求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、
等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，
则
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则
11232211
122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)
2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n n a n =+-
解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1
3
n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++， 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，故 11223211
2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此1
1(13)
2(1)2113133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--?， 则211
33.322
n n n a n =
??+?- 评注：已知a a =1,)(1
n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函
数、分式函数，求通项
n a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列
}{n a 中, 0>n a 且
)(21n n n a n a S +=
,求数列}{n a 的通项公式.
解:由已知
)(21n n n a n a S +=
得)(2111---+-=n n n n n S S n
S S S ,
化简有n S S n n =--212,由类型(1)有
n S S n ++++= 322
12, 又11a S =得11=a ,所以
2)
1(2
+=
n n S n ,又0>n a ,2)
1(2+=n n s n ,
则
2)
1(2)1(2--+=
n n n n a n
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若
1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n
a a a
f f f n a a a +=== ，，，
两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==?∏
例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故13211221
12211(1)(2)21(1)
1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332
5!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
?????=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112
21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），
则它的通项公式是n a =________.
解：已知等式可化为：
[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a
0>n a (*
N n ∈)∴(n+1)01
=-+n n na a , 即11+=
+n n
a a n n
∴2≥n 时，n n a a n n 1
1
-=
- ∴
112211a a a
a a a a a n n n n n ????=
--- =121121??--?- n n n
n =n 1. 评注：本题是关于
n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到
n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .
练习.已知
1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.
答案：
=n a )1()!1(1+?-a n -1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
,11-+=+n na a n n 转化为
),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求
出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如
0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型
（1）若c=1时，数列{
n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{
n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求.
待定系数法：设
)(1λλ+=++n n a c a ,
得
λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得
d c =-λ)1(,所以
)0(,1≠-=
c c
d λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n
因此数列??
??
??-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以
11)1(1-?-+=-+
n n c c d a c d a 即：
1)1(11--?-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系
d ca a n n +=+1化为
)1(11-+=-+
+c d
a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列
}1{-+
c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d
a c c d a n n
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,
两式相减有
)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.
)(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：121(2),n n a a n -=+≥ 112(1)n n a a -∴+=+
又{}112,1n a a +=∴+ 是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ∴+=，即21n n a =- 解法二：121(2),n n a a n -=+≥ 121n n a a +∴=+
两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等
比数列，再用累加法的……
练习．已知数列
}{n a 中，
,21
21,211+=
=+n n a a a 求通项n a 。
答案：1
)21
(1+=-n n a
2．形如：n n n q a p a +?=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n
n n q a a +=+1，累加即可.
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +?=+1，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1
+n p .目的是把所求数列构造成等差数列
即：
n
n
n
n
n
q
p
p
q
a
p
a
)
(
1
1
1?
+
=
+
+
,令
n
n
n p
a
b=
，则
n
n
n q
p
p
b
b)
(
1
1
?
=
-
+
,然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以
1+
n
q. 目的是把所求数列构造成等差数列。
即：
q
q
a
q
p
q
a
n
n
n
n
1
1
1+
?
=
+
+
,
令
n
n
n q
a
b=
,则可化为
q
b
q
p
b
n
n
1
1
+
?
=
+
.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设
)
(
1
1
n
n
n
n
p
a
p
q
a?
+
=
?
++
+
λ
λ
.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p≠q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列{}
n
a
满足
1
11
2431
n
n n
a a a
-
+
=+?=
，
，求数列
{}
n
a
的通项公式。
解法一（待定系数法）：设
1
112
3(3
n n
n n
a a
λλλ-
+
+=+?)
，比较系数得12
4,2
λλ
=-=
，
则数列{}1
43n
n
a-
-?
是首项为
11
1
435
a-
-?=-
，公比为2的等比数列，
所以
11
4352
n n
n
a--
-?=-?
，即
11
4352
n n
n
a--
=?-?
解法二（两边同除以
1+
n
q）：两边同时除以1
3n+得：
1
12
24
3333
n n
n n
a a
+
+
=?+
，下面解法略
解法三（两边同除以
1+
n
p）：两边同时除以1
2+n得：
n
n
n
n
n
a
a
)
2
3
(
3
4
2
21
1?
+
=
+
+
，下面解法略
3．形如
b
kn
pa
a
n
n
+
+
=
+1(其中k,b是常数，且0
≠
k)
方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法
通过凑配可转化为
)
)1
(
(
)
(
1
y
n
x
a
p
y
xn
a
n
n
+
-
+
=
+
+
-;
解题基本步骤：
1、确定()f n =kn+b
2、设等比数列
)(y xn a b n n ++=，公比为p
3、列出关系式
))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即1-=n n pb b
4、比较系数求x,y
5、解得数列
)(y xn a n ++的通项公式
6、解得数列
{}n a 的通项公式
例8 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法）
解： ，
,231n a a n n +=+ ①
∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，
两式相减得
2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b
利用类型5的方法知2351+?=-n n b 即
1351
1-?=--+n n n a a ② 再由累加法可得
213251--?=
-n a n n . 亦可联立 ① ②解出213251--?=-n a n n .
例9. 在数列{}n a 中，
3
62,23
11-=-=
-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）
解：原递推式可化为
y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
12-=n n b b
所以
{}n b 是一个等比数列，首项
299611=
+-=n a b ,公比为21.1
)21
(29-=∴n n b 即：
n
n n a )21
(996?=+-
故9
6)21
(9-+?=n a n n .
4．形如c n b n a pa a n n +?+?+=+2
1
(其中a,b,c 是常数，且0≠a ) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 例10 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===，
所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +?+?+=+=≠，得2310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2
{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。
5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列
{}1n n a a λ++为等比数列。
例11 已知数列
{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。
解：设
211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++
比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则
21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列
11243n n n a a -+∴-=?，所以114352n n n a --=?-?
练习.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412
=+-++n n n a a a ,求n a .
答案： n
n a 311-=.
四、迭代法 r
n n pa a =+1(其中p,r 为常数)型
例12 已知数列{}n a 满足3(1)21
15n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为3(1)2
1n
n n n a a ++=，所以
121
2(2)(1)
3
2
(2)(1)
3
(3)(2)(1)
1
12(3)(323(1)2
323(1)2
122
3(2)23(1)233(2)(1)23
323(2)(1)21[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ----+---+--+-+--+++-+?-??-??----?-??---?-??-?-??======= 2)(1)
(1)
12
3!21
n n n n n a
-+---??=
又
15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12
3!2
5
n n n n n a --??=。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
五、对数变换法 适用于r
n n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 p>0，0>n
a 例14. 设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n
a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 1
22+=+-n n a a ，设1log 2+=n a n
b ，则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b 11221--=?=n n n
b ，1221log -=+n a n
，12log 12-=-n a n ，∴
1
21
2--=n n a
练习 数列
{}n a 中，11=a ，1
2
-=n n a a （n ≥2），求数列
{}n a 的通项公式.
答案：n
n a --=22
22
例15 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。
两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg2n n a a n +=++
设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ （同类型四）
比较系数得， lg 3lg 3lg 2
,4164
x y ==+ 由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 71041644164a +
?++=+?++≠，得lg 3lg 3lg 2lg 04164
n a n +++≠， 所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +
++是以lg 3lg 3lg 2
lg 74164
+++为首项，以5为公比的等比数列，则1
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此111111111
16
164
4
44
1111
15
1616
444
4
541515116
4
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (lg 7)54164464
[lg(7332)]5lg(332)
lg(7332)lg(332)lg(73
2
)
n n n n n n n n n n a n --------=+
++---=???-??=???-??=??
则11
54151516
4
732
n n n n n a -----=??。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。
解：求倒数得
11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++??=+∴-=∴-????为等差数列，首项1
11a =，公差为12，112
(1),21
n n n a a n ∴
=+∴=
+
七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列{}n a
满足111
(14116n n a a a +=
++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令n b =2
1(1)24
n n a b =-
代入11
(1416
n n a a +=
++得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+
因为0n b =， 则123n n b b +=+，即113
22
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以{3}n b -
是以13332b -===为首项，以
2
1
为公比的等比数列，因此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+
21
()32n -=+，得
2111()()3423
n n n a =
++。 八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳
法加以证明。 例18 已知数列{}n a 满足11
228(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由122
8(1)
(21)(23)
n n n a a n n ++=+
++及189a =，得
2122
3222
43228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +?=+
=+=?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=
?+?+? 由此可猜测22(21)1
(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明这个结论。
（1）当1n =时，212
(211)18
(211)9
a ?+-==?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22(21)1
(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，
122
2222222
222222
8(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1) (21)(23)(21)(23)(21) (21)(23)(23)1 (23)[2(1)1]1 [2(1)1]k k k a a k k k k k k k k k k k k k k k k ++=+
+++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++
由此可知，当1n k =+时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何*
n N ∈都成立。 九、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有n S ，又有n a
分析：把已知关系通过11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的
方法求解。
例19 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。
解：∵对任意n N +
∈有1
(1)(2)6
n n n S a a =
++ ⑴ ∴当n=1时，11111
(1)(2)6
S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111
(1)(2)6
n n n S a a ---=
++ ⑵ ⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=
当11a =时，32n a n =-，此时2
429a a a =成立
当12a =时，31n a n =-，此时2429a a a =不成立，故12a =舍去
所以32n a n =-
练习。已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(2
1
+=
n n a S ,求数列}{n a 的通项公式. 答案：n n n a S S =--1 212)1()1(+=--n n a a 12-=n a n 2、对无穷递推数列
例20 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②
用②式－①式得1.n n n a a na +-=
则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
????=-???= ③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，
则21a =，代入③得!13452
n n a n =?????= 。 所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数()f x 的定义域为D ，若存在0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为
()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。
分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，在变形求解。 类型一：形如1 n n a qa d +=+
例21 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+，由()f x x =得，不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+，…… 类型二：形如1n n n a a b
a c a d
+?+=
?+
分析：递归函数为()a x b
f x c x d
?+=
?+
（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得
11n n n n a p a p k a q a q ++--=?--，其中a pc k a qc -=-，∴1111
11()()
()()
n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=--- （2）若有两个相同的不动点p ，则将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得
111
n n k a p a p
+=+--，其中2c k a d =
+。 例22. 设数列{}n a 满足7
24
5,211++=
=+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：
7
2524
7)52(727)52(72451
++++
+=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a ,
令524
7++=
t t t , 解之得t=1,-2 代入7
2)52(1+++=++n n n a t a t t a 得 7213
11+-=-+n n n a a a ,7
22
921++=++n n n a a a ,
相除得
21312111+-?=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为4
1
2111=+-a a ，
公比为31的等比数列, 21+-n n a a =n -?1341, 解得1
342
341
1-?+?=--n n n a . 方法2：,
7
21
3
11
+-=-+n n n a a a ， 两边取倒数得
1
3
32)1(39)1(2)1(3721
11-+
=-+-=-+=
-+n n n n n n a a a a a a ， 令b 1
1
-=
n n a ，则b =n n b 33
2
+,, 转化为累加法来求. 例23 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441x x x -=
+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的两个不
动点。因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)927
93341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39
n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=
+-。
十一。特征方程法 形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列
形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项
n a ，其特征方程为2x px q =+…①
若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a
例24 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为2
32x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?，
由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121
12
c c =???=??， 112n n a -∴=+
例25、数列{}n a 满足1512
a =-，且2
12542924
n n n a a a +-
=+
求数列{}n
a 的通项。 解：22
11252925244429292244
n n n n n n n a a a a a a a λλλλ++-++-
+==
+=++
……① 令2
29254λλ-=，解得12251,4
λλ==，将它们代回①得，
()21112924n n n a a a +++=+
……②，2
125254424n
n n a a a +??+ ???+=+……③，
③÷②，得2
1125254411n n n n a a a a ++??
++ ?= ?++ ?
??
, 则11252544lg 2lg 11n n n n a a a a +++
+=++，∴数列254lg 1n n a a ??+????+??
??
成等比数列，首项为1，公比q =2
所以1254lg 21n n n a a -+
=+，则12254101n n n a a -+=+，1
1
222510
4101
n n n a ---∴=-
十二、基本数列
1．形如)(1n f a a n n =-+型 等差数列的广义形式，见累加法。
2.形如
)(1
n f a a n
n =+型 等比数列的广义形式，见累乘法。 3.形如)(1n f a a n n =++型
（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.
数列、数列的通项公式
第三章数列 第一教时 教材：数列、数列的通项公式 目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。K2td4LKQoD 过程： 一、从实例引入 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 六、作业：练习 P112 习题 3．1 常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式. 2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式. 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ， 解得 ?? ?±==2 4 3d a ，又 {} n a 是递减数列， ∴ 2 -=d ， 8 1=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。 例 4. 已知等比数列 {}n a 的首项11=a ，公比10< 1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 教案65 数列的通项公式（2） 一、课前检测 1．（1）数列9，99，999，…的通项公式为 ； 110-=?n n a ； （2）数列5，55，555，…的通项公式为 。 () 11095-=?n n a 。 2．已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1 111n n n S a a +=-．（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。 解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n n S a a S S S S +-=-=---， 化简得211(2)n n n S S S n -+=≥， 又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=． 当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-， 又111a S ==， ∴21, (1),(1),(2).n n n a a a n -=?=?-≥? 二、知识梳理 （一）数列的通项公式 一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 解读： （二）通项公式的求法（6种方法） 5.构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1）构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. 创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期 数列通项公式的求法及数列求和方法详解 专题一：数列通项公式的求法 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093,542,211（3） ,5 2 ,21,32 , 1（4） ,5 4 ,43,3 2 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+?-=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式； 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 1 等比数列的概念及通项公式 基本概念 新知： 1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1 n n a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式： 21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是： 3、等比数列的性质：对于等比数列}{n a ，若.,n m q p a a a a n m q p =+=+则 4、等比数列的}{n a 的单调性————————与首项和公比都有关 11-=n n q a a 例题 例一：判断数列是否为等比数列，若是请指出公比 （1）1，-1，1，-1，1，…（2）0,1,2,4,8，…（3）13 181-4121-1，，， 例二、指出下列等比数列中的未知项 （1）2，a ，8 （2）-4，b ，c ，2 1 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b G ab G a G =?=?= 新知1：等比中项定义 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ， b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 例三、（1）在等比数列}{n a 中，是否有)2(112 ≥=+-n a a a n n n ？ （2）如果数列}{n a 中，对于任意的正整数),2(,2112 ≥=≥+-n a a a n n n n n 都有） （那么}{n a 一定是等比数列 吗？ 最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 数列通项公式的几种求法 注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用） （八）、迭代法 （九）、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n = 例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-） 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???） 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题） 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 名校学案，高二数学,必修五，数列，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。 例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。 变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？ 变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？ 挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。 （1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？ 通过本节课的学习你收获了什么？ 数列的通项公式 一、知识梳理 1.数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；记作:)(n f a n =. 2.数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 3.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，首项:1a ，公差:d ，第n 项:n a ； 4.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ，首项:1a ，公比:q ，第n 项:n a ； 二、题型精析 1.观察法求通项公式 （1）......321,161,81,41,21 （2）......251,161,91,41,1 （3） (11) 10 ,98,76,54,32-- （4） (9910) ,638,356,154,32 （5）......9...999,......99,9 n ， （6）......9...999.0,......99.0,9.0 n 2.公式法求通项公式 （1）数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+ ，求数列}{n a 的通项公式.； （2）数列{}n a 中，()1111 ,2,22 n n a a a n -==≥求数列}{n a 的通项公式.； 3.累加法与累乘法求通项公式 （1）累加法：形如)(1n f a a n n +=-,（其中)(n f 为可求和的数列） 例1.已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(1≥+=-n n a a n n ，求n a . 巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，求n a . （2）累乘法：形如 )(1 n f a a n n =-， （其中)(n f 为可求积的数列） 例2.已知数列}{n a ，其中11=a ，)2(21≥?=-n a a n n n ，求n a . 巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(1 1≥?-=-n a n n a n n ，求n a . 专题一：数列的通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求 数列{}n a 的通项公式. 二、公式法： 例2.已知数列 的前n 项和 ，求数列 的通项公式。 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时，一定要合并. 三、累加法 若数列 满足 ，其中{})(n f 是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求n a 的通项公式. 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a . 四、累乘法 若数列 满足 ， ，其中数列{})(n f 前n 项积可求，则通项 可用逐项作商后求积得到. 例4．已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a . ()()211.322.1,(2) n n n n s a S n a n =-==≥{} n a s n {}n a 11,(1)n n n s a s s n -?=?->?,（n=1){}n a ()1()n n a a f n n N --=∈{}n a 1 ()n n a f n a -=n a 五、构造法 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. 1.型如1 a pa q n n =+-递推关系，构造等比数列求解. 比如常数p=2,q=1：121n n a a -=+，待定系数法：12()n n a a λλ-+=+，展开对应得1λ=，所以{}1n a +是一个等比数列. 例5.数列 满足 ， 求 的通项公式. 12..n n n Ca A B a Aa B C C +==++n+1n 11型如，取倒数得:a a 例6.数列 满足 ： ，求数列 的通项公式。 {}n a 111,52, n n a a a +==+{}n a 11 22,2n n n a a a a +==+{}n a {}n a 数列通项公式的十种求法 一、公式法 * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ 例 1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3 1.n n a n =+-） 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???） 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 1 32 112 21 n n n n a a a a a a a a a ---??? ??，即得数列{}n a 的通项公式。 例4已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项 公式。（! .2 n n a =） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 1 3 212 2 n n n n a a a a a a a ---??? ?，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （125n n n a -=+） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列 {}n a 的通项公式。 例6 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （1133522n n n a -=?-?-） 评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为 1 15223(522)n n n n a a +++?+=+ ?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 例7 已知数列{}n a 满足2 1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 （42 231018n n a n n +=---） 评注：本题解题的关键是把递推关系式2 12345n n a a n n +=+++转化为 2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列 课题：§2.2.2 等差数列的通项公式（2） 总第____课时 班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 掌握等差数列的性质 【重点难点】 教学重点：等差数列的性质的推导及应用. 教学难点：等差数列的性质的理解、把握和应用.. 【学习过程】 自主学习与交流反馈 问题 (1)在等差数列{}n a 中102a a +与93a a +、102a a +与84a a +的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？ (2)在等差数列{}n a 中102a a +、93a a +、84a a +与6a 的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？ (2)在等差数列{}n a 中选出,...,,,10741a a a a 构成新的数列，该数列是等差数列吗？如果是公差是多少？你能得出更一般性的结论吗？ 知识建构与应用 等差数列的性质： 例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 7 + a 9 = 16，a 4 = 1，求a 12； (2)已知在等差数列{a n }中，已知a 3 = 10，a 9 = 28，求a 12. 例2 已知数列{a n }和{b n }是两个无穷等差数列，公差分别为d 1，d 2，求证：数列{a n + b n } 是等差数列，并求其公差. 例3 已知在等差数列{}n a 中，满足4532=?a a ，1441=+a a .求数列的{}n a 的通项公式，并判断该数列的单调性. 【巩固练习】 1．已知在等差数列{}n a 中，20162=+a a ,则=9a ___________. 2．已知在等差数列{}n a 中，3773=+a a ,则=+++8642a a a a ______. 3．已知n n n a a a a a a 21321,,,,,,, +是公差为d 的等差数列，则 (1)n a a a a 2642,,,, 是公差为 的等差数列； (2){}b ka n +是公差为 的等差数列． 4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13 a 11的值为________． 5．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．数列{a n }的公差d = __________. 6．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 13 + 2a 6 + a 17 = _______. 数列的概念及通项公式 [教学设计思想] 本课是数列的第一课，目标让学生很好理解数列的概念。 对数列概念的理解，对学生来说是没有困难的。因此，通过对简单概念的学习，让学生体会通过自己的学习，理解数列的概念，从中培养自主学习能力。 另外，通过对概念的学习，规范数列的写法，让学生能用数学符合语言来准确描述数列 [教学目标] 1、通过创设实际情景，产生数列的概念，让学生在实际生活中感悟出数列的概念 2、通过对教材的阅读，掌握学习的技巧和方法，养成自主学习能力 3、通过例题对概念的剖析，了解数列通项的基本概念，函数概念和图像概念 4、通过对概念的学习，规范数列的写法，使得学生能用数学符合语言来准确描述数列 教学重点难点 用数学语言描述出数列的通项公式 [教学策略与方法] 1、利用多媒体，通过实际问题的引入数列的学习。 2、通过阅读教材学习数学的概念。 3、学会用符合语言表示数列的通项。 [教学过程] 【导入】 一．对半还价法 从他们的讨价还价中，我们得到一串数列： 600，300，500，350，450，380…… 二．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增 加一定数量的宝石，则第五件产品有多少颗珠宝？（1322++=n n a n ） 第4件 第3件 第1件 第2件 三．兔子繁殖问题（斐波那契数列）：有一天，意大利著名数学家斐波那契在外面散步，看见一个男孩在院子里养了一对可爱的白兔。几个月后，他又去那儿散步，看见里面大大小小的兔子很多。于是就问小孩：“你又买了一些兔子吗？”小孩回答说：“没有，小兔子都是原先一对老兔子繁殖出来的。”经过询问之后，斐波那契知道，一对兔子每月都要生一对小兔，并且小兔子出生后两个月就可以再生一对小兔子。这引起了他的浓厚兴趣，经过思考，他提出了一个问题： Fibonacci数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，………… 四．循环程序图 A＝3，N＝1 前5项是：3，6，30，870，756030 提问：同学们能不能再举出一两个这样的一列数，它们可能是你生活中遇到的，也可能是你最喜欢，最难忘的一列数 【过程】 1.阅读教材第二项内容（第一段到第三段） 提问1：谁能给出数列的定义 提问2：数列1，3，5，7，9与9，7，5，3，1是同一数列吗？为什么？ 求数列通项公式的11种方法方法 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用） 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故数列通项公式的求法(较全)
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