2007年高考数学(理科)试卷及答案(宁夏卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

数学（理科）试卷

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 参考公式： 样本数据1x ，2x ，

，n x 的标准差

锥体体积公式

s =

1

3

V S h =

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

V=Sh

24πS R =，34π3

V R =

其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题:p x ?∈R ，sin x ≤1，则（ ）

A ．:p x ??∈R ，sin x ≥1

B ．:p x ??∈R ，sin x ≥1

C ．:p x ??∈R ，sin x >1

D ．:p x ??∈R ，sin x >1

2．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量

13

22

-=a b （ ） A ．（－2，－1） B ．（－2，1） C ．（－1，0） D ．（－1，2） 3．函数πsin 23y x ?

?=- ??

?在区间ππ2??-????

，的简图是（ ）

4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）

A ．2

3- B ．13

-

C ．

13 D ．

23

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）

A ．2450

B ．2500

C ．2550

D ．2652

6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）

A ．123FP FP FP +=

B ．2

2

2

12

3FP FP FP +=

C ．2132FP FP FP =+

D ．2

2

1

3FP FP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd

+的最小值

是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）

A ．

3

4000cm 3 B ．

3

8000cm 3

C ．2000cm 3

D ．4000cm 3

9

．若

cos 2πsin 4αα=??

- ?

?

?cos sin αα+的值为（ ） A

． B ．12- C ．12 D

10．曲线1

2

e

x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A ．

29e 2

B ．4e 2

C ．2e 2

D ．e 2

20次，三人的测试成绩如下表

s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

A ．s 3>s 1>s 2

B ．s 2>s 1>s 3

C ．s 1>s 2>s 3

D ．s 2>s 3>s 1

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）

A

B

2:2 C

D

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 。 14．设函数(1)()

()x x a f x x

++=

为奇函数，则a = 。

15．i 是虚数单位，

51034i

i

-+=+ 。（用a +b i 的形式表示，a b ∈R ，）

16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D 。现测得BCD BDC αβ∠=∠=，，CD=s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB 。

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点。

（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A —SC —B 的余弦值。

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系x O y 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有两

个不同的交点P 和Q 。

（Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）

如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为

m

S n

，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目。

（Ⅰ）求X 的均值EX ；

（Ⅱ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。

附表：1000010000

()0.250.75k

t

t t t P k C

-==

??∑

21．（本小题满分12分）

设函数2

()ln()f x x a x =++

（Ⅰ）若当x =－1时，f （x ）取得极值，求a 的值，并讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）若f （x ）存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e

ln 2

。

22．请考生在A 、B 、C 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

A （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于

B 、

C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点。

（Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小。

B （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，。 （Ⅰ）把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程。

C （本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲设函数()214f x x x =+--。

（Ⅰ）解不等式f （x ）>2； （Ⅱ）求函数y = f （x ）的最小值。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

数 学（理科）

参考答案

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C

7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B

二、填空题

13．3 14．1- 15．12i + 16．240

三、解答题

17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=-- 由正弦定理得

sin sin BC CD

BDC CBD

=∠∠

所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD β

αβ∠?=

=∠+

在ABC Rt △中，tan sin tan sin()

s AB BC ACB θβ

αβ?=∠=

+

18．证明：

（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以

2

OA OB OC SA ===

，且A O B C ⊥，又S B C △为等腰三角形，故SO BC ⊥， 且

SO SA =

，从而222OA SO SA +- 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥

又AO BO O =．

所以SO ⊥平面ABC （Ⅱ） 解法一：

取SC 中点M ，连结A M O M ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得

O M S C A M S

⊥⊥， OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．

由AO BC AO SO SO

BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC

所以AO OM ⊥

，又2

AM SA =

，

故sin AO AMO AM ∠=

==

所以二面角A SC B --

的余弦值为

3

解法二：

以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．

设(1

00)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，， SC 的中点11022M ??- ??

?，，，

111

101(101)

222

2MO MA SC ????=-=-=-- ? ?????，，，，，，，，

00MO SC MA SC ==，∴··

故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角

A SC

B --的平面角．

3

cos 3

MO MA MO MA MO MA

<>=

=

，··，

所以二面角A SC B --的余弦值为

3

19．解：

（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为

y kx =

代入椭圆方程得

2

2(12

x kx +=

整理得 221102k x ??

+++=

???

① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于

2221844202k k k ??

?=-+=-> ???

，

解得k <或k >．即k 的取值范围为2???--+ ? ?????

，，∞∞ （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，

由方程①，122

12x x k +=-

+ ②

又 1212()y y k x x +=++ ③

而(01)(A B AB =，，

所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，

将②③代入上式，解得2

k =

由（Ⅰ）知2k <-或2

k >，故没有符合题意的常数k 20．解：

每个点落入M 中的概率均为1

4

p =

依题意知1~100004X B ?? ???

，

（Ⅰ）1

1000025004

EX =?

= （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ??

-<

?-< ???

，

0.03410.03(24252575)10000X P P X ??

-

2574

1000010000

2426

0.250.75t t t t C

-==

??∑

2574

2425

1000010000110000

100002426

0.250.75

0.250.75t

t t

t

t t t C

C --===

??-??∑∑ =0.9570-0.0423 =0.9147

21．解：

（Ⅰ）1

()2f x x x a

'=

++， 依题意有(1)0f '-=，故32

a =

从而2231(21)(1)

()3322

x x x x f x x x ++++'==++ ()f x 的定义域为32??

-+ ???

，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；

当1

12

x -<<-时，()0f x '<； 当1

2

x >-

时，()0f x '> 从而，()f x 分别在区间3

1122????---+ ? ?????，，，

∞单调增加，在区间112??

-- ???

，单调减少 （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221

()x ax f x x a

++'=+

方程2

2210x ax ++=的判别式2

48a ?=- （ⅰ）若0?<

，即a <<

()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值

（ⅱ）若0?=

，则a

a =

若a =

()x ∈+

，2

()f x '=

当2x =-时，()0f x '=

，当222x ???∈--+ ? ????

?

，∞时，()

0f x '>，所以()f x 无极值

若

a =)x ∈+，()

0f x '

=

>，()f x 也无极值 （ⅲ）若0?>，即a

>

或a <，则22210x

ax ++=有两个不同的实根

1x =

2x =

当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值

当a >

1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由

根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．

综上，()f x 存在极值时，a

的取值范围为)+

()f x 的极值之和为

22121122()()ln()ln()f x f x x a x x a x +=+++++

21ln 11ln 2ln 22

e

a =+->-=

22． A 解：

（Ⅰ）证明：连结OP OM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以

OP AP ⊥

因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以

OM BC ⊥

于是180OPA OMA ∠+∠=°，由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A

P O M ，，，四点共圆 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=° 所以90OAM APM ∠+∠=° B 解：

解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长

度单位。

A

（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ= 所以224x y x +=

即2240x y x +-=为⊙1O 的直角坐标方程。 同理2240x y y ++=为⊙2O 的直角坐标方程。

（Ⅱ）由2222

4040

x y x x y y ?+-=??++=??，

解得 1100x y =??

=?，

，

222

2

x y =??

=-? 即⊙1O ，⊙2O 交于点(00)，

和(22)-，过交点的直线的直角坐标方程为y x =- C 解：

（Ⅰ）令214y x x =+--，则

1521334254x x y x x x x ?

---??

?

=--<

?+??

， ，， ，， ．≤≥ ．．．．．．3

作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和5

23?? ???

，

所以2142x x +-->的解集为5(7)

3??

-∞-+∞ ???

，， （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当1

2

x =-时，214y x x =+--取得最小值92

-

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