【最新资料】概率论与数理统计学1至7章课后答案
【最新资料】概率论与数理统计学1至7章课后答案第二章作业题解:
2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.
解:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12 由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
21P(X,3),P(X,11),P(X,2),P(X,12),并且,;; 3636
43P(X,5),P(X,9),P(X,4),P(X,10),;; 3636
56P(X,6),P(X,8),P(X,7),;。 3636
6,|7,k|P(X,k),即 (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 36
,k2.2 设离散型随机变量的概率分布为试确定常数. aP{X,k},ae,k,1,2?, ,1,,ae,k,1解:根据,得,即。 P(X,k),1ae,1,,,1e1,00k,k,
a,e,1 故
2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率:
(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.
A,B(i,1,2)解:分别用表示甲乙第一、二次投中,则ii
PAPAPAPAPBPBPBPB()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,,,,,,,,,12121212 两人两次都未投中的概率为:, P(AABB),0.3,0.3,0.6,0.6,0.03241212 两人各投中一次的概率为:
P(AABB),P(AABB),P(AABB),P(AABB),4,0.7,0.3,0.4,
0.6,0.20161212122121121221
P(AABB),0.0784两人各投中两次的概率为:。所以: 1212
0.0324,0.2016,0.0784,0.3124(1)两人投中次数相同的概率为 (2) 甲比乙投中的次数多的概率为:
PAABBPAABBPAABBPAABBPAABB()()()()(),,,,
12121221121212121212 ,,,,,,,,,,20.490.40.60.490.3620.210.360.562 8
k2.4 设离散型随机变量的概率分布为,求 P{X,k},,k,1,2,3,4,5X15
(1)P(1,X,3)(2)P(0.5,X,2.5)
1232P(1,X,3),,,, 解:(1) 1515155
121 (2) ,,, P(0.5,X,2.5),P(X,1),P(X,2)15155
12.5 设离散型随机变量的概率分布为,求 P{X,k},,k,1,2,3,?,Xk2
(1)P{X,2,4,6?};(2)P{X,3}
1111111(1){2,4,6}(1) 解:PX,?,,,?,,,,?, 2462243222222
1(2)P{X,3},1,P{X,1},P{X,2}, 4
2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出
信号, 求下列事件的概率:
(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.
解:(1) P(X,3),P(X,3),P(X,4)
334 ,C0.4,0.6,0.4,0.17924
(2) P(X,3),P(X,3),P(X,4),P(X,5)
332445 . ,C0.4,0.6,C0.4,0.6,0.4,0.3174455
2.7 某城市在长度为t (单位:小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参
数为0.5t 的泊
松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率:
(1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;
(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾.
k,,,,1.5PXke(),,e解:(1) ,由题意,,,,,,0.531.5,0k,所求事件的概率为. k!
0,,,,,,,,,,,,,,0.541.5PXeeee(2)11,,,,,,,(2) , 由题意,,所求事,0!1!
,2件的概率为. 13,e
2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设
备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01,假设
一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发
生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99,
解:设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X,则。
X~B(180,0.01)依题意,设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即,也即
P(X,m),0.99
P(X,m,1),0.01
,,180,0.01,1.8因为n=180较大,p=0.01较小,所以X近似服从参数为的泊
松分布。查泊松分布表,得,当m+1=7时上式成立,得m=6。
故应至少配备6名设备维修人员。
2.9 某种元件的寿命X(单位:小时) 的概率密度函数为:
1000,,1000x,,2 fx(),x,
,0,1000x,,
求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。
解:一个元件使用1500小时失效的概率为
15001500100010001 P(1000,X,1500),dx,,,2,1000x3x1000
1Y~B(5,) 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y,则。所求的概率为 3 1280223PYC(2)()(),,,,。 533243
2.10 设某地区每天的用电量X(单位:百万千瓦时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数,
为:
2,12(1),01,xxx,,,fx(), ,0,其他,
假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的,
供电量上升到90万千瓦时, 每天供电量不足的概率是多少? ,
解:求每天的供电量仅有80万千瓦时, 该地区每天供电量不足的概率,只需要求出该地区,
用电量X超过80万千瓦时(亦即X0.8百万千瓦时)的概率: ,,,
0.80.82PXfxdxxxdx(0.8=1-P(X0.8=1-()112(1),)),,,,,,,,0
2340.8,,,,,1(683)0.0272xxx0
若每天的供电量上升到90万千瓦时, 每天供电量不足的概率为: ,
0.90.92PXfxdxxxdx(0.9=1-P(X0.9=1-()112(1),)),,,,,,,,0
2340.9,,,,,1(683)0.0037xxx0
22.11 设随机变量求方程有实根的概率. xKxK,,,,2230KU~(2,4),,
22解:方程有实根,亦即,xKxK,,,,2230,,,,,,,,48124(3)(1)0KKKK
2KK,,,,31显然,当时,方程有实根;又由于所xKxK,,,,2230KU~(2,4),, ,,,,,1(2)431求概率为:。 ,4(2)3,,
2.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X(单位:小时) 服从参数为0.005 的指数分布, 求下列
事件的概率:
(1) 发射管寿命不超过100 小时;
(2) 发射管的寿命超过300 小时;
(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.
解:(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率:
100100,,,xx0.0050.0050.5=0.39 PXedxee(100)0.0051,,,,,,,00
(2) 发射管的寿命超过300 小时的概率:
,,1.51.5 PXPxee(300)1(300)1(1)0.223,,,,,,,,,
(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.
,,,0.50.51.5。 (1)()0.15,,,eee
2.13 设每人每次打电话的时间(单位:分钟) 服从参数为0.5 的指数分布. 求282 人次所打
的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率.
解:设每人每次打电话的时间为X,X~E(0.5),则一个人打电话超过10分钟的概率为
,,,,,0.5x,0.5x,5P(X,10),0.5edx,,e,e ,1010
,5又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y,则。 Y~B(282,e)
,5因为n=282较大,p较小,所以Y近似服从参数为的泊松分布。 ,,282,
e,1.9
所求的概率为
P(Y,2),1,P(Y,0),P(Y,1)
,1.9,1.9,1.9 ,1,e,1.9e,1,2.9e,0.56625
22.14 某高校女生的收缩压X(单位:毫米汞柱) 服, 求该校某名女生:
N(110,12)(1) 收缩压不超过105 的概率;
(2) 收缩压在100 至120 之间的概率.
105,110解:(1) P(X,105),,(),,(,0.42),1,,(0.42)12
,1,0.6628,0.3372
120,110100,110(2)P(100,X,120),,(),,() 1212
。 ,,(0.83),,(,0.83),2,(0.83),1,2,0.7967,1,0.5934
2.15 公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01 设计的, 设成年男性
的
262身高X(单位:厘米) 服从正态分布N(170,), 问车门的最低高度应为多少? 解:设车门高度分别为。则: x
x,170PXx()10.010.99(),,,,,, 6
x,170,2.33查表得,,因此,由此求得车门的最低高度应为184厘
米。 ,,(2.33)0.996
2.16 已知20 件同类型的产品中有2 件次品, 其余为正品. 今从这20 件产品中任意抽取4
次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取出次品的件数, 求X 的概率分布与分
布函数.
解:X的可能取值为0,1,2。
21817161512C318PX(0),,,,因为; ; PX(2),,,42019181719C9520
12332PX(1)1,,,,, 199595
所以X的分布律为
X 0 1 2
12323P 199595
X的分布函数为
00x,,
,12,01,,x,19 Fx(),,92,12,,x,95
,12x,,
2.17 袋中有同型号小球5 只, 编号分别为1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示
取
出的3只中的最小号码, 求随机变量X 的概率分布和分布函数. 解:X的可能取值为1,2,3。
2C6114因为; ; P(X,1),,,0.6P(X,3),,,0.1331010CC55
P(X,2),1,0.6,0.1,0.3
所以X的分布律为
X 1 2 3
P 0.6 0.3 0.1
的分布函数为 X
0x,1,
,0.61,x,2, F(x),,0.92,x,3,
,1x,3,
2.18 设连续型随机变量X 的分布函数为:
0,1,x,,
,Fxxxe()ln,1,,,, ,
,1,xe,,
求(1),, PX{2},PX{03},,PX{22.5}.,,
X)求(2的概率密度函数。 fx()
解:(1) P(X,2),F(2),ln2
P(0,X,3),F(3),F(0),1,0,1
P(2,X,2.5),F(2.5),F(2),ln2.5,ln2,ln1.25
,1,xxe1,,,fxFx(),(),(2) ,0其它,
2.19 设连续型随机变量X 的分布函数为:
2x,,2abex,0,,,,, Fx(),,
,0,0.x,,,
(1)求常数 ab,
(2)求的概率密度函数。 Xfx()
(3)求 PX{ln4ln16}.,,
a,1,limF(x),F(0)解:(1)由及,得,故a=1,b=-1. F(,,),1,x,0a,b,0, 2x,,,2xex,0,f(x),F(x),(2) ,
,0x,0,
(3) P(ln4,X,ln16),F(ln16),F(ln4)
ln16ln4,,122 。 ,(1,e),(1,e),,0.254
2.20设随机变量X 的概率分布为:
,,3,X 0 22
0.3 0.2 0.4 0.1 p k
22解:(1) Y的可能取值为0, π, 4π。
,P(Y,0),P(X,),0.2因为; 2
2 ; P(Y,,),P(X,0),P(X,,),0.7
3,2P(Y,4),P(X,),0.1, 2
所以Y的分布律为
22Y 0 π 4π
P 0.2 0.7 0.1 (2) Y的可能取值为-1,1。
P(Y,,1),P(X,0),P(X,,),0.7因为 ;
3,, P(Y,1),P(X,),P(X,),0.322所以Y的分布律为
Y -1 1
P 0.7 0.3
设随机变量的分布函数为 2.21 X
01x,,,
,0.311,,,x, Fx(),,0.812,,x,
,12x,,
(1)求X的概率分布; (2)求的概率分布。 YX,
解:(1) X的可能取值为F(x)的分界点,即-1,1,2。因为 ;; P(X,,1),0.3P(X,1),0.8,0.3,0.5P(X,2),1,0.8,0.2 所以X的分布律为
X -1 1 2
P 0.3 0.5 0.2
(2)的可能取值为1,2。 Y
因为 ; P(Y,1),P(X,,1),P(X,1),0.8
P(Y,2),P(X,2),0.2
所以Y的分布律为
Y 1 2
P 0.8 0.2
Y2.22 设随机变量,求下列随机变量概率密度函数: XN~(0,1) ,X2Ye,YX,(1) (2); (3). YX,,21;
2x,12解:(1) 已知 ()fx,eX2,
y,1y,1F(y),P(Y,y),P(2X,1,y),P(X,),F()因为 YX22
y,1y,11y,1,f(y),f()(),f()求导得 YXX2222
1y,2()2(1)y,2,,11182 ,e,e22,22,
2所以Y参数分别为-1, 2服从正态分布。
2x,12(2) 已知 ()fx,eX2,
,XFyPYyPeyPXy()()()(ln),,,,,,,Y2t,因为
2ln,ye,,,,,,,,,,,,PXyPXyFydt(ln)1(ln)1(ln)1X,,,,2 2lnx,,112ey,0,,fy(),y,2,Y求导得 ,0,0;y,,
2x,12(3) 已知 ()fx,eX2,
2FyPYyPXyPyXy()()()(),,,,,,,,Y
,,,FyFy()()XX
y,,12ey,0,,fy(),2y,,Y求导得 ,0,0;y,,
1,,0,,x,(),fx2.23解:(1)已知 ,X,
,0其他,
yy
22 F(y),P(Y,y),P(2lnX,y),P(X,e),F(e)YX
yyyy12222,f(y),f(e)(e),ef(e)求导得 YXX2
yyy12220,e,,fe,因为当,即时,;当y取其他值时。 y,2ln,()f(e),0XX, y,12,ey,,2lnf(y),所以为所求的密度函数。 ,Y2,,0其他,
二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充:
(1)离散X设离散型随机变量的可能取值为X(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事k
件(X=X)的概率为型随机变k
P(X=x)=p,k=1,2,…, kk量的分布
X则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形律式给出:
Xx,x,?,x,?12k|P(X,xk)p1,p2,?,pk,?。
显然分布律应满足下列条件:
,
p,1k,pk,0k,1,2,?,k1(1),, (2)。 (2)连续F(x)f(x)xX设是随机变量的分布函数,若存在非负函数,对任意实数,
型随机变有
x量的分布F(x),f(x)dx,,,密度,
f(x)XX则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
f(x),01? 。
,,f(x)dx,1,,,2? 。
(3)离散 P(X,x),P(x,X,x,dx),f(x)dx与连续型
随机变量P(X,xk),pk积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离
f(x)dx的关系
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布设为随机变量,是任意实数,则函数 xX
函数 F(x),P(X,x)
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间的概率。分布P(a,X,b),F(b),F(a)(a,b]
函数表示随机变量落入区间(– ?,x]内的概率。 F(x)
分布函数具有如下性质:
1? ; 0,F(x),1,,,,x,,,
2? 是单调不减的函数,即时,有 ; F(x)x1,x2F(x1),F(x2)
F(,,),limF(x),0F(,,),limF(x),13? , ; x,,,x,,,
4? ,即是右连续的; F(x)F(x,0),F(x)
5? 。 P(X,x),F(x),F(x,0)
F(x),p对于离散型随机变量,; ,kx,xk
x
对于连续型随机变量,。 F(x),f(x)dx,,,
(5)八大0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
分布
二项分布在重贝努里试验中,设事件发生的概率为。事件发生npAA 的次数是随机变量,设为,则可能取值为。 0,1,2,?,nXX
kkn,k,其中P(X,k),P(k),Cpqnn
, q,1,p,0,p,1,k,0,1,2,?,n
则称随机变量n服从参数为,的二项分布。记为pX
。 X~B(n,p)
k1,kn,1k,0.1当时,,,这就是(0-1)分P(X,k),pq
布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布设随机变量的分布律为 X
k,,,,,0,,, ()PX,k,ek,0,1,2?!k
,则称随机变量服从参数为的泊松分布,记为或X~,(,)X
,者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n??)。超几何分布
knk,k,0,1,2,l?C,CMNM, P(X,k),,nl,min(M,n)CN
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。几何分布
k,1,其中p?0,q=1-p。 P(X,k),qp,k,1,2,3,?
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。均匀分布 f(x)X设随机变量的值只落在[a,b]内,其密度函数在[a,b]
1上为常数,即 b,a
1,a?x?b ,,f(x),b,a, 其他, ,0,,
X则称随机变量在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为