2014年高考数学(文)分类汇编--函数与导数部分及详细答案
2014高考数学分类汇编--函数与导数
函数及其表示
14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝
?????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1 则f ????294＋f ????416＝______． 14.5 16 、 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e － x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x | 2．B 、 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率． (1)求p (100)； (2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式； (3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值． 21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192 . (2)F (n )＝?????n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99， 3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014. (3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0； 当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ???? ?0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ?????0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N * ，b ∈N ， n －80，89≤n ≤98， 20，n ＝99，100. 由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0. 当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝1 19 . 当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k 20k ＋9关于k 单调递增，故 当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8 169 . 又 8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119 . 3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1 log 2x －1 的定义域为( ) A ．(0，2) B ．(0，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 3．C B2 反函数 5．[2014·全国卷] 函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R ) 5．D B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e － x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x | 2．B 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1 x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝2－ x 4．A 19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e － x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数． (2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． (3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0) －1 与a e －1 的大小，并 证明你的结论． 19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e － x ＋e －(－x )＝e － x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数． (2)由条件知 m (e x ＋e － x －1)≤e － x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝ － 1 t －1＋1 t －1 ＋ 1 对任意 t >1成立． 因为t －1＋1 t －1 ＋ 1≥2 （t －1）·1t － 1 ＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1 ＋ 1 ≥－1 3， 当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是? ???－∞，－1 3. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1 e x ＋3a (x 2－1)． 当 x ≥1时，e x －1 e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因 此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e － 1－2a . 由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立， 当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1 －2a <0, 即 a >e ＋e － 12 . 令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1 x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1. 当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数； 当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)． 注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)?(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x ) 所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈????e ＋e －1 2，e ?(1，e)时， h (a )<0， 即a －1<(e －1)ln a ，从而e a － 1 1； ②当a ＝e 时，e a － 1＝a e － 1； ③当a ∈(e ，＋∞)?(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a － 1>a e － 1. 综上所述，当a ∈????e ＋e －1 2，e 时，e a －1a e － 1. 15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题： ①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“?b ∈R ，?a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值； ③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 15．①③④ 21．、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1. 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤1 2时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e 2 时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤1 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12＜a ＜e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2 时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则 g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点． 由(1)知，当a ≤1 2时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12＜a ＜e 2 . 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1. 所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1. B4 函数的奇偶性与周期性 4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－ x D ．f (x )＝2x ＋2－ x 4．D 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝ ? ????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1 416＝______． 14.5 16 5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －1 2x B ．x 3sin x C ．2cos x ＋1 D ．x 2＋2x 5．A 9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1，3} B ．{－3，－1，1，3} C ．{2－7，1，3} D ．{－2－7，1，3} 9．D 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1 x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝2－ x 4．A 15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________． 15．－32 19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e － x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数． (2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． (3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0) －1 与a e －1 的大小，并 证明你的结论． 19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e － x ＋e －(－x )＝e － x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数． (2)由条件知 m (e x ＋e － x －1)≤e － x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝ － 1 t －1＋1 t －1 ＋ 1 对任意 t >1成立． 因为t －1＋1 t －1 ＋ 1≥2 （t －1）·1t － 1 ＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1 ＋ 1 ≥－1 3， 当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是? ???－∞，－1 3. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1 e x ＋3a (x 2－1)． 当 x ≥1时，e x －1 e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因 此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e － 1－2a . 由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立， 当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1 －2a <0, 即 a >e ＋e － 12 . 令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1 x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1. 当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数； 当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)． 注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)?(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x ) 所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈????e ＋e －1 2，e ?(1，e)时， h (a )<0， 即a －1<(e －1)ln a ，从而e a － 1 1； ②当a ＝e 时，e a － 1＝a e － 1； ③当a ∈(e ，＋∞)?(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a － 1>a e － 1. 综上所述，当a ∈????e ＋e －1 2，e 时，e a －1a e － 1. 12．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 12．D 15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________． 15．3 5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数 5．C 13．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝ ? ????－4x 2 ＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ????32＝________． 13．1 B5 二次函数 10．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 10.? ?? ? － 22，0 14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 14.3 2 B6 指数与指数函数 5．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-2 A B C D 图1-3 8．B 3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 3．D 15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝???? ?e x －1 ，x ＜1，x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是 ________． 15．(－∞，8] 5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x y 3 B ．sin x >sin y C ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋1 5．A 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝x 12 D ．f (x )＝????12x 7．B 12．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 12.10 7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 7．B 9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( ) A ．[5，2 5 ] B ．[10，2 5 ] C ．[10，4 5 ] D ．[25，4 5 ] 9．B 4．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π －2 ，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a 4．C B7 对数与对数函数 12．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． 12．(－∞，0) 11．[2014·安徽卷] ????1681－34＋log 354＋log 3 4 5＝________. 11.27 8 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( ) A B C D 图1-2 8．D 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-2 A B C D 图1-3 8．B 13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5 ＝________． 13．5 3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 3．D 6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( ) 图1-1 A ．a >1，x >1 B ．a >1，0 C ．01 D ．0 7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 7．B 9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 9．D B8 幂函数与函数的图像 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( ) A B C D 图1-2 8．D 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-2 A B C D 图1-3 8．B 15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若?x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________． 图1-4 15.??? ?0，1 6 13．、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝????x 2－2x ＋1 2.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 13.??? ?0，1 2 15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝?????e －，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是 ________． 15．(－∞，8] 6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( ) 图1-1 A ．a >1，x >1 B ．a >1，0 C ．01 D ．0 B9 函数与方程 6．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6 x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，4) D ．(4，＋∞) 6．C 7．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9 D ．c ＞9 7．C 10．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝?????1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且 仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.????－94，－2∪????0，1 2 B.????－114，－2∪????0，12 C.????－94，－2∪????0，2 3 D.????－114，－2∪????0，23 10．A 15．[2014·福建卷] 函数f (x )＝? ????x 2 －2，x ≤0， 2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________． 15．2 9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1，3} B ．{－3，－1，1，3} C ．{2－7，1，3} D ．{－2－7，1，3} 9．D 13．、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝????x 2－2x ＋1 2.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 13.??? ?0，1 2 4．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝? ????2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( ) A.14 B.1 2 C ．1 D ．2 4．A 15．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝?????x 2 ＋2x ＋2，x ≤0， －x 2， x ＞0. 若f (f (a ))＝2，则a ＝________. 15.2 21．[2014·全国卷] 函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 21．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． (i)若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f (x )在R 上是增函数． (ii)由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根； x 1＝ －1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a . 若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数； 当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数． 若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数； 当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数． (2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数． 当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－5 4≤a ＜0. 综上，a 的取值范围是??? ?－5 4，0∪(0，＋∞)． 14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝? ????|x 2 ＋5x ＋4|，x ≤0， 2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________． 14．(1，2) B10 函数模型及其应用 8．[2014·北京卷] 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，图1-2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) 图1-2 A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟 8．B 10．[2014·陕西卷] 如图1-2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已 知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( ) 图1-2 A ．y ＝12x 3－1 2x 2－x B ．y ＝12x 3＋1 2x 2－3x C ．y ＝1 4x 3－x D ．y ＝14x 3＋1 2x 2－2x 10．A B11 导数及其运算 21．、、[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3 零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ） b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围． 21．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －e x 2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2， ∴f (x )的极小值为2. (2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－1 3x 3＋x (x >0)， 设φ(x )＝－1 3 x 3＋x (x ≥0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)， 当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝2 3 . 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知 ①当m >2 3 时，函数g (x )无零点； ②当m ＝2 3时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0 3时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >2 3 时，函数g (x )无零点； 当m ＝2 3或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0 3 时，函数g (x )有两个零点． (3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ） b －a <1恒成立， 等价于f (b )－b x －x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2 ＋x ＝－????x －122 ＋1 4 (x >0)恒成立， ∴m ≥1 4????对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是????14，＋∞. 20．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性； (2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝ －1＋4＋3a 3 ，且x 1 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x 故f (x )在? ????－∞，－1－4＋3a 3和 ? ???? －1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减， 在? ?? ??－1－4＋3a 3， －1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．