【学练优】2016年秋九年级数学上册 21.2.2 公式法教案1 (新版)新人教版

公式法

1.知道一元二次方程根的判别式的概念.2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.

3.经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程.

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一、情境导入

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老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解,大家都才解第一个方程呢,小强突然站起来说出每个方程解的情况,你想知道他是如何判断的吗?

二、合作探究

探究点一:一元二次方程的根的情况

【类型一】判断一元二次方程根的情况

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不解方程,判断下列方程的根的情况.

(1)2x2+3x-4=0;

(2)x2-x+

1

4

=0;

(3)x2-x+1=0.

解析:根据根的判别式我们可以知道当b2

-4ac≥0时,方程才有实数根,而b2-4ac<0

时,方程没有实数根.由此我们不解方程就

能判断一元二次方程根的情况.

解:(1)2x2+3x-4=0,a=2,b=3,c=-

4,∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0.∴

方程有两个不相等的实数根.

(2)x2-x+

1

4

=0,a=1,b=-1,c=

1

4

.∴b2

-4ac=(-1)2-4×1×

1

4

=0.∴方程有两个

相等的实数根.

(3)x2-x+1=0,a=1,b=-1,c=1.∴b2

-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.∴方程

没有实数根.

方法总结:给出一个一元二次方程,不解方

程,可由b2-4ac的值的符号来判断方程根

的情况.当b2-4ac>0时,一元二次方程有

两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,一

元二次方程有两个相等的实数根;当b2-

4ac<0时,一元二次方程无实数根.

【类型二】由一元二次方程根的情况确定字

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母系数的取值

已知关于x的一元二次方程(a-1)x2

-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a

的取值范围是( )

A.a>2 B.a<2

C.a<2且a≠1 D.a<-2

解析:由于一元二次方程有两个不相等的实

数根,判别式大于0,得到一个不等式,再

由二次项系数不为0知a-1不为0.即4-

4(a-1)>0且a-1≠0,解得a<2且a≠1.

选C.

方法总结:若方程有实数根,则b2-4ac≥0.

由于本题强调说明方程是一元二次方程,所

以,二次项系数不为0.因此本题还是一道

易错题.

【类型三】说明含有字母系数的一元二次方

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程根的情况

已知:关于x的方程2x2+kx-1=0,

求证:方程有两个不相等的实数根.

证明:Δ=k2-4×2×(-1)=k2+8,无论k

取何值,k2≥0,所以k2+8>0,即Δ>0,

∴方程2x2+kx-1=0有两个不相等的实数

根.

方法总结:要说明一个含字母系数的一元二

次方程的根的情况,只需求出该方程根的判

别式,分析其正、负情况,即可得出结论.

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【类型四】一元二次方程的根的情况的实际

应用

小林准备进行如下操作实验:把一根

长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各

围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个

正方形的面积之和不可能等于48cm2”,他的

说法对吗?请说明理由.

解:假设能围成.设其中一个正方形的边长

为x,则另一个正方形的边长是(10-x),由

题可得,x2+(10-x)2=48.化简得x2-10x

+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26

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