2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第二章 第5讲 二次函数与幂函数学生版[数理化网]

第二章 函数、导数及其应用 第5讲 二次函数与幂函数

一、必记3个知识点

1．五种常见幂函数的图像与性质

(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图像和性质 二、必明2个易误区

1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数． 2．形如y ＝x α

(α∈R )才是幂函数，如y ＝3x 1

2

不是幂函数． 三、必会3个方法

1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 2

2

对称．

(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件

(1)ax 2

＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是?

????

a >0，

b 2－4a

c <0.

(2)ax 2

＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是?

????

a <0，

b 2－4a

c <0.

3．两种数学思想

(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．

(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．

1.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±1

2四个值，则相应于曲线C 1，

C 2，C 3，C 4的α值依次为________．

2．设a ＝????352

5

，b ＝????253

5，c ＝????252

5，则a ，

b ，

c 的大小关系是________．

8，试确定此二次函数的解析式．

已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式．

角度一 1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈，当a ＝－2时，求f (x )的最值．

角度二 轴动区间定求最值

2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈时有最大值2，求a 的值．

角度三 轴定区间动求最值

3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．

课后作业

1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( )

A ．f (x )＝x 2－1

B ．f (x )＝5x 2

C ．f (x )＝－x 2

D ．f (x )＝x 2 2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.????0，120 B.????－∞，－120 C.????120，＋∞ D.????－1

20，0

如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈)的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．

做一做

1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )

A ．①y ＝x 1

3，②y ＝x 2，③y ＝x 12

，④y ＝x －

1

B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2

，③y ＝x 12，④y ＝x －

1

C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3

，③y ＝x 12

，④y ＝x －

1

D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12

，③y ＝x 2，④y ＝x －

1

2．(2013·张家口模拟)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，40] B ．∪上的最大值为1，则实数a 等于_____ ．

9．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)

10．已知幂函数f (x )＝x

21

()m m －＋ (m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条

件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．

11．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在上单调，求m 的取值范围．