陕西省延安中学2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题

（本卷满分150分，时间120分钟）

第I 卷 (选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝

A ．{0}

B ．{0,1}

C ．{－1,1}

D ．{－1,0,1}

2.已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且x i +y=1+i 则(1)x y

i ++的值为

（ ）

A. 2

B.

2i - C. 4- D. 2i

3．“函数x x f a log )(=在区间（0，＋∞）上为增函数”是“3a =”的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为 （ ） A

．

12+

．

1C

．1．

2+ 5．已知x,y 的取值如下表：

据上表，可得回归方程y=0.95x+a ，则a=

A ．3.2

B ．4.5

C ．2.6

D ．1.8

6．已知F 是抛物线2

y x =的焦点，A,B 是抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的

中点

M 到y 轴的距离为

( )

A ．34

B ． 1

C ．

54 D ．7

4

7．已知非零向量a ，b 满足a b ⊥ ，则函数()()

()

2

f x ax b

x R =+∈

是

( )

y

x

A.偶函数

B. 奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数 8．关于函数x x x x f cos )cos (sin 2)(-=的四个结论：

P 1：最大值为2；P 2：最小正周期为π；P 3：单调递增区间为∈?????

?

+-k k k ,83,8ππππZ ；

P 4：图象的对称中心为∈-+k k ),1,8

2(π

πZ ．其中正确的有

( )

A ．1 个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

9．已知点()P x y ，的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数2z x ay =-取得最小值的最优解有无数个，则a 的取值为

（ A ．2- B ．0 C ．8 D ．6 10．观察下图：

1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …………

则第（ ）行的各数之和等于22009

A ．2010

B ．2009

C ． 1006

D ．1005

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11. 若0,0,x y >>且x y +=2，则

11x y

+的最小值是 ．

12．今年“3·5”，某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神？”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在C 单位抽取的问卷是 份．

（第13题图）

13．执行如右图所示的程序框图，输出的结果是 .

14．曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为 .

15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）不等式21x -<5的解集为

B.（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm.

C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点)4

π

作圆

4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)

某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号站开始，在每个车站下车是等可能的，约定用有序实数对(,)x y 表示“甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车”

（Ⅰ）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来； （Ⅱ）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率； （Ⅲ）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．

17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-． (Ⅰ）求cos B 的值；

(Ⅱ）若2BA BC ?=

，b =a 和c ．

18.（本小题满分12分）

如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，其中4AC BC ==，,E F 分别为,AC AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起，点A 的位置变为点A '，已知点A '在平面BCEF 上的射影O 为EC 的中点，如图（2）所示．

（Ⅰ）求证：EF A C '⊥；

（Ⅱ）求三棱锥F A BC '-的体积．

19.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．

20．（本小题满分13分） 设x

x p

px x f ln 2)(--=． （Ⅰ）若1p =时，求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设x

e x g 2)(=

，且0>p ，若在],1[e 上至少存在一点0x ，使得)()(0

0x g x f >成立，求实数p 的取值范围．

21. （本小题满分14分） 已知椭圆1:

2

22

2=+

b

y a

x C （)0>>b a 的一个焦点是)0,3(F ,且过点()2

2,

2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆C 与x 轴的两个交点为21,A A ,点4P x =在直线上，直线21,PA PA 分别与椭圆C 交于N ,M 两点，试问当点4P x =在直线上运动时，直线MN 是否恒经过定点Q ？若存在求出点Q 坐标，若不存在，请说明理由．

延安中学2013届高三第一次模拟试题参考答案

一．选择题：

二．填空题

11． 2 12． 45 13． 13 ．14. 34-=x y .15. (-2,3)B.BD ＝165

cm.C.ρcos θ=2 。

三、解答题：

16.解：（Ⅰ）甲、乙两人下车的所有可能的结果有：（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、 （3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）共9种 ………………… 4分

（Ⅱ）设甲、乙两人同时在第3节车站下车为事件A 8分

（Ⅲ）甲、乙两人在同一地铁站下车的基本事件有

（2，2）、（3，3）、（4，4）共3 12分

18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ．

依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………4分

所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． …6分

（Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，

得 1

-=+n n n c

b a ，即1

23-=++-n n c

b n ，

所以 1

23-+-=n n c

n b ． ……8分

所以 21

[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++

2

1

(31)

(1)2

n n n c c c --=

+++++ ． ……10分

从而当1=c 时，2

(31)

32

2

n n n n n S n -+=

+=

； ……11分

当1≠c 时，(31)

12

1n

n n n c

S c

--=

+

-． ………12分

19.解：（I ）证法一：在ABC ?中，EF 是等腰直角ABC ?的中位线，EF AC ∴⊥ 在四棱锥A BCEF '-中，EF A E '⊥，EC EF ⊥， EF ∴⊥平面A EC '， 又?'C A 平面A EC

', EF A C '∴⊥ ……………6分

证法二：同证法一EF EC ⊥

A O EF '∴⊥ EF ∴⊥

平面A EC '， 又

?

'C A 平面A EC ',

EF A C '∴⊥ ………6分

（Ⅱ）在直角梯形EFBC 中 ，

2,4EC BC ==, ∴FBC S ?=

142

BC EC ?=

又A O ' 垂直平分EC ，A O '∴==

…………9分

∴三棱锥F A BC '-的体积为：1143

3

F A BC A FBC FBC V V S A O ''--?'==

?=

?=

……12分

20．解：（I ）由已知1()2ln f x x x x

=-

-得

2

2

'

2

2

2

1221

(1)()10x x x f x x

x

x

x

-+-=+

-

=

=

≥.… 3分

∴)(x f 在其定义域),0(+∞内为单调增函数……5分

（II ）原命题等价于0

)()(>-x g x f 在],1[e 上有解，.……6分 设x

e x x

p px x g x f x F

2ln 2)()()(---=-= 0)(222)(2

2

22>-++=+-+='x

x e p px x e x x p p x F ， )(x F 是增函数，……10分 [F （x ）]max =F （e ）＞0，解得1

42

->

e e p ，的取值范围是),1

4(

2

+∞-e e .……13分

A

B

C

E F

E

F

B

C O A '

（1）

（2

） (第19题图)

21．解：(Ⅰ)依题意可得?????=+=-121232222b a

b a 1,2==?b a ，椭圆C 的方程

22

14x y +=…4分 (Ⅱ)点4=x P 在直线上运动，)0,2(),0,2(21A A -,

21,,)A A N M x P i 分别为轴上时，点在当，若存在直线MN 恒经过定点Q ，则点Q 必在x 轴上.…………………………………………6分

轴上时，

点不在当x P ii )设)4(p y P ，,则)2(6

:1+=x y y l p PA ，设),(11y x M ，

由()22

14

26p x y y y x ?+=????=+??

得1x =229218p p y y +-，1y =2

96p p y y +.………………………8分 则)2(2

:2

-=

x y y l p PA ，设),(22y x N ,

由得()22

14

26p x y y y x ?+=????=-??

得2x =22122p p y y +-，2y =2

12p p y y +-.……………10分 设Q )0,(0x ,(

=QM 02

2

9218x y y p

p -+-,

2

96p

p y y +),(

=QN 02

2

122x y y p

p -+-,

2

12p

p y y +-)

,,,Q N M 三点共线 ∴NQ MQ //

∴（

02

2

9218x y y p

p -+-）?

2

12p

p y y +---（

2

96p

p y y +）?（

02

2

122x y y p

p -+-）=0

?

?

+-2

29218p

p y y 2

12p

p y y +-+0x ?

2

12p

p y y +--

2

96p

p y y +?

02

2

122x y y p

p ++-2

96p

p y y +?

=0

?--38p y +p y 24p p y y x )824(2

0+=0?0)3()1(2

0=+?-p y x

∴10=x ,故存在点Q )0,1(………………………14分