第四章。多缝夫琅和费衍射和光栅

§5多缝夫琅和费衍射和光栅

狭义来说，平行等宽而又等间隔的多狭缝即为衍射光栅；广义上，任何装置，只要能起等宽而又等间隔的分割波振面的作用，则均称为衍射光栅。

图34 反射光栅图35 透射光栅 5.1多缝夫琅和费衍射（衍射光栅） 1实验装置及衍射图样

图36 实验装置原理简图

图37 几种缝的光栅衍射图样

2N =缝干涉强度分布

5N =缝干涉强度分布

9N =缝干涉强度分布

图38 干涉强度分布图样

=N 20

=N 6

=N 5

=N 3

=N 2=N 1

-=m 0=m 1

=m 0

4I ?I

1-=m 0=m 1

=m 025I ?I

2 光栅强度分布

对光栅中每一狭缝来说，单缝衍射结果完全适用。另一方面，由于光栅中含有大量等面积的单衍狭缝，所以，各狭缝间发出的光波之间还要发生干涉。

图39 光栅干涉实验装置原理简图

光栅的衍射条纹应看作是衍射与干涉的总效果。L 2焦面上任一点的光强度等于由N 个相干光在该点所生的干涉光强度与宽度为a 的单缝的夫琅和费衍射在该点所生的光强度的乘积。

我们已经知道，单缝衍射的光强度及振幅为

220sin I a a θθαα??== ???

（4－105）

sin a a θα

= （4－106）

其中 s i n /a απθλ= (4－107) 我们已经知道了单缝衍射产生的振幅a θ，下面来计算N 个缝产生振动的迭加。相邻衍射光线（对应点）间的光程差、位相差分别为:

sin d θ?= 2sin d π

δθλ

（4－108）

则合振幅可用矢量图计算

12sin a OB OC θβ== 2s i n a OC θβ

则 2sin N OB OC N β=

图40 矢量图计算振幅

d a b

2N N δβ

N 缝合振幅为： 2sin N A OB OC N θβ==

2sin 2sin a N θββ

sin sin N a θ

N 缝的强度分布为：2

2sin sin N I a θθββ??

= ???

20sin sin sin N a αβαβ????= ? ?????

(4-109) 其中: sin a πθαλ=

s i n d πθ

βλ

= (4-110) 可见，透镜焦面上任一点的光强度，等于由N 个相干光在该点所生的干涉光强度与宽度为的单缝的夫琅和费衍射在该点所生的光强度的乘积。只考虑单缝衍射强度分布

只考虑双缝干涉强度分布

双缝光栅强度分布

1-01k 1

I I 2

-2

3-03

6-60

I I 1

图41 干涉强度分部对比 3 光栅方程式

（1）光栅方程式是应用光栅的基本公式，是合成光强为最大的必要条件。

由多光束干涉原理，当k βπ=()0,1,2,k =±± 时, sin 0sin 0N ββ==，

，由罗必塔法则可得

sin sin N N β

()2

Max I Na θ= （即单缝衍射的N 2

倍）（4－111）

垂直入射光最大（在满足下式θ方向上出现一个主极大）

s i n

d k θλ=± ()0,1,2,k = (4－112) d a b =+为光栅常数，此式即为光栅方程式，θ不能大于900，k

限个极大。

（2）多光束干涉中时

s i n

0N β=而sin 0β≠缝间干涉因子为0 ,min 0I = 即在满足下式θ的方向上:

sin d k N

θ'

=± （4－113）

(,2,3,k N N N '≠ 或1,2,1,1,,21,21,)k N N N N '=-+-+

可见，每两个主级强之间有N-1个极小(I=0)；相邻暗纹间有一次极大，故共

有N-2个次极大。

多缝干涉为零的点，合成光强亦必为零，故（4－113）式为合成光强为零的充分条件。 4 缺级现象

满足光栅方程式，应产生主最大，但若该方向恰为单缝衍射最小亦满足下式

1-01

k 1

I I

时，则合成光强为零，发生缺极现象：

缝间干涉极大位置 s i n

d k θλ=± 0,1,2,k = （4－114）单缝衍射极小位置 sin a k θλ'=± 1,2,k '=

（4－115） d k a k =' d

k k a

'= ()1,2,k '= （4－116）例：

=缺级4,8,12,k =

图42 缺极产生示意图

光栅衍射图样是以单缝夫琅和费衍射分布为包络线的多缝干涉实际上成为细线的一些主最大和在其间由许多次最大形成的相当弱的背景而构成的。主最大半角宽：

利用计算最靠近主最大的最小的方向与该主最大方向间的夹角θ?，我们即

可确定主最大的半宽的角度值，第k 级主最大在满足下式的方向sin k k d

θ=

最靠近它的最小的级次'k 应为1kN +，由（4－113）式

图43 缺极光强分部图

()(

)s i n 1k d k N N λ

θθ+?=+ (4－117) 利用cos 1θ?≈,sin θθ?≈?（4－116）（4－117）两式相减得: c o s k

Nd λ

θθ?= (4－118)

5.复振幅计算黑白光栅和正弦光栅

设衍射光栅具有一维周期性结构，即在该处波前∑上光瞳函数()

0x U 是沿x 方向的周期性函数，空间周期为d 。

将∑分割成宽度为d 的N 个窄条，1∑，2∑,…N ∑，以各窄条为衍射单元，考虑衍射角为θ方向上透镜焦面上的P θ点,各单元中心到点P θ

的光程分别为: 0

k =k

21sin L L d θ=+ 312sin L L d θ=+ 1(1)sin N L L N d θ=+-

则P θ点的总复振幅(菲涅耳衍射公式) ()

()0ikr x U c U e dx θ∑

=? ()

0j j

ikr

j x j

c U

e dx ∑=∑?

（4－119）

sin j j j r L x θ=-,j x 从各单元中心算起，故:

0()exp()j j

x j j U ikr dx ∑

? ()()

0exp sin j

j j

ikL j j x e U ikx dx θ∑=-? ()

()02

exp sin j

d ikL x d e

U ikx dx θ-=-?

(4－120) 因为()0x U 的周期性，积分对各单元都一样，故将j

x 的下标略去，代入（4－119）式，得：

()()

01/2

()

exp(sin )j

d ikL x j d U c

e U ikx dx θθN

=-=∑-?

()()N U θθ= (4－121) 其中 ()

()

()/2

0/2

exp sin d x d U c U ikx dx θθ-=-?

(4－122) 称为单元衍射因子

()

j N

ikL j N e θ==∑ ()1s i n 2s i n (1)s i n

1i k L i k d i k d N i k d e e

e e θθθ-

=++++ （4－123）

称为N 元干涉因子。

引入sin /d βπθλ=则sin 2kd θβ=.由等比级数公式:

()

()()

121241N i ikL i i N e e e e βββθ-=++++ 1

2211Ni ikL i e e

e ββ

-=-

2211iN i Ni ikL i iN i e e e e

e e e

ββββββ??????-= ?????-??????

()1

1Ni Ni N i ikL i i e e e

e e

ββ

----=- (4－124) 令位相()()10(1)kL N kL θθ?β=+-=

()()101/L L N k θβ=+- 为光栅中心O 到P θ

的光程。则 ()()()

i N e N ?θθθ=

sin sin N N θββ

（N θ

的振幅）（4－125）即为缝间干涉因子。

衍射单元性质要用波前上的光瞳函数()0x U 来表征。对缝宽为a ()

0x U = 常数 /2/2a x a -<< ()00x U = /2,/2x a x a <-> 即()

0x U 为一矩形阶跃函数对光瞳函数为矩形阶跃函数，单元衍射因子为

()

sin /2

a ikx a U e dx θθ--∝?

()s i n /2s i n

s i n i k a i k a e e ik θθθ

sin α

∝

(4－126)

sin sin /2a ka πθ

αθλ

，即为前面讲到的单缝因子。正弦形衍射单元光瞳函数 ()

01cos(2/)x U x d π=+ 0x = 0()2x U = /2x d =± 0()0x U = 对正弦光栅，单元衍射因子

sin ()

/221cos d ikx d x U e dx d θθπ--??∝+ ??

2/2/sin /211122d i x d i x d ikx d e e e dx ππθ

---??=

++ ???? ()sin sin 11sin()

22βπβ

βπβ

βπβπ

-+∝

-+ (4－127) 其中sin /2sin /kd d βθπθλ==

可见，()U θ 由三项组成，每项函数形式与单缝衍射因子一样，只是缝宽和中心位置不同，三项中心分别位于0,βπ=±处，这正是()N θ 的0,1±主极强所在处。另外，()N θ 的其他主极大都与()U θ 的零点重合。()U θ ，()

N θ 相乘结果，只剩下0,1±三级主极强。

图45 光栅衍射强度分部

§5.2光栅光谱仪（grating spectrometer)

5.2.1斜入射时的光栅方程式

上节已经指出，正入射时的光栅方程式为：

s i n ,0,1,2,3.d k k θλ=±= （4－128）

光栅方程式为决定主最大方向的公式，是应用光栅时的基本公式。式中左端

sin d θ代表相邻光束在θ方向上的光程差，当它等于波长整数倍时，在θ方向产

生最大。

因为不论在透射或反射光栅中，甚至在凹面反射光栅中，当入射光线与光栅法线成?角时，根据相邻两光束光程差的计算即可得斜入射时的光栅方程式： ()s i n s i n d k ?θλ±= (4－129) 式中“+”号表示透射或反射光线与入射光线在法线同侧；“-”号表示透射或反射光线与入射光线在法线两侧。

图46 5.2.2光栅光谱

由光栅方程式 s i n

d k θλ=± ()s i n s i n d k ?θλ±=±

可知，对给定d 的光栅，不同波长的同一级主最大，除第零级外，均不重合；并且按波长的次序，自零级开始向左右两侧由短波向长波地散开。

1．光栅光谱

当以复色光照射光栅时，在透镜焦平面上得到该复色光所有组分的、按波长次序排列的主最大的细亮线，对每一级(k )都有一组这样主最大的细亮线，我们称光栅对复色光的这种衍射图样为光栅光谱。

红（C ），黄（D ），紫（F ）三种单色光的复色光入射到光栅时所得的光栅光谱示意图

图47 三种单色光组成复色光的光栅光谱示意图

中央亮条纹是三种波长光的第零级主最大，左右两侧各分布着第一级()1k =± ，第二级 ()2k =± ，第三级()3k =±的F 、D 、C 三种主最大的最亮线。第二、三级光谱线彼此有部分重叠。

图48 白光的光栅光谱

当1λ的第1k 级光谱与2

λ的第2k 级光谱重叠在某一位置时，必满足

s i n

1122

d k k θλλ== （4－130）例：4000A

的第三级光谱与波长为6000A 的第二级光谱重叠，并与波长为12000A

（近红外线）的第一级重叠，这种重叠现象对光栅应用带来许多麻烦。 2．光栅光谱与棱镜光谱的区别

（1）棱镜光谱是零级光谱，光栅光谱中没有零级光谱。

图49 棱镜光谱

（2）光栅光谱是正比光谱，棱镜光谱是非正比光谱。

由光栅方程式，在θ不大的情况下，光栅光谱中不同波长光的位置，正比于波长，波长大一倍的光谱距零级主最大的距离亦约远一倍。

s i n d k θλ=± 11

1:k d λλλθ≈

2:k d

λλλθ≈

2λλθλθλ=

k k k f x f k d

λλθ== 5.2.3色散本领色分辨本领（1）色散本领(dispersion power) 问题：对一定波长差的两条谱线

δλ其角间隔?δθ= 幕上线间距 ?l δ=

定义：角色散本领为D θδθ

δλ=

（4－131）线色散本领为l l

D δδλ= （4－132）

设光栅后的会聚透镜的焦距为f ，则l f δδθ=则线色散本领与角色散本领的关系为l D fD θ= （4－133）光栅色散本领计算：

s i n d k θλ= c o s k d k θδθδλ=

则光栅角色散本领为：cos k

D d θδθδλθ=

（4－134）线色散本领为：cos l k

D fD d θθ==

（4－135）

可见，光栅的角、线色散本领都与光栅常数d 成反比，与级数k 成正比；且线色散本领还与焦距成正比，与衍射单元（狭缝数）N 无关。

为增大角、线色散本领，光栅缝应很密。2310~10d --≈m m ，每m m 上千条线，

f 达数米，0.1~1mm /A l D ≈

以上。

例题1：钠黄光包括λ=598.00nm ，和 λ’=598.59nm ，两条谱线，使用15cm 、每毫米内有1200条缝的光栅，1级光谱中两条谱线的位置、间隔和半角宽度各为多少？

解：光栅的缝间隔为

1200

d mm =

由光栅方程，一级谱线的衍射角为

()0

07068

445

88a r c s i n a r c s i n ..d

￠==

q 角色散本领 3

1171057D .r a d /n m .

/n m

d c o s

-￠=

=?q q 所以波长差δλ=0.59nm 的钠双线的角间隔为

57059

D ...ⅱ==?q d q d l 光栅总宽度Nd=15cm ，所以双线中每条谱线的半角宽度为

5060

05891015445855551000019.cm Nd cos cm cos ..rad .--′==

￠′=?l Dq q

（2）色分辨本领（chromatic resolving power ）

色辨本领只反映谱线（两个主极强）中心分离的程度，不能说明两谱线是否重叠（因为单色谱线并未一单线）。所以要分辨波长很接近的谱线，仍需每条谱线都很细。

下列三种情形中色散本领都一样，即,λλλδλ'=+两条谱线的角间隔δθ相同，但每条谱线的半角宽度θ?不同。

图50 相同色散本领下的不同谱线半角宽度对给定光栅，谱线的半角宽θ?是一定的 c o s k

Nd λ

θθ?=

（4－136）

由瑞利判据，θ?恰为两条谱线角间隔δθ，δθθ=? 而 c o s k

D d θδθδλθ=

（4－137） D θ

δθδλ= （4－138）则能够分辨的最小波长差

c o s c o s k k

Nd k D D kN d θ

θλ

θδθ

θλ

δλθ?=

（4－139） δλ越小，仪器分辨本领越大。通常分光仪器的（色）分辨本领定义为 R k N λ

δλ

= （4－140）可见，光栅的分辨本领正比于衍射单元总数（缝数）N 和光谱级数k ，与光栅常数d 无关。

θδθ

?>θδθ

?<θδθ

=λ

λ （瑞利判据）恰能分辨

不能分辨

可分辨

例题：一台光谱仪内的光栅宽为15cm ，每mm 内有1200个衍射单元，在可见光波段的中部（λ=550nm ），此光栅能分辨的最小波长差为多少？如果用照相机摄谱，感光底片的空间分辨本领为200条/mm ，为了充分利用光栅的色分辨本领，这台光谱仪的焦距至少需要多少？

解：d=(1/1200)mm,N=15cm ×1200/mm=18×104.由R=kN 得一级光谱的色分辨本领为

R=kN=18×104 在λ=550nm 附近能分辨的最小波长间隔 δλ=λ/R=0.003nm

按照题意应当要求光栅的线色散本领能将波长差δλ=0.003nm 的两条谱线分开到(1/200)的线间距，即，1

162000003

l l D mm /nm .mm /nm .===′d dl 仪器焦距为:

10l l k l k

l kf

D ,f

D d cos /k D k d cos D k .m

?===q q

5.2.4量程自由光谱范围

sin M d θλ= 2

θ≤

（4－141）

最大待测（使用）波长M λ不能超过光栅常数。

M d λ≤ （4－142）工作于不同波段光栅光谱仪应选用光栅常数适当的备件。

为了避免光谱重叠现象（例如8000A

第一级与4000A

二级重叠），光栅光谱仪工作波段上限M λ与下限m λ受自由光谱范围限制，对一级光谱 2

m λλ>

（4－143）

长波长的一级和短波长的二级不能重叠。

5.2.5闪耀光栅(blazed grating)

透射光栅的主要缺点之一，是它将能量分散在各级光谱中，特别是没有色散的零级占了大部分能量。原因是单缝衍射因子与多缝干涉因子主极强重叠，实际应用中只用它的某一级，因此设法把光能集中到这一级。那么，光栅光谱中，能否达到这一目的？闪耀光栅可以解决这一问题。

1888年，罗兰指出过，利用刻槽有一定的形状的反射光栅，可将衍射光集中在某一级光谱上，即通过控制刻痕的形状可以改变各级主最大的（光谱）的相对光强分布。1910年，伍德改进了钻石刀头的形状做出了第一个用于红外光的、刻痕有一定形状的光栅。35年后，用改进过的钻石刀，以涂铝的玻璃板作反射光栅的基片，刻出了光栅常数很小的、刻痕形状有一定的光栅，即闪耀光栅（定向光栅）。如图：

图51 闪耀光栅

槽面与光栅的平面的夹角（n 和N 的夹角）

为α，称闪耀角。照射有两种方法。经槽面反射的几何光线沿入射光反方向，相邻槽面间的光程差为2sin L d α?=。满足下

式的波长为1级闪耀波长。

12sin d αλ=

单槽衍射的0级主极大方向是几何光学的反射方向，这正好是缝间干涉第一级极大的方向，因为a ≈d ，λ1光谱的其它级都落在单缝衍的暗线位置形成缺级。

图52 闪耀光栅衍射干涉图样

λ/a

λ/d

-1 0 -1 1

单缝衍射

缝间干涉

这样80%—90%的光能集中在波长λ1的1级谱线上，使光强大大增加。同样的办法我们可以把光集中到2级闪耀波长上λ2附近的2级光谱中，λ2满足： 22s i n 2d αλ= （4－144） 2s i n k d k αλ= （4－145）另一种照明方法是入射光平行于光栅平面法线，反射光线的方向与入射光方向夹角为2α，这时相邻槽间的光程差为ΔL=dsin2α

图53 闪耀光栅不同照射实验

例题：分析红外波段10μm 附近的1级光谱，决定选用闪耀角为300光栅，试求光栅的刻槽密度为多少?

解：当λ=10μm 时，由12sin d αλ=得：

12s i n

100d αλ==条/mm 实际光谱仪装置如图，不用透镜，而用凹面镜，可避免吸收和色差，缩短装置的长度，在光谱面上一次拍摄得到光谱或放置光电探测器把光强转化为电信号，光源和探测器不动，转动光栅，使不同波长光的1级衍射到探测器上，这时转动角度就和光波长对应。

54 实际光谱仪装置

5.2.6棱镜光谱仪的（色）分辨本领

对棱镜光谱仪来说，会聚镜面2L 上的光谱线是自准光物镜L 1射出的平行光通过所述棱镜投影的矩孔的夫琅和费衍射图样。由于在光谱仪中实际上只注意棱镜主截面内的分辨本领，所以可用宽度为a 的单狭缝的衍射决定棱镜光谱仪的分辨本领。

宽度为a 的光束的衍射半角宽为: a

θ?=

（4－146）

波长差 δλ 引起谱线的角位移为

D θδθδλ= （4－147）而按照瑞利判据，只有(4－146)和(4－147)相等时，恰好间隔为二谱线可分辨即: θδθ?= （4－148）由(4－147)式 D D θ

δθ

δλ?=

（4－149）而

2sin

m d dn

D d d θα

δλ

（4－150）

代入(4－149)式

2sin

m d d a λ

λδλθδ??

=??=

???

（4－152）此式即为光谱仪与θ?角相应的所能分辨的最小波长间隔。式中的a 等于什么？当入射光束充满棱镜时，上式可用简单形式给出.

图55 棱镜分辨光谱示意图

由AEC ?和AFC ?

2c o s s i n 2

b a

AC i =

（4－153）棱镜处于最小偏向角时 12

m i αδ+=

i α

'= （4－154）

由第一章得到的棱镜折射率公式

s i n

s i n 2

n αδα

（4－155）

得 s i n s i n

n αδα

+= （4－156）

1c o s

c o s ()2

m i αδ

+∴=

（4－157）

将1cos i 代入（4－153）式，整理得

2sin

a b

? （4－158）

将（4－158）式a 代入（4－152）式得 dn b d λ

δλλ

（4－159）

此δλ值为棱镜光谱仪对波长λ附近的光所能分辨的最靠近的两光谱线波长间隔(差).通常以波长与在该波长附近能被分辨的波长间隔δλ的比值R 作为光谱仪的分辨本领。光谱仪的分辨本领: dn R b d λδλλ

= （4－160）