 树查找定位点所在的条带；其次，使用边BSP 树确定最终点所在的区域，进而判断出点是否在多边形内部。使用上述算法构造BSP 的树，进行查找的时间复杂度为(log )~()O n O n 。本文研究发现造成最差时间复杂度()O n 的原因是当BSP 树的每个结点同时仅有左子树或者仅有右子树时，整个树就退化成为环非自交，如图1。取任意多边形外环的方向为逆时针方向，内环的方向为顺时针方向。

图1 任意简单多边形基金项目：国家高技术研究发展计划(863)(2006AA06Z114)；国家科技支撑计划(2006BAB01A01)；中央国家机关基本业务费基金项目作者简介：李楠(1980－)，男，工程师、博士，主研方向：地图制图学与地理信息工程；肖克炎，二级研究员、博士、博士生导师收稿日期：2011-0-0 E-mail ：Superln1980@https://www.360docs.net/doc/404719118.html,

网络出版时间：2012-04-27 16:10

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2 计算机工程 2012年6月20日定义1-2 二维空间分区二叉树

Fuchs,Kedem 和Naylor [15]首先提出利用二叉树对空间进行分区的方法，这种方法在许多的应用中都非常有效。

考虑平面上一条直线方程0nX c

，显然，这条直线将整个平面分为两个半平面。向量n 所指向的直线的一侧叫做这条直线的正侧；而另一侧叫做直线的负侧。同时，每一个半平面都可以使用平面上的另一条直线来进行分区。得到的正的和负的区域又可以进一步分区。用二叉树来表示得到的分区结果，如图2(a)，二叉树的每一个节点都表示一条分区直线。一个节点的左子树表示该节点所表示的分区直线的正侧；右子树表示该节点所表示的分区直线的负侧。二叉树的叶子节点表示分区得到的凸区域。如图2(b)显示了表示的方法。其中P 代表分区直线，C 代表凸区域。

T L 和T R 分别是其左子树和右子树，那么当T 满足以下条件时，T 是一棵平衡树：

①T L 和T R 是平衡树；

②1L R h h ,其中h L 和h R 分别是左子树和右子树的高度；

2.2 算法流程

构建多边形的空间分区二叉树的方法是，建立一系列节点，使得每一个节点都表示一条包含多边形的分区直线[1]。分区直线将多边形的其他边分解到不同的节点上。即，位于一条直线的左(正)侧的任何子边都被送往左(正)子树。针对每一个符合条件的节点，重复这种处理。位于一条直线右(负)侧的任何子边都被送往右(负)子树，也重复这种处理。多边形的另一条边也可能完全位于分区直线上，这种边被成为一致边，也存放在表示分区直线的节点上。在这种构建中，至少有一条多边形的边包含于分区直线中。

2.3 算法涉及的数据结构

算法所需的数据结构主要包括：扫描带BSP 树及其对应的一组梯形BSP 树。

struct BSPPOINT //坐标点数据结果 {

double x,y; };

struct BSPEDGE {

//结点边类型默认方向为由pt1到pt2 BSPPOINT pt1,pt2; };

struct CBSPTreeNode //BSP 树结点 {

BSPNODEREGIONID} ; //区结点

变量m_enumChildNodeType 为枚举类型，表示结点是父结点的哪个孩子。

Enum ENUMBSPCHLIDTYPE

{ BSPCHILDNODENULL, //初始值 BSPLEFTCHILD, //左孩子 BSPRIGHTCHILD} ; //右孩子

2.4 水平条带BSP 树的构建及其算法改进

设存在多边形P ，如图3，多边形各个顶点的排列方向为逆时针。假设边k s 包含端点(0x ,0y )和(1x ,1y )，则存在分量0.k s x ，0.k s y ，1.k s x 和1.k s y 指定。在处理第一条边1s 时，其

y 值1.s y 要求当前的扫描带被分为两个带，每一个条带包含

一个表示一个半平面的梯形(如图4(a))。值11.s y 导致另一个扫描带被分解，每一个都包含一个梯形(如图4(b))。当划分完扫描带以后，将边1s 插入，也就是说插入到二叉查找树中。

第38卷第12期 3 李楠，肖克炎：一种改进的判断点在多边形内外的算法这将导致中间的梯形被分为两个梯形(如图4(c))。

图5 边2s 插入结果

对于余下的各条边，可以使用相同的方法来处理。最后

4 计算机工程 2012年6月20日

3 改进算法的实现

算法改进的核心思想是在构建扫描条带树之前，对所有顶点的Y 值进行排序。同时，按照折半遍历的顺序构建条带BSP 树，最终得到一棵平衡的二维空间二分查找树。 3.1 二维空间分区查找树水平剖分算法实现

算法1(水平分解任意简单多边形) 函数名称：HorizonDecompose 输入：任意简单多边形P 输出：扫描带二叉查找树S Step 1 构造多边形P 的外包围盒； Step 2 对多边形P 上的端点排序； Step 3 将水平扫描线按照折半的顺序分割外包围盒，生成S ；

Step 4 遍历多边形P 上的边

e ，将e 分别插入到其所在进行点在多边形内查询的过程中，当待测点的Y 值正好等于某一条扫描带的Y 值时，需要进行单独的讨论。

图10 点p 在扫描线上为了解决这种问题，本文算法将点p 分别向上和向下移动一个p ?，对两次移动的结果分别进行点在多边形内查询。如果两次判断的结果同时为内(外)，则点在多边形内(外)。如

果一次在内，一次在外，则只能使用其他方法进行判断。如图10所示点p 的情况。

4 算法复杂度分析

本文算法中BSP 树构建和查找两个步骤的时间复杂度都不能省略。具体分析如下：

在构造BSP 树的过程中主要包含三个步骤，即扫描线排序，构建扫描带BSP 树和构建扫描带对应的BSP 树。扫描线排序的同时还需要进行去除重复点的计算，因此使用AVL 树结结构，其建树的过程就是排序的过程，因此其时间复杂度为()O n 。经典算法[1]中BSP 树构造的时间复杂度为

(log )O n n ，创建条带对应的BSP 树的时间复杂度为(log )O n m ，其中m 表示每一条带内平均包含的边的个数。一

般m n ，因此在最坏情况下，使用平行剖分法进行点在多边图11 使用的测试多边形

测试多边形，如图11所示，为单调多边形。设该多边形的顶点排列顺序为逆时针，由经过B 点的水平扫描线开始分割多边形的外包围盒。则使用改进前后的算法创建二叉树的形态见图12和13所示。

图12 经典算法建树结果

第38卷第12期 5

李楠，肖克炎：一种改进的判断点在多边形内外的算法

图13 改进算法建树结果

1995;19(4):595–600.

[5] Feito F, Torres JC. Inclusion test for general polyhedra[J].

Computers& Graphics 1997;21(1):23–30.

[6] Preparata FP, Shamos MI. Computational geometry: an

introduction[M]. New York: Springer; 1985.

[7] Taylor G. Point in polygon test[J]. Survey Review 1994, 32:

479–84.

[8] Rueda AJ, Feito FR, Rivero M. A triangle-based representation

forpolygons

and its applications[J]. Computers &

Graphics2002;26(5):805–14.

[9] Wang W, Li J, Wu E. 2D point-in-polygon test by classifying

edgesinto layers[J]. Computers & Graphics 2005;29(3):427–39. [10] Huang CW, Shih TY. On the complexity of point-in-

polygonalgorithms[J]. Computers

Geosciences

point-in-polygon

Computers & M, Schwarzkpf

and applications. 2nd trapezoidation by

Graphics

on dynamic

Theory and On visible surface

of SIGGRAPH, 数据结构、算法与应用

[J].

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