六年级数学比例1

第一单元比例

比例的意义和基本性质

教学内容：教材1－2页，练习一中的第1－3题。

素质教育目标

（一）知识教学点

1.使学生理解掌握比例的意义和基本性质。

2.认识比例的各部分的名称。

（二）能力训练点

1.使学生学会应用比例的意义和基本性质判断两个比能否组成比例，并能正确组成比例。

2.培养学生的观察能力、判断能力。

（三）德育渗透点

对学生进一步渗透辩证唯物主义观点的启蒙教育。

教学重点：比例的意义和基本性质。

教学难点：应用比例的意义或基本性质判断两个比能否组成比例，并能正确地组成比例。

教具学具准备：小黑板、投影片、投影仪。

教学步骤

一、铺垫孕伏

教师出示复习题，回忆有关比的知识。

1.什么叫做比？

2.什么叫做比值？

3.求下面各比的比值：

4.上面哪些比的比值相等？

学生回答后，师说：4.5∶2.7和10∶6这两个比的比值相等，也就是说这两个比是相等的，因此它们可以用等号连接。（板书：4.5∶2.7=10∶6）

二、探究新知

1.比例的意义。

出示例1：一辆汽车第一次2小时行驶80千米，第二次5小时行驶200千米。列表如下：

从上表中可以看到，这辆汽车，

第一次所行驶的路程和时间的比是______；

第二次所行驶的路程和时间的比是______。

这两个比的比值各是多少？它们有什么关系？

（1）教师引导学生对上面的问题一一解答。使学生清楚地看到这两个比的比值都是40，所以这两个比相等。因此就可以写成这样的等式

（2）由教师告诉学生：象4.5∶2.7＝10∶6、80∶2＝200∶5这样的等式，都是表示两个比相等的式子，我们把它叫做比例。（板书课题：比例的意义）

师问：什么叫做比例：组成比例的关键是什么？

生答：表示两个比相等的式子叫做比例。（板书）

引导学生议论、交流后板书：表示两个比相等的式子叫做比例。（在“两个比相等”下边划“”。）

(3)做一做

下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。

①6∶10和9∶15

②20∶5和1∶4

第①题由教师引导学生完成，思路如下：

所以：6∶10=9∶15

其余各题分组讨论后由学生独立完成。

（4）填空

①如果两个比的比值相等，那么这两个比就（）比例。

②一个比例，等号左边的比和等号右边的比一定是（）的。

2.比例的基本性质。

（1）师以80∶2＝200∶5为例说明：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。（边叙述边板书如下）

（2）让学生看下面这些比例，说出它的外项和内项是多少？

4.5∶2.7=10∶6

6∶10=9∶15

（3）让学生计算上面每一个比例中的外项积和内项积，并讨论它们存在什么关系？

以80∶2=200∶5为例，指名来说明。（师边板书如下）

外项积是：80×5=400

内项积是：2×200=400

80×5＝2×200

（4）由学生自己任选两三个比例，计算出它的外项积和内项积。从两个乘积的关系使学生进一步认识到，在每个比例里，两个外项的积都等于两个内项的积。

（5）由教师明确：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。（板书）

（板书课题：加上“和基本性质”，使课题完整。）

（6）想一想：如果把比例写成分数形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积有什么关系？为什么？

指名回答后，师板书：

（7）做一做

应用比例的基本性质，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例。

6∶3和8∶5 0.2∶2.5和4∶50

3.阅读课本第9、10页的内容并填空。

三、巩固发展

1.说一说比和比例有什么区别。

讨论后指名说明：

比是表示两个数相除的关系，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等的关系，有四个项。

2.在6∶5＝30∶25这个比例中，外项是（）和（），内项是（）和

（）。根据比例的基本性质可以写成（）×（）＝（）×（）。

3.先应用比例的意义，再应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个

比可以组成比例。

（1）6∶9和9∶12

（2）1.4∶2和7∶10

4.下面的四个数可以组成比例吗？把组成的比例写出来。（能组几个就

组几个）

2、3、4和6

四、全课小结

这节课我们学习了比例的意义和基本性质，并学会了应用比例的意义和基本性质组比例。

五、布置作业练习一第3题。

课后小记：本节课能让每位学生在自我猜测、自我参与、自我表现中发现问题，解决问题，学会方法，这是可取之处。

解比例

教学内容：教材3页例2、例3，做一做2，练习一4—9题。

素质教育目标

（一）知识教学点

1.使学生理解什么叫做解比例。

2.使学生掌握解比例的方法，会解比例。

（二）能力训练点

1.正确应用比例的基本性质，使学生对解比例的方法达到比较熟练的程度。

2.引导学生有根据地思考问题。

（三）德育渗透点

培养学生独立思考、克服困难的精神、激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：使学生掌握解比例的方法，学会解比例。

教学难点：引导学生根据比例的基本性质，将比例改写成两个内项积等于两个外项积的形式，即已学过的含有未知数的等式。

教具学具准备：投影仪、投影片。

教学步骤

一、铺垫孕伏（投影出示）

1.解下列简易方程，并口述过程。

2.什么叫做比例？什么叫做比例的基本性质？

3.应用比例的基本性质，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？

6∶10和9∶15

20∶5和4∶1

5∶1和6∶2

4.根据比例的基本性质，将下列各比例改写成其它等式。

（1）3∶8=15∶40

二、探究新知

1.导入新课，揭示解比例的意义。

（1）将上述两题中的任意一项用X来代替（可任意改换一项），讨论：如果已知任何三项，可不可以求出这个比例中的另外一个未知项。说明理由。

（2）学生交流时明确：

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以把它改写成内项积等于外项积的形式，通过解已学过的方程，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

（3）教师指出：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。（板书课题）

2.教学例2

（1）出示例2，解比例3∶8＝15∶X

（2）根据以上对解比例的理解，讨论：如果把这个比例式变为已学过的含有未知数的等式，并求出未知数的解。

（3）组织学生交流并明确：

①根据比例的基本性质，可以把比例改写为：3X＝8×15

②改写时，含有未知项的积一般要写在等号的左边，再根据以前学过的解简易方程的方法求解。

③规范并板书解比例的过程。

解：3X＝8×15

X＝40

3.教学例3

（2）组织学生独立解答。

（3）学生汇报时明确：

①解比例的依据是根据比例的基本性质，把等号两边的分子、分母交叉相乘列出等式。

②具体写法是：（学生板演代替板书）

解：4.5X==9×0.8

X＝1.6

③再次说明把含有未知项的积写在等号的左边。

4.巩固练习：做一做2

学生独立完成。订正时让学生说出根据和解题过程。

三、巩固发展

1.利用比例的基本性质，把下列比例改写成含有未知数的等式。（投影出示，由学生独立完成后汇报。）

2.分组练习（B组为尖子生）

A组：练习一第4题（1）～（6）

B组：练习一第4题（2）、（4）、（6）和第8题。

3.练习一第6题。第9题为A组选作题，B组必作题。

学生独立解答后，投影订正。

四、全课小结（师生共同进行）

这节课我们学习了解比例。想一想，解比例的关键是什么？（根据比例的基本性质将比例式转化成已学过的简易方程），然后再解简易方程即可。

五、布置作业

练习四第5题和第7题，最后的思考题为选作题。

课后小记：为使解比例达到有层次、有梯度，使学生的学习热情始终高涨，应多设计一些练习题。

比例尺

教学内容：教材6—8页例4—例6，做一做，练习二第1题。

素质教育目标

（一）知识教学点

1.使学生理解比例尺的意义并能正确地求出平面图的比例尺。

2.使学生能够应用比例知识，根据比例尺求图上距离或实际距离。

（二）能力训练点

培养学生综合运用知识的能力；培养学生动手测量和画图的能力。

（三）德育渗透点

通过看地图、平面图，渗透爱祖国、爱学校教育。

教学重点：理解比例尺的意义：能根据比例尺正确求出图上距离或实际距离。

教学难点：设未知数时长度单位的使用。

教具学具准备：1.投影仪及投影片；2.一些比例尺不同的地图或本校、本地区的平面图。

教学步骤

一、铺垫孕伏（投影出示）

1.1千米=（）米 1分米=（）厘米

1米=（）分米 1厘米=（）毫米

2.30米=（）厘米 300厘米=（）分米

15千米=（）厘米 40毫米=（）厘米

二、探究新知

导入：（出示准备好的地图、平面图）同学们请看，这些分别是祖国地图、本省地图和学校的平面图。在绘制这些地图和平面图的时候，都需要把实际的距离按一定的比例缩小，再画在图纸上。有时由于机器零件比较小，需要把实际距离扩大一定的倍数以后，再画在图纸上。不管是哪种情况，都需要确定图上距离和实际距离的比。今天我们就来学习这方面的知识——比例尺。

板书课题：比例尺

（一）教学比例尺的意义

1.教学例4

（1）出示例4：设计一座厂房，在平面图上用10厘米的距离表示地面上10米的距离。求图上距离和实际距离的比。

（2）读题回答：

这道题告诉了我们什么？要求什么？

板书：图上距离：实际距离

（3）根据题中所给条件，想一想：

①要求图上距离与实际距离的比，能不能直接用题中给出的两个数列式：为什么？应该怎么办？

学生回答：因为图上距离和实际距离单位不同，所以不能直接列式，要先把它们化成相同单位，再化简。

②是把厘米化成米，还是把米化成厘米？为什么？应该怎样化？学生回答：因为把米化成厘米后，实际距离仍是整数，计算起来比较方便，所以把米化成厘米。10米=1000厘米

板书：10米=1000厘米

（4）求出图上距离和实际距离的比。

答：图上距离和实际距离的比是1∶100。

2.揭示比例尺的意义

（1）教师说明：

①因为在绘制地图和其它平面图时，经常要用到“图上和实际距离的比”，所以就给它起了个新的名字——比例尺。

（教师在“图上距离∶实际距离”的后面板书：=比例尺）

②有时图上距离和实际距离的比也可以写成分数形式。

③图上距离实际是比的前项，实际距离是比的后项，比例尺是图上距离比实际距离得到的最简单的整数比。

（2）教师出示导课时所用的比例尺不同的地图和本地、学校的平面图，让学生说出它们的比例尺各是多少？表示什么意思？比例尺的前项都是多少？

（3）教师指出：

①比例尺与一般的尺不同，它是一个比，不应带有计量单位。

②求比例尺时，前、后项的长度单位一定要化成同级单位。如例4中的10厘米∶10米，要把后项的10米化成1000厘米后，再算出比例尺。

③比例尺的前项，一般应化简成“1”。如果写成分数的形式，分子也

3.巩固练习

让学生完成14页“做一做”。教师提问学生，求这幅地图的比例尺实际是求什么？并提醒学生统一单位名称。集体订正时，注意检查学生求出的比例尺的前项是不是“1”。

（二）教学根据比例尺求图上距离或实际距离

教师：知道了一幅图的比例尺，我们可以根据图上距离求出实际距离，或者根据实际距离求出图上距离。

1.教学例5

（1）出示例5：在比例尺是1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米。南京到北京的实际距离大约是多少千米？

（2）读题，并说出题中告诉了什么？要求什么？

（3）想一想：根据比例尺的意义，已知比例尺和图上距离，能不能用解比例的方法求出实际距离呢？怎样求？

（4）讨论：这个比例式中的X指的是实际距离。题中要求的是南京到北京的实际距离为多少千米，根据本题的已知条件，所设未知数X应用什么单位？为什么？

学生回答：因为图上距离与实际距离的单位要相同，已知的图上距离是15厘米，所以要先设实际距离为X厘米，算出结果后，再变成千米数。

（5）由学生完成本题的全部解答过程，指定一人到前面解答，其他学生在练习本上完成。

（6）订正并提问：

①为什么要设南京到北京的实际距离为X厘米？

②这个比例式表示的实际意义是什么？

③解这个比例式的依据是什么？

④在求出X＝90000000后，为什么还要化成900千米？

（7）反馈练习

完成15页中的“做一做”。先让学生说出图中的比例尺是多少？表示什么意思？再用直尺量出图中河西村（A）与汽车站（B）之间的距离，然后用解比例的方法求出实际距离。订正时，重点检查所设未知数X的单位是不是厘米，最后结果是否化成了千米。

2.教学例6

（1）出示例6：一个长方形操场，长110米，宽90米。把它画在比例

（2）读题并说出题中告诉了什么，求什么？

（3）先求长的图上距离。

①长的图上距离不知道，应设为x。如果我们按题目要求设长应画x厘米，（板书：解设长应画x厘米）那么，已知长的实际距离应该怎么办？为什么？

学生回答后，板书：110米=11000厘米

②图上距离与实际距离的单位相同了，怎样用解比例的方法来解答？根据是什么？

③让学生求出x的值，并说出求解过程，教师板书出来。

（4）求宽的图上距离。

①教师说明：在这道题中，要分别求出图上距离的长和宽，同一个问题里不同的未知数，要用不同的字母来表示。因为前面图上距离的长用x表示了，这里就不能再用它来表示宽的图上距离了。因此，我们设宽应画y厘米。（板书：设宽应画y厘米）

②请同学们自己把这道题做完。

③订正时完成板书，并写出答语。

（5）要求学生在练习本中画出这幅图。

三、巩固发展

1.判断下列这段话中，哪些是比例尺，哪些不是？为什么？（投影出示）

把一块长20米，宽10米的长方形地画在图纸上，长画了5厘米，宽画了2.5厘米。

②图上宽与实际宽的比是1∶400；（）

③图上面积与实际面积的比是1∶160000；（）

④实际长与图上长的比是400∶1（）

（本题目旨在提高学生对比例尺理解的清晰度）

2.独立完成练习二第1题，并订正。

3.独立完成练习二第2题。提示：图上距离长和宽不能用同一字母表示。

四、全课小结

这节课我们学习了比例尺，知道了图上距离与实际距离的比叫做这幅图的比例尺。并能根据比例尺求出图上距离或实际距离。应注意的是，在计算中，图上距离与实际距离的单位必须是相同的。

五、布置作业练习二第3题。

课后小记：本节课教学中，可取之处是能把比例尺如何转变成解比例应用题的过程。同时也体现了合理选择算法的教学理念。

正比例的意义

教学内容：教材11—13页例1、例2、例3及做一做，练习三1—3题。

素质教育目标

（一）知识教学点

1.使学生理解正比例的意义。

2.能根据正比例的意义判断两种量是不是成正比例。

（二）能力训练点

1.培养学生用发展变化的观点来分析问题的能力。

2.培养学生抽象概括能力和分析判断能力。

（三）德育渗透点

1.通过引导学生用发展变化的观点来分析问题，使学生进一步受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。

2.进一步渗透函数思想。

教学重点：使学生理解正比例的意义。

教学难点：引导学生通过观察、思考发现两种相关联的量的变化规律，即它们相对应的数的比值一定，从而概括出正比例关系的概念。

教具学具准备：投影仪、投影片、小黑板。

教学步骤

一、铺垫孕伏

用投影逐一出示下列题目，请同学回答：

1.已知路程和时间，怎样求速度？

2.已知总价和数量，怎样求单价？

3.已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？

二、探究新知

1.导入新课：这些都是我们已经学过的常见的数量关系。这节课，我们继续研究这些数量关系中的一些特征。

2.教学例1

（1）投影出示：一列火车1小时行驶60千米，2小时行驶120千米，3小时行驶180千米，4小时行驶240千米，5小时行驶300千米，6小时行驶360千米，7小时行驶420千米，8小时行驶480千米……

（2）出示下表，并根据上述内容填表。

一列火车行驶的时间和所行的路程如下表

（3）边填表边思考：在填表过程中，你发现了什么？

学生交流时，使之明确。

①表中有时间和路程两种量。

②当时间是1小时，路程则是60千米，时间是2小时，路程是120千米……时间变化，路程也随着变化，时间扩大，路程随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小。

教师点拨：像这样，时间变化，路程也随着变化，我们就说，时间和路程是两种相关联的量。（板书：两种相关联的量）

③如果学生没有问题，教师提示：请每位同学任选一组相对应的数据，计算出路程与时间的比的比值。

教师问：根据计算，你发现了什么？

引导学生得出：相对应的两个数的比值都是60或都一样，固定不变等。

教师指出：相对应的两个数的比的比值都一样或固定不变，在数学上叫做“一定”。（板书：相对应的两个数的比值一定）

④比值60，实际就是火车的速度。用式子表示它们的关系就是：

（4）教师小结：

刚才同学们通过填表、交流，我们知道时间和路程是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化。时间扩大，路程随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小。它们扩大、缩小的规律是：路程和时间的比的比值总是一定的。

3.教学例2

（1）出示例2：在一间布店的柜台上，有一张写着某种花布的米数和总价的表。

（2）观察上表，引导学生明确：

①表中有数量（米数）和总价这两种量，它们是两种相关联的量。

②总价随米数的变化情况是：

米数扩大，总价随着扩大；米数缩小，总价也随着缩小。

③相对应的总价和米数的比的比值是一定的。

④比值3.1，实际就是这种花布的单价。用式子表示它们的关系就是：

（3）师生小结：通过刚才的观察和分析，我们知道总价和米数也是两种什么样的量？（两种相关联的量）为什么？（总价随着米数的变化而变化。）怎样变化？（米数扩大，总价随着扩大；米数缩小，总价随着缩小。）它们扩大、缩小的规律是怎样的？（总价和米数的比的比值总是一定的。）

4.抽象概括正比例的意义。

（1）比较例1、例2，思考并讨论，这两个例子有什么共同点？

（2）学生初步交流时引导学生明确：

①例1中有路程和时间两种量；例2中有米数和总价两种量。即它们都有两种相关联的量；

②例1中时间变化，路程就随着变化；例2中米数变化，总价也随着变化。

教师点拨：像这样，我们就可以说：一种量变化，另一种量也随着变化。（板书）

③例1中路程与时间的比的比值一定：例2中总价与米数的比的比值一定。概括地讲就是：两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定。

（学生答不出来时，教师引导、点拨，并补充板书：两种量中）

（3）引导学生抽象概括出两例的共同点：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定。

（4）教师指明：两种相关联的量，一种变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

（补充板书：如果这成正比例的量正比例关系）

这就是我们这节课学习的“正比例的意义”（板书课题）

（5）看书19、20页的内容，进一步理解正比例的意义。

（6）教师说明：在例1中，路程随着时间的变化而变化，它们的比的比值（速度）保持一定，所以路程和时间是成正比例的量。

（7）想一想：在例2中，有哪两种相关联的量？它们是不是成正比例的量？为什么？

（8）教师提出：如果字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系怎样用字母表示出来？

（9）教师提出：根据正比例的意义以及表示正比例关系的式子想一想：构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件？

5.教学例3

（1）出示例3：每袋面粉的重量一定，面粉的总重量和袋数是不是成正比例？

（2）根据正比例的意义，由学生讨论解答。

（3）汇报判断结果，并说明判断的根据。

教师板书：面粉的总重量和袋数是两种相关联的量。

所以面粉的总重量和袋数成正比例。

6.反馈练习

让学生试做第21页的做一做，并订正。

三、巩固发展

1.完成练习三第1题。