第八章 平面连杆机构及其设计

第八章平面连杆机构及其设计

§8-1、连杆机构及其传动特点

1、连杆机构及其组成

。本章主要介绍平面连杆机构（所有构件均在同一平面或在相互平行的平面内运动的机构）组成：由若干个‘杆’件通过低副连接而组成的机构。又称为低副机构。

2、平面连杆机构的特点（首先让学生思考在实际生活中见到过哪些连杆机构：钳子、缝纫机、挖掘机、公共汽车门）

1）运动副为面接触，压强小，承载能力大，耐冲击，易润滑，磨损小，寿命长；。

2）运动副元素简单（多为平面或圆柱面），制造比较容易；

3）运动副元素靠本身的几何封闭来保证构件运动，具有运动可逆性，结构简单,工作可靠；

4）可以实现多种运动规律和特定轨迹要求；

（连架杆之间）匀速、不匀速

主动件（匀速转动）→→→→→从动件连续、不连续（转动、移动）

某种函数关系

引导点实现某种轨迹曲线

导引从动件（连杆导引功能）→→→→→

引导刚体实现平面或空间系列位置

5）还可以实现增力、扩大行程、锁紧。。。。

连杆机构的缺点：

1）由于连杆机构运动副之间有间隙，且运动必须经过中间构件进行传递，因而当使用长运动链（构件数较多）时，易产生较大的误差积累，同时也使机械效率降低。

2）连杆机构所产生的惯性力难于平衡，因而会增加机构的动载荷，所以连杆机构不宜用于高速运动。3）难以精确地满足很复杂地运动规律（受杆数限制）

4）综合方法较难，过程繁复；

平面四杆机构的应用广泛，而且常是多杆机构的基础，本章重

点讨论平面四杆机构的有关基本知识和设计问题。

§8-2、平面四杆机构的基本类型和应用

（利用多媒体中的图形演示说明）

1．铰链四杆机构的基本类型1）、曲柄摇杆机构

曲柄：与机架相联并且作整周转动的构件；摇杆：与机架相联并

且作往复摆动的构件；（还可以举例：破碎机、自行车（人骑上之

后）等）

2）、双曲柄机构

铰链四杆机构的两连架杆均能作整周转动的机构。

还可以补充：平行四边形机构的丁子尺、工作台灯机构；火车驱动机构、摄影平台、播种料斗机构、关门机构等。

3）、双摇杆机构

铰链四杆机构中的两连架杆均不能作整周转动的机构。

举例：汽车前轮转向机构、大型铸造台翻箱机构等。

2、平面四杆机构的演化形式（在于了解四杆机构的内在练习）

1）变换机架

2）改变构件的相对尺寸

演化方法3）扩大转动副

4）杆块互换

严格地讲，3）、4）不能算作演化，机构的实质并未改变。

1）、变换机架

双曲柄机构

曲柄摇杆机构双摇杆机构

另一曲柄摇杆机构

Ф1、Ф2、变化范围：0→360o；Ф3、Ф4、<180o

（变换机架相当于给整个机构加上一个相反角速度的结果，故不影响机构中各构件间的相对运动，反转原理以后设计经常用到）

2) 改变相对尺寸（转动副演化为移动副）

在曲柄摇杆机构中，若摇杆的杆

长增大至无穷长，则其与连杆相联的

转动副转化成移动副。

以上两种方法交替使用，还可以演化出更多的机构。

转动导杆机构

变换机架导杆机构

→→→→→→摇快机构摆动导杆机构

定块机构

变换机架变换机架

正弦机构→→→→→→双滑块机构→→→→→→双转块机构。

3）扩大转动副

当曲柄的实际尺寸很短并传递较大的动力时，可将曲柄做成几何

中心与回转中心距离等于曲柄长度的圆盘，常称此机构为偏心轮机构。

4）杆块对调---运动副元素的逆换

对于移动副来说，将运动副两元素的包容关系进行逆换，并不影

响两构件之间的相对运动。如摆动导杆机构和曲柄摇块机构。这两种

机构的运动特性是相同的。

四杆机构的型式虽然多种多样，但根据演化的概念，可为我们归类

研究这些四杆机构提供方便；反之，我们也可根据演化的概念，设计

出型式各异的四杆机构。

思考：

正切机构是怎样演化出来的？

§8-3、平面四杆机构的基本知识本章的重点内容：有关四杆机构的一些基本知识，包括曲并存在条件、行程速比系数与急回运动、传动角与死点、运动连续性等重要概念；

1、平面四杆机构有曲柄的条件（配合多媒体动态演示曲柄摇杆机构）

设：d>a；L BD= f

f Max= a+d ；f Min= d- a ;

构件a可以继续转动的几何条件：△BCD存在

b+c>f

在△BCD中：c+f>c

b+f>c

b+c ≤f Max a+d≤b+c

将f Max= a+d ；f Min= d- a 代入c+f Min≥c a+ b≤c +d →a为最短

b+f Min≥c a+ c≤b+ d

（极限位置可以取等号）

如设：a > d

d + a≤b+c

d + b≤a + c → d 为最短

d + c≤a+ b

结论1：

曲柄存在条件，即转动副A成为周转副的条件是：

①最短杆长度+最长杆长度≤其余两杆长度之和；（杆长条件）

②组成该周转副的两杆中必有一杆为最短杆。

上述条件表明：当四杆机构各杆的长度满足杆长条件时，与最短杆相连转动副都是周转副，而其余的转动副则是摆转副。

结论2：

四杆机构有曲柄的条件是：最短杆长度+最长杆长度≤其余两杆长度之和，当最短杆为连架杆时，机构为曲柄摇杆机构，当最短杆为机架时则为双曲柄机构。否则为双摇杆机构。

结论3

a+d≤b+c d 、c变为∞

a+│d -c│≤b

曲柄滑块机构的曲柄存在条件为：a ± e ≤b

2、急回运动和行程速比系数K

1）极位夹角:在曲柄摇杆机构中，当曲柄与连杆共线时，

摇杆正处于两个极限位置，通常把这两个极限位置所夹

的锐角称为极位夹角θ。

2）急回运动和行程速比系数K

在曲柄摇杆机构中，当曲柄ω等速回转情况下，通

常把摇杆往复摆动速度快慢不同的运动称为急回运动。

为了表示急回运动的程度，可用行程速比系数K来

衡量。四杆机构从动件空回行程平均速度与工作行程平

均速度的比值称为行程速比系数，用K 表示(K>1)。K

= 从动件快速行程平均速度v2/从动件慢速行程平均速度v1v1 = c1c2 / t1 ；v2 = c2c1 / t2

K= v2 /v1 = t1 / t2=ωt1/ωt2=（180°+θ）/（180°-θ）

行程速比系数K与极位夹角θ间的关系为：θ=180°×(K-1) / (K+1)

结论：

1）K值越大，急回特性越明显，（K=1，无急回）-----------思考：曲柄滑块机构是否一定有急回？

2）对于其他含有往复运动构件的机构，同样可用类似的方法研究其急回问题；

a)曲柄滑块机构

对心曲柄滑块机构θ=0；K=1无急回

偏置曲柄滑块机构K=180°+θ）/（180°-θ）；θ=180°×(K-1) / (K+1)

b)摆动导杆机构

极位夹角θ=摆杆摆角φ；K=180°+θ）/（180°-θ）

可以获得较大的急回（用于牛头刨床前置机构）；

c) 多杆机构的急回

3、压力角与传动角和死点位置

1）压力角α：若不考虑机构中各运动副的摩擦力及构件的重力和惯

性力的影响，从动件上某点的受力方向F与该点速度正向之间的夹

角α 称为机构在此位置时的压力角。

2）传动角γ：γ +α=90o传动角γ 和压力角α 互为余角

3）曲柄摇杆机构的压力角α与传动角γ

∠BCD 为锐角时γ=∠BCD

∠BCD 为钝角时γ=∠180o-∠BCD

在机构运动过程中，传动角γ的大小是变化的，

为了保证机构传力性能良好，应使γmin ≥40°～50°；

对于一些受力很小或不常使用的操纵机构，则可允许

传动角小些，只要不发生自锁即可。

对于曲柄摇杆机构，γmin 出现在主动曲柄与机架共线的两位置之一。

还可举偏置曲柄滑块机构为例进行γmin分析。

4．死点位置机构处于死点位置的力学特征：γ= 0

机构死点位置通常可能出现在以往复运动构件为原动件的机构中；

例1：曲柄滑块机构----活塞式发动机（单缸用飞轮，多缸错位排列）

例2：曲柄摇杆机构----缝纫机（惯性轮），自行车（脚腕转动）

例3：死点的应用：飞机起落架，锁紧机构（卡具设计）实际机构中可以通过采用惯性大的飞轮或机构死点位置错位排列等措施使其顺利通过死点位置。

正确区分死点与自锁：

死点-----有效驱动力为0

→→→机构卡死（死点附近容易发生自锁）自锁-----驱动力↑摩擦阻力↑

死点附近容易发生自锁；同时，死点附近：V≈0→可能获得很大的力的增益；

讨论死点与自锁问题时刻应关注“原动件”

5、铰链四杆机构的运动连续性

铰链四杆机构的运动连续性是指：连杆机构在运动过程中，能否连续实现给定的各个位置的问题。

运动的不连续性：错位不连续性、错序不连续性。

右图：铰链四杆机构不同装配模式的可行域、不

可行域问题。

机构在两个不连通的可行域之间的运动是不

能连续的。设计者了解这一点是十分重要的。

§8-4、平面连杆机构的运动设计（机构综合问题）

1、连杆机构设计的基本问题

两连架杆间实现一定的对应位置关系（或函数关系）

位置问题：

实现连杆的预定位置（刚体的导引问题）

轨迹问题：连杆上某一点实现给定的曲线轨迹计

其他问题：结构大小、杆长比、最小传动角、曲柄存在、K等。

几何学法：积累了丰富的几何理论，价值很高，深奥、难懂。（德、俄）

连杆机构的设计方法有解析法：基本原理简单，关键问题在于如何求解非线性方程。

实验法：简单、实用、精度低（作解析法初值，计算机模拟）

2．用解析法设计四杆机构

1）按给定的连架杆对应位置设计四杆机构

已知条件：θ1i~φ 1i

求解：a,b,c,d,α0,φ0 (θ2i为非独立变量)

另外，实现转角关系与绝对杆长无关：

令：a/a=1； b/a=m ； c/a=n ； d/a=L

实际待求参数：m , n , L ,α0,φ0 (5个)

一．建立矢量方程：

a + b= d + c

二．求解投影方程

a·Cos(θ

1i +α

)+b·Cosθ

2i

=d + c·Cos(θ

3i

+φ0)

a·Sin(θ

1i +α

)+b·Sinθ

2i

=c·Sin(θ

3i

+φ0)

联立消去θ2i，方程两边除以a，再取相对杆长m,n,L后得：

Cos(θ1i+α0) =P0·Cos(θ3i+φ0)+ P1·Cos(θ3i+φ0-θ1i-α0)+ P2式中： P0=n ；P1=-n/L ；P2=(L2+n2+1-m2)/2L

待求参数：P0、P1、P2、α0、φ0 (5个)

讨论：

（1）可将（θ1i~φ 1i）五组对应位置转角代入方程，联立求解5个未知量（多解）

（2）四杆机构最多只能精确满足5组对应位置。但求解5个未知量（全参数综合）将面对求解非线性方程组（含有三角函数得超越方程），求解比较困难。现多采用数值法进行求解（叠代法，选一组初值→一组解）

（3）可以进一步证明：给定四组对应位置转角，方程一定有解；

给定五组对应位置转角，方程可能无解。

（4）若仅给定三组对应转角（α0、φ0可自行选定），方程降为线性方程组，很容易求解（无穷多解）。

实践中，可以不断的选α0、φ0，求出系列解，选其优作为方程组的解，或将其作为初值用数值法进一步叠代求解满足5位置的解。

（5）若给定对应转角数N>5，一般无精确解。但可以用最小二乘原理求解（△2→0 或MIN）求近似解。（实际上，数值法本身求解的未知量与方程的数目关系并不十分密切，位置多只是机构更不宜满足或误差更大而已）

2）按期望函数设计四杆机构

（详细表达应为：使两连架杆之间转角满足某种函数关系

来综合四杆机构）

①明确问题： 0≤α≤αm

两连架杆之间转角满足函数关系：φ=F（α）

0≤φ≤φm

②怎样实现：途径→由φ=F（α）选定若干对应转角：α1~φ1、α2~φ2、。。。。α5~φ5

→代入上述的连架杆对应转角方程

→求解（思考：问题很简单，已经解决了？）

③问题一：该机构可以精确地满足φ=F（α）吗？

答：只在选点上满足，其它处不满足，误差也可能很大。

④问题二：该机构可以在多大的范围αm，φm内，较好地近似满足φ=F（α）？

答：αm，φm只好反复地进行试算方可取得。（解题时一般多给定）

④问题三：在给定αm，φm后，αi，φi选点才能使函数地逼近程度更高？（均布？集中？。。。。）

答：作为问题待解决。

⑤问题四：一般地函数关系由Y=F（X）的形式给定，X O≤ X ≤Xm，它与φ=F（α）怎样对应？

例如：使四杆机构在αm=100o，φm=30o范围内近似的满足Y=X2+1 （1≤ X ≤5）

答：相当于按比例拉伸横、纵坐标。

（Xi–Xo）/(Xm–Xo)=αi/αm

（Yi–Yo）/(Ym–Yo)=φi/φm

即：αi=（Xi–Xo）/uα

φi=（Yi–Yo）/uφ

uα=(Xm–Xo)/αm

uφ =(Ym–Yo)/φm

这样，就可以在给定的范围内选择Xi，Yi→→→αi，φi

最后解决问题三：

Xi在定义域（Xo，Xm）内选点应能保证实现实现最佳一致逼近（在选点上严格地满足给定函数，而在选点之外的误差趋于最小），由函数逼近论中的契贝谢夫公式：

Xi=(Xo+Xm)/2 -（Xm–Xo）cos[(2i-1)180o/2m]/2

3)按给定连杆位置设计四杆机构（按给定刚体位

置→→刚体导向问题）

（1）明确问题：使连杆引导刚体通过平面上一

系列给定位置.

即:给定系列点和转角:Mi(x mi,y mi),θ2i

（2）建立矢量方程

为包含所有待求参数，建立两个封闭矢量方程

OA+AB+BM–OM=0

（a）

OD+DC+CM - OM=0 (b)

（3）矢量方程的求解

将方程(a)向X、Y轴投影，联立消去θ1i，然后整理得：

(X2mi+Y2mi+X A2+Y A2+k2-a2)/2-X A X mi -Y A Y mi+k(X A-X mi)cos(γ+θ2i)+k(Y A-Y mi)sin(γ+θ2i)=0 （C）

讨论：

①待求参量：X A、Y A、a、k、γ；

②将给定得一系列x mi,y mi,θ2i代入（C）式后即得方程组，→求解X A、Y A、a、k、γ；

③给定的点数N（被导向刚体的位置数）与解的关系同前；（所以两者同称为位置问题）

④同理：将方程(b)向X、Y轴投影，联立消去θ3i，整理后得到一个类似（C）的方程，其中的待求

参量为：X D、Y D、c、e、α；在给定得一系列x mi,y mi,θ2i后→→求解X D、Y D、c、e、α；

⑤杆长b、d可按下式求出：

结论：

对于刚体导向问题，最多只能精确满足5个给定位置。经过适当的转化刚体导向问题与两连架杆转角问题在数学上具有相同的综合方程式，对解的讨论也有相同的结论，所以两者统称为机构综合的位置问题。

4)按预定轨迹设计四杆机构

（1）明确问题：使连杆上M 点实现给定的轨

迹曲线M （x ˊ，y ˊ）

(2)建立连杆曲线矢量方程：

（3）方程的求解

将矢量方程向X 、Y 轴投影得：

A +acos θ1+ecos θ2-fsin θ2 A +asin θ1+esin θ2+fcos θ2

联立消去中间参量θ1整理后得：

(x-x A )2+(y-y A )2+e 2+f 2-2[e(x-x A )+f(y-y A )]cos θ2+2[f(x-x A )-e(y-y A )]sin θ2=a 2

同理，对右侧杆组：

(x-x D )2+(y-y D )2+g 2+f 2-2[f(y-y D )-g(x-x D )]cos θ2+2[f(x-x D )+g(y-y D )]sin θ2=c 2

上两方程联立可消去中间参量θ2整理后方程的形式缩写为：

F （x A ，y A ，x D ，y D ，a ，c ，e ，f ，g ，x ，y ）= 0

讨论：

① 方程含有9个未知量x A ，y A ，x D ，y D ，a ，c ，e ，f ，g ，→可以给定9个轨迹点（x i ，

y i ）i=1,2,3……9, →→得到9个方程→→→求解这9个未知量；

理论上铰链四杆机构最多只能精确满足9个轨迹点（超出9个点只能得到近似解）；

② 精确满足给定的9个轨迹点，求解9个未知量被称为四杆机构轨迹问题的全参数精确综合；按一

般求解联立方程的方法求解全参数综合问题，将是十分困难的：

经过处理机构综合方程式将是一个含有8个方程（每个方程7次）的非线性方程组，理论上应有78

=5764801 组解，经齐次化处理（除去发散解）仍有286720组解；

③为降低求解方程的难度，一般常按4-6个点进行非全参数综合，这就意味这9个未知量中部分可以由设计着自行选定，那么，理论上会有无穷多解； ④求解方程的方法：

A）经典的数值法：牛顿法、最小二乘法等：1组初值→叠代→残差△→MIN→得到1组解；

问题：初值的选定对解的影响极大（是否收敛？收敛速度？收敛到何处？）；

每次叠代只能得到1组解，寻求多解→需要不断选初值，不断进行叠代（将叠代进行到底）；

叠代的结果：可能会得到大量无用解，甚至没有可用解。

B）消元法：对求解未知量较少的非全参数综合方程组，消元是可行的。近年来，出现了对全参数精确综合问题进行计算机消元的研究；

C）优化法：（类似于瞎子下山）一套系统理论寻找下降方向；同样需要不断进行叠代；

D）同伦算法：

待求方程 F（X）=0（解难求）

→构造同伦方程G（X）=0 （解易知，初值易给）

→构造同伦函数H（T，X）=（1-T）·F（X）+T·G（X）

→叠代跟踪每组解，同时：系数T不断减小，由1→0；

→得到多组解：

⑤总之，用解析法进行机构综合问题，最终归结为数学问题----求解非线性方程组（很难，需要寻求新的突破）；

3、用作图法设计四杆机构

1)按连杆预定的位置设计四杆机构（已知刚体位置）

明确问题：设计一铰链四杆机构，用连杆引导刚体通过一系列给定位置。

分析：由解析法可知：刚体导向最多只能精确的满足5个给定位置（不一定有解）；给定4个位置一定有解；给定3个位置一定很容易求解（线性方程），还可以自行选定两个

参数。

核心问题：在被导向的刚体上，寻找铰链点B、C，当它们处于B1、C1；B2、C2；B3、C3；时，分别到定点A、D等距。

（1）已知活动铰链位置时

①若只给定刚体两位置时

B、C位置可在刚体上任取，A、D只需在b12、c12上即可；（无穷多解）

②若给定刚体三位置时

B、C位置也可在刚体上任取，A、D则处于b12、b23；c12、c23的交点上；（无穷多解）

已知动铰链位置→→→定铰链位置问题（杆长不变原理）

思考：可以任意选定固定铰链A、D的位置吗？

③若给定刚体四位置

B、C则不可在刚体上任取，任取的B点不能保证B1、B2、B3、B4均在一个圆周上；

但根据burmester理论，该问题一定有解，而且可以在被导向刚体上找到一条曲线（圆点曲线），当B点位于该曲线上时，使B1、B2、B3、B4均在一个圆周上，而这一系列圆周的

圆心也将形成另一曲线（圆心曲线）；对C点同样；

所以，给定刚体四位置问题也会有（无穷多解）。

④若给定刚体五位置，其解可能是4组、2组或无解，即使有解也很难达到实用（所以不

按5精确位置进行综合）。

⑤满足了刚体给定位置，不能保证刚体导向的顺序与给定顺序一致，需要校核；

（2）已知固定活动铰链位置A、D时

图示机构，已知被导向刚体三位置（即标线B′C′三位置）和机架A、D,

转化问题：将此问题转化成容易解决的‘‘已知动铰链位置→定铰链位置问题’’

反转法原理：（也称：相对

运动不变原理、变化机架法或机

构倒置）

作图求解：

→作四边形AB1′C1′D；AB2′C2′D；

AB3′C3′D；并刚化。

→移转四边形AB2′C2′D使与AB1′

C1′D重合，得A2′、D2′点。

→同理：得A3′、D3′点。

→原题转化为‘‘已知动铰链A1′、

A2′、A3′；D1′、D2′、D3′位置→定

铰链B、C位置问题’

→作垂直平分线，

→得解AB1C1D

反转法原理具有广泛的适用性，使用时注意：“刚化反转”+“标线重合（杆长未知）”。

2）按两连架杆预定的对应位置设计四杆机构

已知条件：如图示给定两连架杆的两组对应转角；

待求参数：a,b,c,d,α0,φ0;

分析：由于转角关系与绝对杆长无关，所以杆长a,b,c,d中可以自行选定其一（选定d）；

题目只给定两组对应转角，所以待求参数中还可以再自行选定三个；（选定a,α0,φ0）

图解原理：反转法原理：将问题转化为：已知动铰链位置→定铰链位置问题

作图步骤：

①按已选定的参数作出两连架杆的两组对应转角；

②任选长度DC′（不是另一连架杆长度C）；

③将四边形AB1C1D、AB2C2D刚化后反转→向三位置重叠（即：，C1D、C2D重合于C3D）

④得到反转后的B1′、B2′点，作B1′、B2′、B3点连线的垂直平分线→交点为C3点；（因于解无关，

A的反转点未作出）

讨论：

①对于给定两连架杆的两组对应转角问题，可以任意选定4个（本题选定了：a,d,α0,φ0）未知参数，解有无穷多个。

②DC′长度是任取的，它仅代表DC杆上一标线位置（标线重合，杆也必然重合）；

③若求解给定两连架杆的三组对应转角问题，使用上述解法将出现B1′、B2′、B3′、B4四点定圆心

的情况→难解；可以采用点位归并的办法求解；

点位归并法（求解给定两连架杆的三组对应转角问题）

求解的关键点：将机架选在某一组对应转角间的角平分线上。A杆的长度由该组对应转角的两延长线的交点确定。

此题目也应有无穷多解。

3）按给定行程速比系数K设计四杆机构

（1）曲柄摇杆机构

已知摇杆的长度CD，摆角φ及行程速比系数K。

θ=180°×(K-1)/(K+1)

结论：

①A点取在圆η1上（C1C2、FG段除外），即得满

足条件的解,且有无穷多解；

a=(AC2-AC1)/2

b=(AC2+AC1)/2

②A点不可选在FG弧段上，否则机构运动不能连

续（两个位置装配模式不同）；

A点愈靠近FG，γmin↓；

A点选在C1C2弧段上，K↑↑。

③若再给定曲柄长L AB，可以按如下方法求解：

以X点为圆心作过点C1、C2的圆η2，然后以C2为

圆心2L AB为半径作圆与圆η2的交点为E点，延长C2E

交于η1圆的点即为所求的A点。

④若给定连杆长L BC，则可以按如下方法求解：

以Y点为圆心作过点C1C2的圆η3，然后以C2为圆心2L BC为半径作圆与圆η3的交点为H点，连接C2H，得于η1圆的交点即为所求的A点。

（2）曲柄滑块机构

已知其行程速比系数K、冲程H和偏距e。

（3）导杆机构

已知摆动导杆机构的机架长，行程速比系数K。

本讲主要是利用黑板进行分析讲解，但要配合多媒体中的机构演示，使学生明白和掌握不同设计方法的设计思路与原理。

注意事项

作图法中的转化机构法是难点。在介绍了基本原理后，应适当举例，掌握作图法设计的基本方法及大致步骤。按连杆的预定位置及按行程速比系数设计四杆机构，虽然比较容易理解，但要学生紧密结合四杆机构的基本知识进行深入思考，使所设计的四杆机构能满足运动要求，而且有良好的传力性能。如有时间可介绍实验法，要强调这是一种行之有效的工程设计方法，应该予以重视。

第八章平面连杆机构及其设计