西安工业大学2009级概率论与数理统计考试试题及答案详解

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西安工业大学2010级概率论与数理统计考试试题（A 卷）

注意事项： （1）所有题一律在试卷上做答，第三至第八题要有计算过程； （2）可能用到的数据如下： 1.96, 0.025U =，()2.50.9938Φ=

5小题，每小题3分，总计15分） 1、设 A B 、为任意两个事件，且,()0A B P B ?>，则下列选项必然 成立的是（ ）.

()A ()()P A P A B <； ()B ()()P A P A B ≤ ； ()

C ()

()P A P A B >； ()D ()()P A P A B ≥.

2、设随机变量X 的期望()E X 与方差()D X 都存在，则对任意0ε>， 有（ ）.

()A ()

{}

()

2

D X P X

E X εε

-≥≤

； ()B (){}()2

D X P X

E X εε

-≥≥

；

3、掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为23

，将此硬币连掷4次，则恰好

3次正面朝上的概率为（ ）.

()A 881

; ()B 827

; ()

C 3281

; ()

D 34

.

4、设随机变量)1,(~u N X ，)(~2n Y χ，又X 与Y 独立，令T =

，

则下列结论正确的是（ ）.

()A )1(~-n t T ； ()B )(~n t T ； ()C )1,0(~N T ； ()D ),1(~n F T .

5. 样本()12,,n X X X 取自总体ξ，E ξμ=，2D ξσ=，则（ ）可以 作为2σ的无偏估计.

()A 当μ已知时，统计量()

2

1n

i i X n

μ=-∑；

()B 当μ已知时，统计量()()2

1

1n

i i X n μ=--∑；

()C 当μ未知时，统计量()

2

1n

i i X n

μ=-∑；

()D 当μ未知时，统计量()()2

1

1n

i i X n μ=--∑.

5小题，每小题4分，总计20分） 1. 若4

1)()()(=

==C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 1()8

P A C =, 则事件

A

、B 、C 至少有一个发生的概率为 ;

2. 设二维随机变量(),X Y 的分布律为

则{}0P XY == ；{}P X Y == ;

3. 设连续型随机变量X 的概率密度为：sin , 0()0, x x a f x ≤≤?=?

?其它

则常数a =__________; 6P X π?

?

>

=???

?

__________; 4. 设总体(,0.09)X N μ~，测得一组样本观测值为：12.613.412.813.2 ，

则总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为__________；

5. 设随机变量()2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P ________. 10分）

设甲袋中有3个红球及1个白球，乙袋中有4个红球及2个白球.现从甲袋中任 取1个球（不看颜色）放到乙袋后，再从乙袋中任取1个球，求最后取得红球的概率.

9分）

设连续型随机变量X

的分布函数为()2,0;

0, 0

x

A B e x F x x -?+>=?≤?

试求：（1）, A B 的值； （2）{}11P X -<<； （3）概率密度函数()f x .

分）

设二维随机变量(),X Y 的密度为6,

01;(,)0, x x y f x y <<

其它，

（1）求边缘概率密度()X f x ，()Y f y ； （2）求{}1P X Y +≤.

分）

已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布()21, 3N 和()20, 4N ，且与的

相关系数12

XY ρ-=.设32

X Y

Z =

+. （1）求的数学期望()E Z 和方差()D Z ； （2）求X 与Z 的相关系数X Z ρ； （3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？

分）

设随机变量X 2

, 01

()0, ax bx c x f x ++<

已知()0.15()0.5, D X E X ==，求常数,,.a b c

分）

设总体X 的概率密度为：()1,

01,0,

.

x x f x θθ-?<<=?

?其它, 其中θ未知，

1θ>，12,,n X X X 是从该总体抽取的一个样本.试求θ的极大似然估计.

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2009级概率论与数理统计考试试题（A 卷）

标准答案和评分标准

_____________________________________________________________________

二、填 空 题（20分）

1、0.2;

2、27,

312

; 3、

1,

2

4

、 (12.706,13.294) ; 5、

14

三、解：设=A {从甲袋中任取一个球为红球}，=B {最后从乙袋中任取

一个球为红球}，则

()()

()()

3154, , , 4

4

7

7P A P A P B A P B A =

=

=

=

……….……………4分

由全概率公式有

()()()()()

351419.4

7

4

7

28

P B P A P B A P A P B A =+=

?

+?=

……………10分

四、解：（1） 因为()F x 为连续函数，则

()()2lim

1x

x F A Be -→+∞

+∞=+=，即1A =……………………………………2分

又由()()()20

lim lim 00x x x F x A Be F +

+

-→→=+==，

所以0A B +=，即1B A =-=-…………………………………………4分 (2) {}()()211111P X F F e --<<=--=-……………………………….. 6分

(3) ()22,0,

()0, 0.

x e x f x F x x -?>'==?≤?

…………………………………….…………. 9分 五、解：（1）101,

6,()(,)0,x

X x xdy f x f x y dy +∞-∞

?<

=

=???

??

其它． 6(1),01,

0,x x x -<

＝其它．……………………2分

201,6,()(,)0,01,

3,0,

y Y y xdx f y f x y dx y y +∞-∞

?<

=

=???<

???

其它． ＝其它．………………………….4分

(2)?

?

??

+-=

=

≤+2

/10

1

6),(}1{x x

G

xdy dx dxdy y x f Y X P ………………………6分

?

=+-=+-=

2

/10

2

34/10

2/1]

34[)12(6x x dx x x ……………..8分

其它．,

0,0,0),1)(1(23>>?

??--=--y x e e y x ………………………10分

六、解：因()21, 3X N ，()20, 4Y N ，故1, 0EX EY ==

2

3

DX =，24DY = …………………………………………………2分

则(

)(

)1

,1262

XY Cov X Y -==?=-………………………4分

（1）()()

()

13

23

2

3

E X

E Y X Y E Z E ??=+

=+

=

???………………………………6分

()(

)()()2,3

232X

Y X Y D Z D D Cov =++……………………………8分

()

()

()112,39

432D X D Y

C ov X Y ????

=

++= ? ?????………………10分 (2) ()()()

,,,,

323

2X Y C ov X X C ov X Y C ov X Z C ov X ??=+

=+ ??

?

()16330

3

2

D X =

+-?=-=……………………………12分

,0XZ C ov X Z ρ=

=…………………………………………13分

(3) 因,X Y 均是正态随机变量，其线性组合Z 也是正态随机变量，但

()Z X ,不一定是正态随机变量，所以由0

XZ

ρ=，即,X Z 不相关知X 与Z

不一定相互独立.………………………………………………………15分

七、解：

12

()(),3

2

a b f x dx ax bx c dx c +∞-∞

=

++=

+

+?

?

……………3分 12

()()(),4

32a b c E X xf x dx x ax bx c dx +∞-∞

=

=

++=

++?

?

…………6分 12

2

22

()()(),5

4

3

a b c E X x f x dx x ax bx c dx +∞-∞

==

++=

++?

?

……9分

由()1,f x dx +∞-∞

=?

2

2

()0.5,()()[()]0.4E X E X D X E X ==+=得

1

320.54320.4543a b

c a b c a b c

?++=??

?++=?

??++=??

， 解之得12123

a b c =??

=-??=?…………………………12分

八、解：似然函数为：

()1

1,

n n

i i L x θθθ

-=??

= ???

∏………………………………………………2分

()()1

ln ln 1ln n i i L n x θθθ==+-∑……………………………………4分

()1ln ln 1ln n

i i L n x θθ==+-∑，

ln d L

d θ

1

ln n

i i n

x θ

==+∑，

令

ln 0d L d θ

=，得似然方程为

1

ln 0,n

i i n

x θ

=+=∑ (6)

分

解得：1

?,ln n

i

i n

x

θ==-

∑………………………………………………………8分

θ因此,的极大似然估计量为1

?.ln n

i

i n

X

θ==-

∑………………………………9分