2 0 1 7 年8月清华、北大自主招生数学模拟试卷(附答案)

2017年8月清华、北大自主招生数学模拟试卷

{本卷满分：180分 考试时间：150分钟}

一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1. 如图，在三棱锥中ABC D -中，已知AB =2，

3-=?．设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2

ab +1的最小值为．

2. 若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形

的三条边长，则称n 为四位三角形数，则所有四位三角形数的个数为． 3. 已知函数b a 、满足21≤≤-a ，且1202≤-≤a b ，则ab b a w 83

1632

2++

=b a 3

4

+-的取值范围是．

4. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ，则称偶数n 为“萌数”：⑴集

合A 、B 、C 为集合{}n M ，，，，???=321的3个非空子集，A 、B 、C 两两之间的交集为空集，且M C B A = ；⑵ 集合A 中所有数均为奇数，集合B 所有数均为偶数，所有的3的倍数都在集合C 中；⑶ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为321S S S 、、，且321S S S ==．对于以下4个说法：① 8是“萌数”；② 60是“萌数”；③ 68是“萌数”；④ 80是“萌数”；其中正确的是．（填所有正确的序号）

5. 若()n k m k =?-∏=45

1212csc ，其中*∈N n m ,且

2,≥n m ，则n m +的值是．

6. 如图，设斜率为()0 >k k 的直线l 与椭圆C ：

1392

2=+y x 交于A 、B 两点，OB OA ⊥．当A O B ?面积取最大值时，直线l 的方程为．

7. 若离散型随机变量Y X ,满足32≤≤X ，且1=XY ，则()()Y E X E

的取值范围为．

8. 已知0,≥b a ，1=+b a ，则229402213b a M +++=的最大值与最小值之

和是．

9. 已知z 是实部虚部均为正数的复数，则对于说法：① ()

z z -2Re 被2整除；

A

B

第1题

D

C

第6题

② ()

z z -3Re 被3整除；③ ()z z -4Re 被4整除；④ ()

z z -5Re 被5整除；正确的是．（填所有正确的序号）

10. 在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆

锥的表面积之比最大为．

11. 六边形ABCDEF 内接于圆O ，且13+===CD BC AB ，

1===FA EF DE ． 则此六边形的面积为．

12. 已知n x x x ，，，???21()4≥n 是满足121=+???++n x x x 的非负实数，则

21432321x x x x x x x x x n +???++的最大值是．

二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）． 13. ⑴函数()()b x a x x x f +++--=1323()R b a ∈<，0．

(Ⅰ)令()()31++--=a b x f x h ，判断()x h 的奇偶性，并讨论()x h 的单调性． (Ⅱ) 若()()x f x g =，设()b a M ,为()x g 在[]02，-的最大值，

求()b a M ,的最小值．

⑵ 设Z ∈a ，已知定义在R 上的函数()a x x x x x f +--+=6332234在区间

()21，内有一个零点0x ，()x g 为()x f 的导函数．

(Ⅰ) 求()x g 的单调区间；

(Ⅱ) 设[)(]2,,100x x m ∈，函数()()()()m f x m x g x h --=0，

求证：()()00

(Ⅲ) 求证：存在大于0的常数A ，使得对任意的正整数p ，q ，

且

[)(]2,,100x x q p ∈，满足401Aq

x q p ≥-．

14. ⑴设数列{}n a 满足221=-+n n a a ，2≤n a ，???=，，，

321n ． 证明：若1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列． ⑵数列{}n a 各项均为正数，且对任意*∈N n ，

满足2

1n n n ca a a +=+（常数0>c ）．

(Ⅰ) 求证：对任意正数M ，存在*∈N N ，当N n >时，有M a n >；

(Ⅱ) 设，n S 为数列{}n b 的前n 项和，

求证：对任意0>d ，存在*∈N n ，当N n >时，有d ca S n <-

<1

1

0．

2017年清华、北大自主招生 数学模拟试卷（ 浙江 ）

n

n ca b +=11

参 考 答 案

[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]

{本卷满分：180分 考试时间：150分钟}

一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1考点：立体几何（三棱锥） {难度：★★☆☆☆}

答案：2

2考点：计数，排列 {难度：★★★☆☆}

答案：1681

3考点：代数式求值 {难度：★★☆☆☆}

答案：??

?

???-

574121， 4考点：集合、数论、分类讨论 {难度：★★★☆☆}

（ 2017年中学生学术能力测试 ）

答案：①③④

5考点：三角函数（三倍角公式） {难度：★★★☆☆}

答案：91

6考点：解析几何（直线与椭圆） {难度：★★☆☆☆}

答案：333+=

x y 或33

3-=x y 7考点：随机变量 {难度：★★★★☆}

答案：??

????24

251，

8考点：导数，放缩 {难度：★★★☆☆}

答案：11510433++

9考点：复数，费马小定理 {难度：★★★☆☆}

（ 2017年中学生学术能力测试 ）

答案：②④

10考点：立体几何（球与圆锥） {难度：★★☆☆☆}

（ 2017年全国高中数学联赛 天津预赛 ）

答案：

2

1

11考点：平面几何（特征分析思想，转换法） {难度：★★★☆☆}

答案：()

324

9

+

图1 → 图2

（将小三角形重新组合）

12考点：基本不等式 {难度：★★★★☆}

（ 2017年IMO ，中国国家队选拔考试 ）

答案：

16

1

二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．

13考点：函数、导数讨论的应用{难度：★★★☆☆} (25分)①

②2017年天津高考数学（理）

【解析】（Ⅰ）由4

3

2

()2336f x x x x x a =+--+

，可得32

()()8966g x f x x x x '==+--，

进而可得2

()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或1

4

x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：