2000-2012年(新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)

2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷

（2012年12月9日上午9:00~11:00）

解答本试卷可以使用科学计算器

一、填空题（每题10分，共80分）

1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则

直线与之间的距离为_____________。

2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则

的值为______________。

3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰

三角形，则点的坐标是____________________。

4. 在矩形中，。点分别在上，

使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。

5. 使得是素数的整数共有___________个。

6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，

_____________。

7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式

（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。

8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，

则___________。（这里表示不超过实数的最大整数。）二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）

9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。已

知，求证：或者，或者。

10. 解方程组。

11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的

最大整数。

（1）若，求的取值范围；

（2）求证：。

12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足

2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷

一、 填空题（每题10分，共80分）

1. 已知关于x 的两个方程： 032

=+-m x x ①， 02

=++m x x ②，其中0≠m 。若

方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。

2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形

ABCD 的面积为_______________。

3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等

于2的概率为______________。

4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，

使得()()2

2

h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。

5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，

线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。

6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ，7=PB ，

6=PC ，则边AC 的长为______________。

7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负

得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的

5

4

，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd 是35

个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。

二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）

9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知?=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于

点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。求证：LC SM //。 解

O

M S

L

D

C

B

A

10. 对于正整数n ，记n n ???= 21!。求所有的正整数组()f e d c b a ,,,,,，使得

!!!!!!f e d c b a ++++=，且f e d c b a ≥≥≥≥>。

解

11. （1）证明：存在整数x ，y ，满足202242

2=++y xy x ；

（2）问：是否存在整数x ，y ，满足?201142

2=++y xy x 证明你的结论。

解

12. 对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p ，...，k p ，对于每个

()k i p i ≤≤1，存在正整数i a ，使得1

+<≤i i a i

a i p n p ，

记()k a

k a

a p p p n p +++= 21

21

例如，()895210026=+=p 。

（1）试找出一个正整数n ，使得()n n p >；

（2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得()n .n p 11>。 解

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷

一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分） 1. 已知31=+

x x ，则=+++1055101

1x

x x x _________。 2. 满足方程()()332

22

=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为__________。

3. 已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，

，CD 为C ∠的角平分线，则_________。

4. 若前2011个正整数的乘积201121??? 能被k

2010整除，则正整数k

的最大值为________。

5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，

0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，

若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。

6. 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是_________。

7. 整数q p ，满足2010=+q p ，

且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p ________。

8. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。设21x x ，是方程02

=++c bx ax 的两个实数根，则平面直线坐标系内两点

()()1221x x B x x A ，，，之间的距离的最大值为_______。

9. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为

1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于_______。

10. 设c b a ，，是整数，91≤<<≤c b a ，且1+??cab bca abc 能被9整除，则c b a ++的最小值是_________，最大值是__________。

二、 解答题（每题15分，共60分）

11. 已知面积为4的ABC ?的边长分别为b c c AB b CA a BC >===，，，，AD 是A ∠的角平分线，点'C 是点C 关于直线AD 的对称点，若BD C '?与ABC ?相似，求ABC ?的周长的最小值。

O

G F

E

H

D

C

B

A E

B

C'A

12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数 cfi beh ghi def abc ，，，，和aei 都能被11整除，求三位数ceg 的最

大值

13. 设实数z y x ，，满足0=++z y x ，且()()()22

2

2

≤-+-+-x z z y y x ，求x 的最大值和最小值

14. 称具有2

2161

b a +形式的数为“好数”，其中b a ，都是整数 （1）证明：100，2010都是“好数”。 （2）证明：存在正整数y x ，，使得161161

y x +是“好数”，而y x +不是“好数”。

i

h g f e d c b a