算法设计与分析期末考试卷及答案a
一．填空题（每空2分，共30分）
1．算法的时间复杂性指算法中的执行次数。
2．在忽略常数因子的情况下，O、{EMBED Equation.3 | 和三个符号中，提供了算法运行时间的一个上界。
3．设D n表示大小为n的输入集合，t(I)表示输入为I时算法的运算时间, p(I)表示输入I出现的概率，则算法的平均情况下时间复杂性A(n)= 。4．分治算法的时间复杂性常常满足如下形式的递归方程：
其中，g(n)表示。
5. 分治算法的基本步骤包括。
6．回溯算法的基本思想是。
7．动态规划和分治法在分解子问题方面的不同点是。
8．贪心算法中每次做出的贪心选择都是最优选择。
9．PQ式的分支限界法中，对于活结点表中的结点，其下界函数值越小，优先级越。
10．选择排序、插入排序和归并排序算法中，算法是分治算法。
11．随机算法的一个基本特征是对于同一组输入，不同的运行可能得到的结果。
12.对于下面的确定性快速排序算法，只要在步骤3前加入随机化步
骤，就可得到一个随机化快速排序算法，该随机化步骤的功能是。
算法QUICKSORT
输入：n个元素的数组A[1..n]。
输出：按非降序排列的数组A中的元素。
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1. quicksort(1, n)
end QUICKSORT 过程 quicksort(A, low, high) // 对A[low..high]中的元素按非降序排序。 2. if low A[i]A[1] w =i return w, A end SPLIT 二．计算题和简答题（每小题7分，共21分） 1．用O、、表示函数f与g之间阶的关系，并分别指出下列函数中阶最低和最高的函数： (1) f (n)=100 g(n)= (2) f(n)=6n+n g(n)=3n (3) f(n)= n/logn-1 g(n)= (4) f(n)= g(n)= (5) f(n)= g(n)= 2．下面是一个递归算法，其中，过程pro1和pro2的运算时间分别是1和。给出该算法的时间复杂性T(n)满足的递归方程，并求解该递归方程，估计T(n)的阶（用表示）。 算法EX1 输入：正整数n，n=2k。 输出：… ex1(n) end EX1 过程ex1(n) if n=1 then pro1(n) else 考 生 信 息 栏 ＿ ＿ ＿＿＿＿学 院＿ ＿＿ ＿＿＿ 系＿＿ ＿ ＿ ＿ ＿ 专业 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ 年 级 姓名 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ 学号＿ ＿＿＿ ＿ 装 订 线 pro2(n) ex1(n/2) end if return end ex1 3．用Floyd 算法求下图每一对顶点之间的最短路径长度，计算矩阵D 0，D 1，D 2和D 3，其中D k [i, j]表示从顶点i 到顶点j 的不经过编号大于k 的顶点的最短路径长度。 三．算法填空题（共34分） 1．（10分）设n 个不同的整数按升序存于数组A[1..n]中，求使得A[i]=i 的下标i 。下面是求解该问题的分治算法。 算法 SEARCH 输入：正整数n ，存储n 个按升序排列的不同整数的数组A[1..n]。 输出：A[1..n]中使得A[i]=i 的一个下标i ，若不存在，则输出 no solution 。 i=find ( (1) ) if i>0 then output i else output “no solution ” end SEARCH 过程 find (low, high) // 求A[low..high] 中使得A[i]=i 的一个下标并返回，若不存在， //则返回0。 if (2) then return 0 else mid= if (3) then return mid else if A[mid] return find( (4) ) else return (5) end if end if end if end find 2．(10分) 下面是求解矩阵链乘问题的动态规划算法。 矩阵链乘问题：给出n个矩阵M1, M2, …, M n , M i 为r i r i+1阶矩阵，i=1, 2, …, n，求计算M1M2…M n所需的最少数量乘法次数。 记M i, j=M i M i+1…M j , i<=j。设C[i, j], 1<=i<=j<=n, 表示计算M i, j的所需的最少数量乘法次数，则 算法MATCHAIN 输入：矩阵链长度n, n个矩阵的阶r[1..n+1], 其中r[1..n]为n个矩阵的行数，r[n+1]为第n个矩阵的列数。 输出：n个矩阵链乘所需的数量乘法的最少次数。 考 生 信 息 栏 ＿＿ ＿＿＿＿学 院＿ ＿＿ ＿＿ ＿系＿＿＿＿＿＿ 专业 ＿＿＿＿＿＿年级 姓 名 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ 学号＿ ＿＿＿ ＿ 装 订 线 for i=1 to n C[i, i]= （1） for d=1 to n-1 for i=1 to n-d j= (2) C[i, j]= ∞ for k=i+1 to j x= (3) if x x=x0; y=y0 ; tag[x, y]=1 m=n*n i=1; k[i]=0 while (1) and not flag while k[i]<8 and not flag k[i]= (2) x1= x+dx[k[i]]; y1= y+dy[k[i]] if ((x1,y1)无越界and tag[x1, y1]=0) or ((x1,y1)=(x0,y0) and i=m) then x=x1; y=y1 tag[x, y]= (3) if i=m then flag=true else i= (4) (5) end if end if end while i=i-1 (6) (7) end while if flag then outputroute(k) //输出路径 else output “no solution” end HORSETRA VEL 《算法设计与分析》期考试卷(A)标准答案 一. 填空题： 1. 元运算 考 生 信 息 栏 ＿ ＿ ＿＿＿＿学 院＿ ＿＿ ＿＿ ＿系＿＿＿＿＿＿ 专业 ＿＿＿＿＿＿年级 姓 名 ＿ ＿ ＿ ＿＿ ＿ 学号＿ ＿ ＿＿ ＿ 装 订 线 四．算法设计题（15分） 1. 一个旅行者要驾车从A 地到B 地，A 、B 两地间距离为s 。A 、B 两地之间有n 个加油站，已知第i 个加油站离起点A 的距离为公里，0=，车加满油后可行驶m 公里，出发之前汽车油箱为空。应如何加油使得从A 地到B 地沿途加油次数最少？给出用贪心法求解该最优化问题的贪心选择策略，写出求该最优化问题的最优值和最优解的贪心算法，并分析算法的时间复杂性。 2. O 3. 4. 将规模为n的问题分解为子问题以及组合相应的子问题的解所需的时间 5. 分解，递归，组合 6. 在问题的状态空间树上作带剪枝的DFS搜索（或：DFS+剪枝） 7. 前者分解出的子问题有重叠的，而后者分解出的子问题是相互独立（不重叠）的 8. 局部 9. 高 10. 归并排序算法 11. 不同 12. v=random (low, high); 交换A[low]和A[v]的值 随机选主元 13. 比较 n 二.计算题和简答题： 1. 阶的关系： (1) f(n)= O(g(n)) (2) f(n)=(g(n)) (3) f(n)=(g(n)) (4) f(n)= O(g(n)) (5) f(n)=(g(n)) 阶最低的函数是：100 阶最高的函数是： 2. 该递归算法的时间复杂性T(n)满足下列递归方程： 将n=, a=1, c=2, g(n)=, d=1代入该类递归方程解的一般形式得： T(n)=1+=1+k- =1+ k-=++1 所以，T(n)= ++1=。 3. 三.算法填空题： 1.(1) 1, n (2) low>high (3) A[mid]=mid (4) mid+1, high (5) find(low, mid-1) 2. (1) 0 (2) i+d (3) C[i, k-1]+C[k, j]+r[i]*r[k]*r[j+1] (4) C[i, j] (5) C[1, n] 3. (1) i>=1 (2)k[i]+1 (3) 1 (4) i+1 (5) k[i]=0 (6) tag[x, y]=0 (7) x=x-dx[k[i]]; y=y-dy[k[i]] 四.算法设计题： 1. 贪心选择策略：从起点的加油站起每次加满油后不加油行驶尽可能远，直至油箱中的油 耗尽前所能到达的最远的油站为止，在该油站再加满油。 算法MINSTOPS 输入：A、B两地间的距离s，A、B两地间的加油站数n，车加满油后可行驶的公里数m，存储各加油站离起点A的距离的数组d[1..n]。 输出：从A地到B地的最少加油次数k以及最优解x[1..k]（x[i]表示第i次加油的加油站序号），若问题无解，则输出no solution。 d[n+1]=s; //设置虚拟加油站第n+1站。 for i=1 to n if d[i+1]-d[i]>m then output “no solution”; return //无解，返回 end if end for k=1; x[k]=1 //在第1站加满油。 s1=m //s1为用汽车的当前油量可行驶至的地点与A点的距离 i=2 while s1 if d[i+1]>s1 then //以汽车的当前油量无法到达第i+1站。 k=k+1; x[k]=i //在第i站加满油。 s1=d[i]+m //刷新s1的值 end if i=i+1 end while output k, x[1..k] MINSTOPS 最坏情况下的时间复杂性：Θ(n)