全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准
全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的最大值为
答：[B]
A. 2
b a + B.
ab C.
22
2b a + D. 2
2
2b a + 解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到
ab ny mx ≤+，当2
a n m =
=，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B.
2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，???
??41,21N 四点中，
函数
)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答：[D]
A. P
B. Q
C. M
D. N 解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121
=??
?
?? ，而211614
1=??? ??，∴公共点只可能是 点N . 选D.
3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么
z
y x ++的值为
答：[A]
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1 2 0.5 1
x
y
z
解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的
5.0=x ，165=
y ，16
3
=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是222C B A ?的三个内角的正弦值，那么
答：[B]
A. 111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形
B. 111C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形
C. 111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形
D. 111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形
解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ?的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ?是锐角三角形，则不妨设
cos 1A =sin 2A =cos ??? ??-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ???
??-22A π，
cos 1C =sin 2C =cos ??
?
??-12C π.
则
212
A A -=
π
，212
B B -=
π
，212
C C -=
π
，
即 )(2
3222111C B A C B A ++-=
++π
，矛盾. 选B. 5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的平
面
α，β
答： [D]
A. 不存在
B. 有且只有一对
C. 有且只有两对
D. 有无数对
解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与
垂线确定的平面β垂直于α. 选D.