全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准
全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分30分,每小题6分)
1. 如果实数m ,n ,x ,y 满足a n m =+22,b y x =+22,其中a ,b 为常数,那么mx +ny 的最大值为
答:[B]
A. 2
b a + B.
ab C.
22
2b a + D. 2
2
2b a + 解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222;或三角换元即可得到
ab ny mx ≤+,当2
a n m =
=,2b y x ==时,ab ny mx =+. 选B.
2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1),Q (1,2),M (2,3),???
??41,21N 四点中,
函数
)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答:[D]
A. P
B. Q
C. M
D. N 解 取161=a ,把坐标代入检验,4116121
=??
?
?? ,而211614
1=??? ??,∴公共点只可能是 点N . 选D.
3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么
z
y x ++的值为
答:[A]
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1 2 0.5 1
x
y
z
解 第一、二行后两个数分别为2.5,3与1.25,1.5;第三、四、五列中的
5.0=x ,165=
y ,16
3
=z ,则1=++z y x . 选A. 4. 如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是222C B A ?的三个内角的正弦值,那么
答:[B]
A. 111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形
B. 111C B A ?是锐角三角形,222C B A ?是钝角三角形
C. 111C B A ?是钝角三角形,222C B A ?是锐角三角形
D. 111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形
解 两个三角形的内角不能有直角;111C B A ?的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若222C B A ?是锐角三角形,则不妨设
cos 1A =sin 2A =cos ??? ??-12A π, cos 1B =sin 2B =cos ???
??-22A π,
cos 1C =sin 2C =cos ??
?
??-12C π.
则
212
A A -=
π
,212
B B -=
π
,212
C C -=
π
,
即 )(2
3222111C B A C B A ++-=
++π
,矛盾. 选B. 5. 设a ,b 是夹角为30°的异面直线,则满足条件“α?a ,β?b ,且βα⊥”的平
面
α,β
答: [D]
A. 不存在
B. 有且只有一对
C. 有且只有两对
D. 有无数对
解 任作a 的平面α,可以作无数个. 在b 上任取一点M ,过M 作α的垂线. b 与
垂线确定的平面β垂直于α. 选D.