概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念

一.基本概念

随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

样本空间S:E 的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):E 的每个结果.

随机事件(事件):样本空间S 的子集.

必然事件(S):每次试验中一定发生的事件.不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件.

二.事件间的关系和运算

1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.

2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.

3.A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.

4.A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.

5.AB=Φ(A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.

6.AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B .

运算规则交换律结合律分配律德?摩根律B A B A =B

A B A =三.概率的定义与性质

1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.

(1)非负性P(A)≥0;(2)归一性或规范性P(S)=1;

(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…),

P(A 1∪A 2∪…)=P(A 1)+P(A 2)+…

2.性质

(1)P(Φ)=0,

注意:A 为不可能事件P(A)=0.(2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,

P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )(有限可加性与可列可加性合称加法定理)

(3)若A ?B,则P(A)≤P(B),P(B -A)=P(B)-P(A).

(4)对于任一事件A,P(A)≤1,P(A)=1-P(A).

(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n

()()()()

+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 11121 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )

四.等可能(古典)概型

1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…=P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.

2.计算公式P(A)=k /n 其中k 是A 中包含的基本事件数,n 是S 中包含的基本事件总数.

五.条件概率

1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)>0).

2.乘法定理P(AB)=P(A)P (B|A)(P(A)>0);P(AB)=P(B)P (A|B)(P(B)>0).

P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1)(n ≥2,P(A 1A 2…A n-1)>0)

3.B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n,B 1∪B 2∪…∪B n =S),则

当P(B i )>0时,有全概率公式P(A)=()()i n i i B A P B P ∑=1

当P(A)>0,P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==n i i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1

.六.事件的独立性

1.两个事件A,B,满足P(AB)=P(A)P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.

(1)两个事件A,B 相互独立?P(B)=P (B|A).

(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B,,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.

2.三个事件A,B,C 满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立.若再满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.

3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1

()()()()

k k i i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.