试谈高等数学中的数学美

田长生(广东技术师范学院计算机科学系,广东广州510665)

摘要:本文讨论了数学美的历史和内容,并结合高等数学的例子说明高等数学中数学美的各种表现形式,进一步提出了“要懂得欣赏数学美,首先必须‘懂’数学,并具有数学素质”的观点。

关键词:数学美;熵性;高等数学

Ξ中图分类号:O1-0文献标识码:A文章编号:1009-2803(2002)04-0083-05

一、数学美观点的有关历史美是人类创造性实践活动的产物,是文明的产物。我们通常所

说的美,包括社会美、自然美、艺术美与科学美。数学美是科学美中的一种。数学美古已有之,古希腊哲学家毕达哥拉斯早在公元前5世纪至6世纪就试图依据数和数的比例论述了美和美的形式,第一次提出“美是和谐与比例”的观点。古希腊数学家欧几里德早就提出了数学的演绎美和严谨美,他在《几何原本》中第一次系统地采用公理化方法,从公理与公设出发,用严密的演绎推导出一套几何理论,可以说是数学著作的一美学典范。我国古代早期的算筹也是一种美丽的原始计算工具,用算筹表示数1～9有纵、横两种方式:纵式:横式:表示多位数时,摆法是纵横相间,个位为纵,十位为横,从右到左,如7631,筹式为θ⊥≡|这种方式体现了整齐与和谐之美。数学美随着近代数学的发展,受到这个时期的许多数学家的重视,他们对数学美作过许多精彩的阐述。拉普拉斯对分析语言的优美的评述是:“没有另外一种语言是如此优美,而这些优美之处都是从一长串互相连接并全部出自于同一个基本概念的表达式中产生出来的。”有些数学家认为:数学理论是诗,数学家应该具有诗人的气质。分析学之父维尔斯特拉斯说过:“如果一个数学家不具备诗人的某种气质,他就永远休想成为一个大数学家。”傅里叶的级数理论本身就被称为“一部伟大的数学诗”。进入20世纪以来的现代数学时期,数学美不仅为许多数学家承认存在,而且还认为数学美感与数学审美能力是数学思维的驱动力,是数学创造性思维的一个重要组成部分。英国著名数学家哈代说:“数学家的选型与画家或诗人的选型一样,必须美;概念也象色彩或语言一样,必须和谐一致。美是首要的标准,不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的”。美国著名数学家,控制论创始人维纳更直截了当地说:“数学实质上是艺术的一种。”美国当代数学家A?波莱尔说:“我已经提到了数学作为艺术的观念,即概念构成的诗情画意这个观念,以此作为出发点就能断言:要能鉴赏数学,要能欣赏数学,就需要对一个很特殊的思维世界里的种种概念在精神上的雅与美有一种独特的感受力。”我国当代著名数学家徐利治指出:“数学美的含义十分丰富,如数学概念的简单性、统一性、结构系统的协调性、对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性与普适性,还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。”由此可见,古今中外许多数学家都非常重视数学美,并对数学美的内容、表现形式及重要性作出了许多精辟的论述。二、高等数学中数学美的内容和表现形式数学美的含义十分丰富,很难用一两句话给数学美下定义,也很难全面论述数学美包含的内容与表现形式。这里,本人结合高等数学的20多年的教学体会,仅从两方面探讨。11从其反映客观实际的特性看,它包括两方面:泛熵性与反熵性。

所谓泛熵是指任何事物、任何变化的混乱或无序,反熵是指从混乱或无序走向稳定、有序与平衡。如简单性、统一性、对称性、和谐性等数学美反映的就是反熵性。如高等数学中通常研究的曲线是光滑或分段光滑的,这样才可以求导,才可以展为泰勒级数,这样的曲线具有反熵性,反熵性可以使我们画出优美曲线。但数学美也有泛熵性的一面,如处处连续而处处不可导的曲线;在区间上连续和一对一的函数,而其反函数不连续;在任何区间上都没有原函数的Riemann可积函数;一个函数,它的Maclaurin级数处处收敛,但仅令在一点表示这个函数…等等。出现在高等数学里面的许多泛熵性的例

子,体现了数学美的另一种形式———奇异美。21从数学美的层次与范畴看,又有四方面之分:按数学内容与方法分,有结构美、方法美和语言美;按思维与创造分,有逻辑美、非逻辑美与创造美;按层次与结构分,有形态美和内在美;按理论与实践分,有严谨美与应用美。1)数学的结构美。指数学知识本身严谨和谐,有一定内在联系,给人以美的享受。从谋篇布局看,我们知道,高等数学是利用极限这个工具去研究函数的各种特性,故在高等数学内容安排顺序上,首先是介绍研究对象———函数,然后介绍研究工具———极限论,随后是用极限作为工具,研究函数的变化率———微分,及其相反问题———积分以及它们的应用。这种整体结构美就象一部精美的长篇小说的一条逻辑主线。从概念、定理、性质的文字表述结构上,都是经过千锤百炼,非常严谨、精炼、优美、和谐。譬如函数f(x)在点x0处的极限的“ε—δ”定义,结构就是:“任给…,存在…,使当…,就有…。”多一字少一字不行,交换叙述的顺序更不行,一个深奥的定义就这么简单明了地用四句简短的话给出来了。2)数学方法美。指教学证明方法与思维方法在解决问题时体现出来的美妙以及使人感到愉悦的美感。特别是解答得简单、巧妙,这本身就是一种美。例如,求极限:limx→0{limn→∞[xosxcosx2cosx22?…?cosx2n]}该极限直接计算是无法得到结果的,但只要我们注意到三角函数的半角公式和limn→∞sinx2nx2n=1,就可以将极限号内的无限多个函数化为有限多个函数,于是就有:limx →0{limn→∞[osxcosx2cosx22?…?cosx2n]}=limx→0{limn→∞[osxcosx2cosx22?…?cosx2n?sinx2n/x2n]}=…=limx→0sin2x2x=1这就是一种美妙而简单的解法。3)数学语言美。指借助数学符号把数学内容扼要地表现出来的数学语言的特点,这些特点主要是准确性、有序性、概括性、简单性与条理性。譬如著名的牛顿———莱布尼兹公式∫baf(x)dx=F(b)-F(a)简单的几个数学符号就将“一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一原函数在区间[a,b]上的增量”描绘得淋漓尽致。再如积分中值公式∫baf(x)dx=f(ζ)(b-a)告诉了我们如何求连续变量的平均值。高等数学中很多公式形式上就是如此简洁,而它们的内涵又是那么丰富、深刻。4)数学逻辑美。指借助于比较与类比、分析与综合、归纳与演绎、特殊化与普遍化、抽象与概括等数学中常用的逻辑思维方法去提出问题、探索问题和解决问题。例如Lagrange中值定理的证就是通过与Rolle定理的比较和类比,得知要想利用Rolle定理,关键是使f(a)=f(b),为此我们可用旋转、变换等几何或代数方法引进辅助函数,从而解决问题。5)数学非逻辑美。指用非逻辑思维的方法,如经验思维、形象思维、直觉思维、灵感思维以及想象、联想与猜想等方法进行数学创造。例如卡伐列利(Cavalieri1598-1647)将面积的不可分量想象成织成一块布的线,体积的不可分量比作一册书的各页,当然这些不可分量的个数为无穷多,且没有厚薄和宽窄,这已达到积分学的边缘。又如人们用非逻辑思维方法对发散的调和级数进行研究得到许多有趣的结果。人们把调和级数1+12+13+…+1n+…中分母为合数的项统统去掉,得到级数1+12+13+15+17+111+…上述级数各项分母(除1外)是全体素数,它的项比调和级数少了很多很多,但仍然没有和。欧拉利用联想,从11-12?11-13?11-15?11-17?11-111…=(1+12+14+18+…)?(1+13+19+127+…)?(1+15+125+1125+…)?(1+17+149+173+…)?(1+111+1112+1113+…)=1+12+13+14+15+16+…=+∞得出素数有无穷多个的结论。非逻辑思维方法又常使我们沉浸在数学创造美的享受之中。仍以调和级数为例,我们把调和级数中去掉90%的项,仅留下110+120+130+…+1100+1110+…=110(1+12+13+…)=+∞仍然没有和,甚至仅留下11000,110000,…的项也没有和,如110000+120000+130000+…=110000(1+12+13+…)=+∞但仅留下12n这样的项是收敛的,且1+12+12n+…+12n+…=2甚至还可以证明,去掉分母中含有偶数字0,2,4,6和8的项,留下的项形成的级数是收敛的。另一个奇特的现象是调和级数虽然发散,但发散

的速度即趋向+∞的速度奇慢,这的前二亿五千万项之和还不到20。此外又注意一个有趣问题,我们把发散的调和级数的各项的分母的次数稍微提高,如将1n变为1np(p>1),级数1+12p+13p+…+1np+…(p>1)是收敛的。上述对调和级数的研究就是数学创造性的思维,是收敛思维与发散思想的辩证统一。徐利治先生告诉我们:“从事创造性活动的数学工作者,既要善于进行发散思维,又要善于进行收敛思维。”在数学研究中只要放得开,收得拢,就既能从给定的信息中产生各种各样的为数众多的信息,又能利用已知的众多信息,将思维指向某一思考对象,这样的数学研究才能出成果、出成绩。

6)数学的形态美。指数学中的图形、公式、法则、理论等直接刺激人的感官所感受的一种美、如对称、和谐、整齐、简单等。学习微积分的人都知道,在微分公式dy=f′(x)△x中,我们用dx代替公式中的△x后所成的微分公式dy=f′(x)dx具有对称美与和谐美。当然我们知道用dx代△x是合情合理的,而不是为了形态美硬拉郎配。在场论部分,我们引进算子后,梯度、散度、旋度分别可表为gradu= u,diva_= ?a_rata_= ×a_使得它们的表示变得简明整齐。7)数学内在美。指人们抓住数学知识之间的内在联系的基础上,对数学理论和应用从内心深处感受到的一种美。我们以多元微积分

中的三个公式为例:曲线积分有格林公式?CPdx+Q dy=κ∑5Q5x-5P5ydxdy和斯托克斯公式:?LPdx+Qdy+Rdz=κ∑dydzdzdxdxdy55x55P55zPQR;曲面积分有高斯公

式:λSPdydz+Qdzdx+Rdxdy=μV5P5x+5Q5y+5R5zdxdydz这三个公式都不过是牛顿———莱布尼兹公式:∫baf(x)dx=F(b)-F(a)的推广,我们可以用高维空间的斯托克斯公式∫5∑W=∫∑dw把它们统一起来,这样给学习高等数学的人们不仅带来记忆的方便,还带来一种清新、雅致的美感。又如用常数变易法推导非齐次线性微分方程y′=P(x)y=Q(x)的通解公式,先求对应的齐次线性微分方程y′=P(x)y=0的通解y=Ce∫P(x)dx,然后将通解中常数C换为x的未知函数μ(x),得y=μ(x)e∫P(x)dx,再将此式代入原非齐次线性微分方程中,求出μ(x),进而求出通解公式。这种利用两个方程的内在联系所采用的常数变易法真从表达形式和处理方法来说都是非常优美的。8)数学严谨美。表现在数学结构和内容上的严谨。严密的推理、诗意般的证明、精巧的结构往往使人陶醉。如用区间套定理证明零点定理,首先用二分法构造一闭区间套,使得每一闭区间在端点处函数值异号,即构造出{[an,bn]},使f(an)?f(bn)<0,且[a,b]=[a1,b1]=…=[an,bn]=…,limn→∞(bn-an)=0,则由闭区间套定理知,存在唯一ζ属于所有闭区间,还可进一步证明f(ζ)=0。我们能不为这种巧妙的构造和严谨的证明所倾倒吗?英国著名数学家哈代说过:“数学定理的美很大程度上就看它是否严谨,正象诗歌的美在某种程度上就看诗意是否隽永。”高等数学作为理工科的基础数学,其中的定理证明都经过反复筛选,选用原则就是简单与严谨。9)数学应用美。指应用数学解决各方面问题时,通过具体成果呈现的一种美感。我国著名数学家华罗庚说:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之速,日用之繁,无处不用数学。”高等数学理论的创立源于实践,如早期的微积分主要源于天文、力学与几何中的计算问题,因此它的每一个概念、每一条定理或每一个公式都是量化模式,即数学模式。例如可微函数f(x)的导数f′(x)及其概念就是表现某种变量之间的变化率的量化模式。特别值得提出的是,我们的祖先十分重视数学的应用美,采用“寓理于算”方法研究数学,如著名的《九章算术》就收集了有关算术、几何、代数等方面的246个应用问题和解题方法,寓算术、几何、代数方面的理论于每一道题的解法之中。譬如在方田章40个问题中有14个说明分数运算的例题,在这些例题中,寓分数的约分、通分及加减乘除法则于计算中。

三、在高等数学教学中进行数学美教育的方法以上从数学的特性与范畴两方面论述了

数学美。数学与美是个“说不清”的问题,人们或者因为感到数学是美的而爱好数学,或者因为爱好数学而认为数学是美的。美是有感情色彩的,只有“爱”才有美,爱的基础是“懂”。我们知道,阳春白雪,高雅之曲,和者盖寡,皆因懂的人不多。对于连起码的数学知识都不懂的人,再美的公式、定理、法则也只是毫无乐趣的符号堆积。所以,我认为,要使学生能够欣赏和享受高等数学中的数学美,首要的任务是学懂高等数学,在懂的基础上去感受宛如无声的音乐和无色的图画般的数学美。进行数学美的教育方法很多,本人认为主要应做好以下两点:11用辩证思想指导高等数学的教学,要懂数学,必须付出艰辛的劳动,作为高等数学的老师,应该明白,高等数学庞大的内容、严谨的逻辑、高度的抽象、广泛的应用等特点决定了它的教学方式是丰富多彩的,而该课是在大学一年级开设的,其学习内容、研究对象、思维方法等对于刚从中学进入大学的学生来说,无疑是个飞跃。恩格斯指出:“有了变数,辩证法进入了数学,…”因此我们在高等数学教学中必须用马克思的唯物辩证思想指导教学,以帮助学生在这个转折点适应这个飞跃。做到徐利治先生建议的那样:在数学教学过程中,尽可能体现从具体到抽象、从特殊到一般、从归纳到演绎、从猜想到证明的认识发展过程,要利用各种机会培养学生的数学直觉能力和数学审美意识。培养学生迁移、类比、联想的能力,分析与综合的力,归纳与演绎能力,不是只满足于如何进行个别概念的解释、定理的推导。同样,要求学生不能只满足于简单地孤立地记忆概念、定理和法则,而要重视概念、定理、法则的引入环节,做到不仅知其然,还要知其所以然,注意有意识地培养学生的辩证思维能力和创造性思维能力,体会定理、证明是怎么想出来的,以及如何证明、检验、推广等全过程,明白各部分内容间的联系,这样才能领会高等数学中的数学美。21重视实践活动功能。我们知道数学不是看懂的,而是“做懂”的。你要想知道数学是怎么回事,体会它的真善美,首先是克服功利主义倾向,实实在在地读懂书。要读懂书,必须拿起纸与笔,认真地做好题,做到毛泽东同志提倡的那样:不动笔墨不看书。通过做题这个实践过程,使我们在模仿的基础上懂得数学。其次是积极参与数学建模这一类实践活动。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和各种各样的应用问题紧密相关的,数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性,而且在于它应用的广泛性。应用数学去解决各类实际问题,建立数学模型是十分关键的一步。建立数学模型的过程,是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程,也是个体会数学美的过程。要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础,敏锐的洞察力和想象力,对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁,是数学在各个领域广泛应用的媒介,是数学科学技术转化的主要途径。本人通过这两年组织我校学生参加全国大学生数学建模竞赛,深深体会到,通过数学建模,不仅培养了学生用数学语言描述及解决实际问题的能力,提高了学生的素质和综合能力,也促进了教学改革,当教练的老师把在竞赛活动中所形成的一些思想、观念、思路,也逐步地融入到了有关课堂中。同时,也使我深深体会到:数学美教育说到底是一种素质教育,作为强调素质教育的今天,培养学生理解和欣赏数学的美学价值,同样是我们每个数学老师义不容辞的责任。以上仅是本人的陋见,请同行们指正。

二、[审稿陈潮填]

三、参考文献:[1]同济大学数学教研室高等数学[M]北京:高等教育出版社

[2]钱宝琮中国数学史[M]北京:科学出版社

[3]郑隆火斤形象、灵感、审美与数学创造[M]北京:湖北教育出版社

[4]徐利治数学方法论选讲[M]武汉:华中工学院出版社

[5]罗声雄数学的魅力[M]武汉:武汉出版社

[6]田长生关于泰勒级数与幂级数[J]海南大学学报,1996,(4)

[7]田长生用辩证思想指导高等数学的教学[J]北京:中国社会出版社,19961

高等数学教学心得文档

高等数学教学心得文档 Advanced mathematics teaching experience document 编订：JinTai College

高等数学教学心得文档小泰温馨提示：心得体会是指一种读书、实践后所写的感受性文字。语言类读书心得同数学札记相近；体会是指将学习的东西运用到实践中去，通过实践反思学习内容并记录下来的文字，近似于经验总结。本文档根据心得体会内容要求和针对对象是教师的特点展开说明，具有实践指导意义，便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。在数学教学实践中，数学教师应把对学生学习能力的培养、开发学生智力以及使教学更好地适应学生的心理发展作为重要的教学内容。下面是带来的高等数学教学心得体会，欢迎欣赏阅读。高等数学教学心得一：高等数学是我院财务管理、工程管理、国际贸易、商管等相关专业的基础课，主要讲述了一元函数与多元函数的微积分学，针对不同专业的实际情况，结合“双考大纲”，高等数学又分为《高等数学A》、《高等数学B》、《高等数学C》，充分掌握高等数学的基本知识，对今后专业课的学习，继续深造，从事金融行业、建筑行业以及个人的逻辑思维等方面有很多大帮助。但是这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和

广泛的应用性，知识一环扣一环，结构既有严密的内在联系同时又呈曲线跳跃式发展，对于各高校的学生来说，都是一门难学的课程。因此，在教学过程当中，尽可能的采取灵活多样的教学方法，让学生充分的理解、掌握所学知识。作为一名新入职的教师，一方面很是感激校方对于我的信任，另一方面也深知作为年轻老师教学经验还有待进一步提高，但是我在xxx大学现代学院这仅仅半年时间就让我受益匪浅，在这里谈一下自己的感受：首先要认真备课，仔细撰写教案，上课时要说课，这节课大家需要掌握什么（教学大纲的要求，考试要考的知识），重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂目的，做到有的放矢，同时还要时而去走进其他老师的课堂，认真听听他们的讲课，向有经验的教师学习，反思自己的教学过程并不断完善自己的教案和教学方法。对于教案的认真撰写须不断地向其他优秀老师学习，这样才会不断地完善自己的教学，提高自己的能力。其次，上课要突出重点，做到张弛有度，结合我院学生的特点，尽量用简单通俗的语言，图形描述讲解抽象的定理，推论等，比如在讲解定积分及其性质、多元函数求导运算。具体到知识点的时候，重点是在分析，考察哪个知识点，要我们做什么，完成这个工作，需要几个步骤，每个步骤的工作又是

高等数学A

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、总学时与学分本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。三、课程教学基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、

单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，掌握牛顿

数学思维在现实生活中的简单运用

想从数学思维和处理事情的思维来讲解，让学生不仅仅是解题高手，而是一个借用数学思维来解决生活问题，比如先分析，在求解即就是生活中追女朋友一样，一定要对次女生进行分析，研究出她的特点，然后在寻求追求她的方式，如她喜欢吃火锅，你总是约她去吃肯德基，数学的做题过程何尝不是呢，比如对函数求极限，首先我们要对研究对象进行分析研究探讨总结函数的特点，让后根据函数特点，选择求极限的方法情感：为啥学不好数学，是因为一开始就很惧怕数学，觉得数学很深奥，从心理上就输给了数学，所以你们就冷落她，对她不热情，自然人家也对你不热情；其实数学就是纸老虎，你进他投降，她在静静的等待你们的靠近，等待你们的热情和等待你们的怀抱，希望你们对她有好感，爱上她，并拥有她，并以她为荣！数学是一个孤傲，外表冰冷孤，内心狂热的美少女，当你整整了解和接触她的时候你会发现，她真的很美！我们为啥怕她：1觉得数学是抽象的，是不接地气的，与生活无关的，是神圣的，是高深莫测的，与你的生活没有多大关系的，的确微积分我们用不上，函数不会解照样会买菜，但是他的思维是我们时时刻刻都需要的，数学对我们普通人来说他的作用和我们的教育一样的功效，你先想想，初中退学的同学和高中混出来的同学之间的知识有多大区别吗，上大学和不上大学的同学最大的差别是什么，不是知识，是思维！数学一样的功能，我们都不是数学家，也不可能当数学家，我们以后在工作中也很少用到数学，但是我们用数学思维函数：就是变量和变量之间的关系成绩=f（态度）本学期本人所授课机修1631班《高等数学》授课完毕,现对授课情况小结如下：一、学生情况学生的构成有汉族学生，民考民学生、双语学生和预科后学生，汉族学生的占比比较大，但是学生的层次不一；民考民和双语学生约有三分之一，但是这部分学生大部分学习态度不端正，数学基础薄弱，学习没有主动性；预科后学生共有三位，学习的主动性很好，学习态度

高等数学内容

理工类专业需要考高数一经管类专业需要考高数二高数一的内容多，知识掌握要求一般要比高数二要高，大部分包含了高数二的内容。高数一内容如下：第一章：函数定义，定义域的求法，函数性质。第一章：反函数、基本初等函数、初等函数。第一章：极限（数列极限、函数极限）及其性质、运算。第一章：极限存在的准则，两个重要极限。第一章：无穷小量与无穷大量，阶的比较。第一章：函数的连续性，函数的间断点及其分类。第一章：闭区间上连续函数的性质。第二章：导数的概念、几何意义，可导与连续的关系。第二章：导数的运算，高阶导数（二阶导数的计算）第二章：微分第二章：微分中值定理。第二章：洛比达法则 1 第二章：曲线的切线与法线方程，函数的增减性与单调区间、极值。第二章：最值及其应用。第二章：函数曲线的凹凸性，拐点与作用。第三章：不定积分的概念、性质、基本公式，直接积分法。第三章：换元积分法第三章：分部积分法，简单有理函数的积分。第三章：定积分的概念、性质、估值定理应用。第三章：牛一莱公式第三章：定积分的换元积分法与分部积分法。第三章：无穷限广义积分。第三章：应用（几何应用、物理应用）第四章：向量代数第四章：平面与直线的方程第四章：平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，简单二次曲面。第五章：多元函数概念、二元函数的定义域、极限、连续、偏导数求法。第五章：全微分、二阶偏导数求法第五章：多元复合函数微分法。第五章：隐函数微分法。第五章：二元函数的无条件极值。第五章：二重积分的概念、性质。

第五章：直角坐标下的计算。 1 第五章：在极坐标下计算二重积分、应用。第六章：无穷级数、性质。第六章：正项级数的收敛法。第六章：任意项级数。第六章：幂级数、初等函数展开成幂级数。第七章：一阶微分方程。第七章：可降阶的微分方程。第七章：线性常系数微分方程。高数二的内容如下： 1. 数列的极限 2. 函数极限 3. 无穷小量与无穷大量 4. 两个重要极限、收敛原则 5. 函数连续的概念、函数的间断点及其分类 6. 函数在一点处连续的性质 7. 闭区间上连续函数的性质 9. 导数的概念 10. 求导公式、四则运算、复合函数求导法则 11. 求导法（续）高阶导数 12. 函数的微分 13. 微分中值定理 14. 洛必塔法则 15. 曲线的切线与法线方程、函数的增减性与单调区间 16. 函数的极值与最值 17. 曲线的凹凸性与拐点 19. 不定积分的概念、性质、直接积分法 20. 换元积分法 21. 不定积分的分部积分法 22. 简单有理函数的积分 23. 定积分的概念、性质、几何意义 24. 牛顿--不莱尼茨公式与定积分计算 25. 定积分的换元法 26. 定积分的分部积分法 27. 无穷区间上的广义积分 28. 定积分的应用

微积分在现实中的应用

微积分的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛

的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

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高等数学D(一) 一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。了解函数的几种特性。了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。掌握16个函数及一些常见函数的图形。第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。了解复合函数的极限运算法则。第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。了解初等函数的连续性。理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。理解左导数与右导数的概念。掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。掌握函数可导性与连续性的关系。第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。

第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。掌握函数的一阶微分。第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。会求曲线的拐点。会用函数的单调性证明简单的不等式。第五节：函数的极值与最大、最小值要求：理解函数的极值与最值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，会解有关最值的应用题。第四章不定积分第一节：不定积分的概念与性质要求：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，记11个基本积分公式，掌握直接积分法。第二节：换元积分法要求：掌握第一类换元法、第二类换元法。第三节：分部积分法要求：掌握分部积分法。第六章微分方程第一节：微分方程的基本概念要求：了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念。第二节：可分离变量的微分方程要求：掌握可分离变量的微分方程的求解方法。掌握齐次方程的求解方法。第三节：一阶线性微分方程要求：掌握一阶线性微分方程的求解方法。第四节：可降阶的高阶微分方程

高等数学在生活中的应用

对高等数学的认识及它在生活中的应用当今世界,国际竞争日趋激烈,而竞争的焦点又就是人才的。竞争21世纪哪个国家具有人才优势,哪个国家将占据竞争的制高点。而现在的社会需要的人才已经不就是从前那种简单的一个文凭就可以了,而就是需要全面的人才,全方位的人才,一种高素质高能力的人才！与此同时,高等数学恰恰在这方面发挥着巨大的作用！数学培养的就就是您的思维能力,就是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都需要建立数学模型来解决,而您建立模型地基础就就是您怎样把实际问题转化为数学问题。再把复杂的问题简单化！这样就更容易的去解决问题、处理问题！在现代大学课程设置中,大部分学生要学习高等数学这门课程,只就是很多学生不知道学这门课程有什么用途,缺乏学习的动力与兴趣,最后逐渐认为数学就是一门非常枯燥的学科。这样不能够激发学生学习数学的兴趣。使学生们慢慢的不重视数学的重要性！高等数学在当今社会有着广泛的应用。如:计算机方面、电子应用方面、航天技术方面、医学方面等等众多领域都起着巨大的作用！在计算机领域,计算机中许多地方要用到数学模型,特别就是算法复杂度,人工智能、业务领域的数学建模等等,都需要有一定的数学功底。随着现代科学技术的发展与电子计算机的应用与普及,数学方法在医药学中的应用日益广泛与深入。医药学科逐步由传统的定性描述阶段向定性、定量分析相结合的新阶段发展。数学方法为医药科学研究的深入发

展提供了强有力的工具。高等数学就是医学院校开设的重要基础课程,用高等数学基础知识解决医学中的一些实际问题的例子,旨在启发学生怎样正确理解与巩固加深所学的知识,并且强化应用数学解决实际问题的意识。使我国的医术在前有的基础上再创辉煌！ “神舟”六号载人飞船成功升空,就是我国航天事业科学求实精神的结晶,就是坚定不移走自主创新之路的结果。载人航天就是当今世界最复杂、最庞大、最具风险的工程,就是技术密集度高、尖端科技聚集的高科技系统工程。而这些庞大的工程都离不开数学,复杂的数字计算、精确的时间等等这些都在数学范围内！其次,数学建模就是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们的学习积极性。把数学建模的思想方法融入数学分析课程教学就是培养学生创新能力与实践能力的一条有效途径,就是当前大学数学课程改革的一个重要方向、我们大学生的思维处于由形式逻辑思维向辨证逻辑思维过渡的阶段,数学建模不仅要求学生在实验、观察与分析的基础上,对实际问题的主要方面做出合理的简化与假设,并且要求她们应用数学的语言与方法将实际问题形成一个明确的数学问题。因此,在高等数学中渗透建模思想,运用运动的、变化的、全面的、发展的观点去观察、分析与解决问题,不仅发展了我们大学生的一般思维能力,还发展了我们的辨证逻辑思维能力。数学建模将实际问题转化为数学问题后,要求学生用数学理论、方法对该问题求解

大学高数学习方法

一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近12年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，尤其是作为数学系的学生，在面对着“数学分析”之类的课程时，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢？学习数学首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学时尤为重要。在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，使得我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现（比如考试不及格），这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。比如说，在“数学分析”一开始学习实数系的确界存在基本定理时，可能会有很多同学花很多时间来思考引入这个定理的目的是什么，但往往因为当时根本没什么基础，所以对于这个问题怎么想也想不通，甚至觉得这个定理没有什么实质的意义。直到后来学到了多元部分的数学分析，以及专业课“实变函数”时，才开始慢慢理解它的真正目的。这里之所以要说明是实数系有确界存在

高等数学学习心得体会_高等数学学习总结

高等数学学习心得体会_高等数学学习总结 ----WORD文档，下载后可编辑修改---- 下面是小编收集整理的范本，欢迎您借鉴参考阅读和下载，侵删。您的努力学习是为了更美好的未来！高等数学学习心得体会篇 1 高等数学是大学工科课程里的一门重要基础课。它的重要性，我相信大家都了解。高等数学是许多课程的基础，特别是与以后的许多专业课都紧密相连。因此，学好高等数学对于一名工科学生来说，至关重要。然而，对于许多同学来说，高等数学是一门头疼的学科。如何学好高等数学呢?下面是我个人在学习过程中的一些心得体会。首先，我觉得高等数学与以前我们高中所学的数学有一点不同。高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。特别是对于定理、公式的推导过程，不仅要弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的经验是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背。第二，学习数学是不能缺少训练的。一定量的课后习题训练，不但可以让我们巩固我们学到的知识点，学会如何在实际中应用我们学到的公式定理，还有助于我们熟悉考试的各种题型。还有，题目并不是越多越好，题海战术不仅浪费大量的时间与精力，而且效果也不好。我的经验是，每做完一道题都要总结一下，特别是做错的题目，这道题的知识点是哪些?应用了哪些公式定理?错在哪里?为什么会做错?学会思考，学会总结，这样做题才能达到事半功倍的效果。最后，学好数学是一个坚持的过程。高等数学的内容环环相扣，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一节一节，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。这样，对于后面的学习会造成很大的影响。高等数学学习心得体会篇 2 随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入

微积分在生活中的应用论文

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微积分在生活中的应用摘要：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为了应用，本篇论文主要讲微积分在生活中的应用，有哪些应用，怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用关键词：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导

绪论作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。一、微积分在几何中的应用微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！ 1.1求平面图形的面积 (1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。例如：求曲线2f x 和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。所以该曲边梯形的面积为

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

高数心得

学习高数的心得体会有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。很多人害怕高数，高数学习起来确实是不太轻松。其实，只要有心，高数并不像想象中的那么难。经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一次提升理解力的好机会。首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。让我们知道高数难，虽然会让我们对它更加重视，但是这无疑也增加了大家对它的畏惧感，觉得自己很可能学不好它，从而失去了信心，有些人甚至把难学当做自己不去学好它的借口。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我觉得要学好高数，一定不能有畏难的情绪。当我们有信心去学好它时，就走好了第一步。坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。就我的体会而言，如果只是想考试考好，不想去深入研究它的话，做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题

610高数大纲

610高等数学考试大纲考试内容：一元微积分、常微分方程一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及函数的性质，复合函数、反函数、隐函数分段函数的性质及其图形。数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限；函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。考试要求： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念 5、了解数列极限和函数极限（包括坐极限和右极限）的概念。 6、理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其无穷小的关系。 7、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，要熟练应用两个重要极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。二、一元函数微分学考试内容：导数的概念、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的导数、高阶导数、微分的概念和运算法则、一阶微分形式的不变性。罗尔定理和拉格郎日中值定理及其应用洛必达（L’Hospital）法则，函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数最大值和最小值。考试要求： 1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义。 2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。 3、了解高阶导数的概念，能求简单函数的高阶导数。 4、了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分的形式的不变性，会求函数的微分。

高等数学在实际生活中的应用

高等数学知识在实际生活中的应用一、数学建模的应用数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。（一）数学建模的一般方法和步骤（1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。（2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。（3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。（4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。（5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并

预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：图1 （二）数学建模的范例例教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？先建立一个非常简单的模型：模型1：先对问题进行如下假设： 1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。 2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。由假设知：

高等数学学习感想

高等数学学习感想一高等数学在工科院校的教学计划中是一门重要的基础理论课程，是大一新生必修的课程，是大学许多种类工科课程的基础，特别是与以后的许多专业课都有着密切的联系，它对于各专业后续课程的学习，以及大学毕业后这类工程技术人员的工作，高等数学课程都起着奠基的作用。大学生在大学的学习中只有掌握高等数学的知识以后，才能比较顺利地学习其他专业基础课程，如物理、工程力学、电工电子学等，也才能学好自己的专业课程。当大学生毕业走向工作岗位后，要很好地解决工程技术上的问题，势必要经常应用到高等数学知识。因为在科学技术不断发展的今天，数学方法已广泛渗透到科学技术的各个领域之中。因此，工科类的大一新生在学习上一个很明确的任务就是要学好高等数学这门课程，为以后的学习和工作打下良好的基础。因此，学好高等数学对于一名工科学生来说，至关重要。然而，高等数学这门课程本质上决定了它的枯燥无味，对于许多同学来说，高等数学是一门头疼的学科。如何学好高等数学呢?在学习高等数学过程中，需要不断探索方法、总结经验。下面是我个人在学习过程中的一些感想。首先，我觉得高等数学与以前我们高中所学的数学有一点不同。高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。特别是对于定理、公式的推导过

程，不仅要弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的经验是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背。第二，学习数学是不能缺少训练的。一定量的课后习题训练，不但可以让我们巩固我们学到的知识点，学会如何在实际中应用我们学到的公式定理，还有助于我们熟悉考试的各种题型。还有，题目并不是越多越好，题海战术不仅浪费大量的时间与精力，而且效果也不好。我的经验是，每做完一道题都要总结一下，特别是做错的题目，这道题的知识点是哪些?应用了哪些公式定理?错在哪里?为什么会做错?学会思考，学会总结，这样做题才能达到事半功倍的效果。最后，学好数学是一个坚持的过程。高等数学的内容环环相扣，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一节一节，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。这样，对于后面的学习会造成很大的影响。

高数心得体会

高数心得体会篇一：高数心得学习高数的心得体会有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。很多人害怕高数，高数学习起来确实是不太轻松。其实，只要有心，高数并不像想象中的那么难。经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。

每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一一次提升理解力的好机会。首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。让我们知道高数难，虽然会让我们对它更加重视，但是这无疑也增加了大家对它的畏惧感，觉得自己很可能学不好它，从而失去了信心，有些人甚至把难学当做自己不去学好它的借口。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我觉得要学好高数，一定不能有畏难的情绪。当我们有信心去学好它时，就走好了第一步。坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。就我的体会而言，如果只是想考试考好，不想去深入研究它的话，做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题就能解决很多同类型的题了。同时，做题不能只是自己一个人冥思苦想，有时候自己的思维走进了死胡同是很难走出来的，当自己做不出来的时候，不妨问问老师或者同学，也许就能豁然开朗了。对于做完的题目，觉得很有价值的，最好是把它摘抄到笔记本上，然后记录一下解题的要点，分析一下题目所体现的思维方式等等，平时有时间就翻看一下，加深一下记忆。