上海市嘉定、黄浦区2012届高三4月第二次模拟考试--数学(文)

图1

A

B

D

C

上海市嘉定、黄浦区 2012届高三4月第二次模拟考试

数学试题（文科）

一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填

写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数12

()log (21)f x x =+的定义域是 ．

2．椭圆：2

212

x y +=的焦距是 ． 3．已知全集U R =，集合1|

0,1x A x x R x -??

=>∈??+??

，则U C A = ． 4．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1

(,9)3

，则幂函数

()f x = ．

5．若函数22()(21)1f x x m x m =-+-+-在区间(,1]-∞上是增函数，则实数m 的取值范围

是 ．

6．已知数列{}n a *

()n N ∈是公差为2的等差数列，则lim

21

n

n a n →∞-= ．

7．已知点(1,0)A -在圆C ：22(1)(1)5x y -++=上，过点A 作圆C 的切线l ，则切线l 的方程

是 ．

8．已知z C ∈，且z 为z 的共轭复数，若1

01100

z z iz =（i 是虚数单位），则z = ．

9．已知D 是ABC ?的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，

,AB a AC b ==

，如图1所示．若用a b 、

表示AD ， 则AD

= ．

10．

20

的二项展开式的常数项是 ． 11．已知(0,)2

παβ∈、，54

cos(),sin()135

α+β=α-β=-，则cos 2α= ．

1

图2 12．已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，点

C 是圆柱 下底面弧AB 的中点，点1C 是圆柱上底面弧11A B 的 中点，如图2所示，则异面直线1AC 与BC 所成的角

的正切值= ．

13．某高级中学举行高二英语演讲比赛，共有9人参加决

赛（其中高二（2）班2人，其他班级有7人），比赛 的出场顺序按抽签方式产生，则比赛出场顺序是“高

二（2

）班2人比赛序号不相连”的概率是

．（结果用最简分数表示） 14||x =的不同实数根的个数是 ．

二、选择题（本大题满分20分） 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知空间三条直线a b m 、、及平面α，且a 、b ≠?α．

条件甲：,m a m b ⊥⊥；条件乙：m ⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件．

16．若实数x y 、满足约束条件0,

0,2240,360;

x y x y x y ≥??≥?

?+-≤??-++≥?则目标函数23z x y =-的最小值是…（ ）

A ．6．

B ．0．

C ．72-．

D ．24-．

17．现给出如下命题：

（1）若某音叉发出的声波可用函数0.002sin800()y t t R +=π∈描述，其中t 的单位是秒，则该声波的频率是400赫兹；

（2）在ABC ?中，若222

c a b ab =++，则3

C π∠=

；

（3

）从一个总体中随机抽取一个样本容量为10的样本：11，10，12，10，9，8，9，11，12，8 则其中正确命题的序号是………………………………………………………………（ ）

A ．（1）、（2）

B ．（1）、（3）

C ．（2）、（3）

D ．（1）、（2）、（3）．

18．已知ABC ?的三边分别是a b c 、、，且*

()a b c a b c N ≤≤∈、、，当*

()b n n N =∈时，记满

足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =………………（ ） A ．21n -．

B ．

(1)

2

n n +． C ．21n +． D ．n ．

三、解答题（本大题满分74分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区

域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图3所示的几何体，是由棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -截去一个角后所得的几何体． （1）试画出该几何体的三视图；（主视图投影面平行平面11DCC D ，主视方向如图所示。请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内）

（2）若截面MNH ?是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V ．

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知函数()cos cos21()f x x x x x R =?+-∈． （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若5[,]123

x ππ

∈-

，求()f x 的取值范围． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以

投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）．若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用*()n a n N ∈表示A 型车床在第n 年创造的价值．

（1）求数列{}n a *

()n N ∈的通项公式n a ；

（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n

n S T n

=

．企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床．试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？（已知：若正数数列{}n b 是单调递减数列，则数列12n b b b n +++??

????

也是单调递减数列）

．

图3 C A 1 主视方向

22．（本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满

分最多8分．

已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且对x R ∈，恒有(1)(1)f x f x +=-．又当

[0,1]x ∈时，()f x x =．

（1）当[1,0]x ∈-时，求()f x 的解析式；

（2）求证：函数()()y f x x R =∈是以2T =为周期的周期函数；

（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可（无需写解题步骤）．注意：考生若选择多于一个问题解答，则按分数最低一个问题的解答正确与否给分． ① 当[21,2]()x n n n Z ∈-∈时，求()f x 的解析式．（4分）

② 当[21,21]x n n ∈-+（其中n 是给定的正整数）时，若函数()y f x =的图像与函数y kx =的图像有且仅有两个公共点，求实数k 的取值范围．（6分）

③ 当[0,2]x n ∈（n 是给定的正整数且3n ≥）时，求()f x 的解析式．（8分）

23．（本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满

分6分．

已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足

为点Q ，且()FQ PF PQ ⊥+

．

（1）求动点P 所在曲线C 的方程；

（2）直线1l 过点F 与曲线C 交于A B 、两个不同点，求证：

11

||||AF BF +=12

； （3）记OA 与OB

的夹角为θ（O 为坐标原点，A B 、为（2）中的两点），求cos θ的最小值．

参考答案

说明：

1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进

行评分。

2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考

生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 一．填空题

1．1(,)2

-+ ； 2．2； 3．[1,1]- ；

4．12

()(0)f x x

x -=>； 5．3[,)2

+ ； 6．1；

7．220x y -+=； 8．0z z i ==-或； 9．2133

AD a b =+uuu r r r

；

10．812

2020()C C ； 11．

63

65

； 12 13．

7

9

； 14．4 二、选择题： 15．A 16．C 17．B 18．B 三、解答题 19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

解（1）

（每画对一个图形得2分） 6分

（2）设原正方体中由顶点1B 出发的三条棱的棱长分别为111,,B M x B N y B H z ===． 结合题意，可知，

2222

22444x y y z x z ?+=?+=??+=?

，解得x y z ===．因此，所求几何体的体积

133MNH 11232B V V V -=-=-??

正方体8= 6分

20．（本题满分12分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

解（1

）∵()cos cos21f x x x x =?-，

∴()2sin(2)16

f x x p

=+

-． 2分 解222,262k x k k Z p p p p p -?? ，得,36

k x k k Z p p p p -＃+ ． ∴函数()y f x =的单调增区间是[,],36

k k k Z p p

p p -+ ． 6分 （2）∵5[

,]123

x p p ?, ∴252366

x p p p -? ． ７分 考察函数sin y x =，易知，1sin(2)16

x p

-? ． ８分 ∴ 32sin(2)116

x p

-?- ． ∴函数()f x 的取值范围是[3,1]-． 12分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

解（1）依据题意，知126,,,a a a L 构成首项为1250a =，公差30d =-的等差数列． 故*28030(,6)n a n n N n =-危（万元）

． 3分

*78,,,(7,)n a a a n n

N 澄L 构成首项为761502a a =

=，公比1

2

q =的等比数列． 因此，7

*1

50()(7,)2

n n a n

n N -=壮

（万元）． 6分

于是，*

7

28030(16),()150()(7);2n n n n a n N n -ì-＃???= í?壮???

（万元）． ７分 （2）由（1）知，{}n a 是单调递减数列，于是，数列{}n T 也是单调递减数列． ∵166()610502a a S + =

=（万元），661751006

S

T ==>（万元），

∴当7n 3时，12671

()n n n S T a a a a a n n

=

=++++++L L 61

50(1())

12(1050)112

n n --=+-

6

100

11502n n

--=

（万元）． 9分 当11n =时，11104T >（万元）；当12n =时，1296T <（万元）． 13分 ∴当*12,n n

N 澄时，恒有96n T <．

∴该企业需要在第11年年初更换A 型车床． 14分 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题最多

8分．

解（1）∵()y f x =是R 上的偶函数，且[0,1]x ?时，()f x x =， 又当[1,0]x ?时，[0,1]x - ，有()f x x -=-． ∴()(10)f x x x

=--＃． 5分

（2）证明∵对于x R ?，恒有(1)(1)f x f x +=-，

∴(2)(1(1))(1(1))f x f x f x +=++=-+，即(2)()f x f x +=-． 7分 又∵()y f x =是偶函数，

∴(2)()f x f x +=，即()y f x =是周期函数，且2T =就是它的一个周期． 10分 （3） 依据选择解答的问题评分

①()2([21,2])f x n x x n n =-?． 14分

②1

021

k n <

+ ． 16分 ③([0,1)),2([1,2)),2([2,3)),

()(22)([2 2.21)),2([21,2]).

x x x x x x f x x n x n n n x x n n ì?????- ???- ??=í

????--?-????-???M 18分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分

6分．

证明（1）设动点(,)P x y ． 1分

依据题意，可得(2,),(4,),(2,),(2,0)Q y FQ y PF x y PQ x -=-=--=--u u u r u u u r u u u r

． 3分 又()FQ PF PQ ^+u u u r u u u r u u u r ，

于是，()0FQ PF PQ ?=u u u r u u u r u u u r

，即28(0)y x x = ． 6分

因此，所求动点P 的轨迹方程为2:8(0)C y x x = ． 证明（2）∵直线1l 过F 点且与曲线C 交于不同的A B 、两点，

∴1l 的斜率不为零，故设1:2l x my =+． ７分

联立方程组28,2;

y x x my ì?=?í?=+??得28160y my --=． ８分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212816y y m y y ì+=??í?=-??，进一步得2121284,4.

x x m x x ì?+=+?í?=?? 10分

又∵曲线2:8(0)C y x x = 的准线为：2x =-， ∴左边＝

121111

||||22

FA FB x x +=+

++ 12

121242()4

x x x x x x ++=+++

1

2

=

＝右边． 12分 ∴

111||||2

FA FB +=．证毕！ （3）由（2）可知，1122(,),(,)OA x y OB x y ==uu r uu u r

．

∴cos ||||OA OB

OA OB q ×==×uu r uu u r

uu r uu u r

=

3

5

=

?

（当且仅当0m =时，等号成立）． 16分 ∴min 3

(cos )q =-． 18分