四边形提高班讲义

四边形

热点一 计算类

例1．（2009东营）如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ） A.2cm

B.4cm

C.6cm

D.8cm

(例1) (例2) (例3)

例2．（2009年桂林市、百色市）如图，□ABCD 中，AC.BD 为对角线，BC =6， BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．24

例 3.（2009年湖南长沙）如图，矩形A B C D 的两条对角线相交于点O ，602A O B A B ∠==°，，则矩形的对角线A C 的长是（ ） A ．2

B ．4

C

．

D

．例4.（2009襄樊市）如图5，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，A E E B E C a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则A B C D 的周长为（ ） A

．4+ B

．12+ C

．2+ D

．212+

+

(例4) (例5) (例6)

例5．（2009年甘肃白银）如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2

B ．3

C

．

D

．例6．（2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ） A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形 例7．（2009年）如图6，在

ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，

交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5

O D

C A

B

A

D

C

E

B

A

B C

D

E

例8. （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40°，

则这个正多边形的边数是

A.10

B.9

C.8

D.6

例9．(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、

17

17

2

B 、

17

17

4

C 、

17

17

8

D 、3

热点二. 命题与结论类

例1. (2009年牡丹江市)如图，□ABCD 中，E 、F 分别为B C 、A D 边上的点，要使BF D E =，需添加一个条件： ．

(例1) (例3)

例2．（2009年广州市）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：________________________________

例3.（2009 黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②

BF BO =；③ CH CA =；④ED BE 3=，正确的

A ．②③

B ．③④

C ．①②④

D ．②③④

例4.（2009年湘西自治州）13．在下列命题中，是真命题的是（ ）

A ．两条对角线相等的四边形是矩形

B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

热点三 动态与操作类

例1．（2009年甘肃庆阳）如图7，将正六边形绕其对称中心O 旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 度．

A

B

C

E

D

F

例2．(2009年温州)在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．

(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上) 【答案】解：（1）

（2）

例3.（2009年湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．6cm

(例3) (例4)

例4．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，A D B C ∥，6cm A D =，4cm C D =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交B D 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使225

P E Q B C D S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，

说明理由．

（4）连接P F ，在上述运动过程中，五边形P F C D E 的面积是否发生变化？说明理由．

例5．（2009桂林百色）如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放 在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿

F

N

E

图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个 过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为 （ ）．A ．2 B ．4π- C ．π D ．π1-

热点四 规律类

例1. （2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边

上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，

折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ;

若

M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（,且n 为整数），则A ′N =

（用含有n 的式子表示）

C

例2．（2009年中山）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点O ．以

O B 、O C 为邻边作第1个平行四边形1O BB C ，对角线相交于点1A ，再

以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推． （1）求矩形A B C D 的面积；

（2）求第1个平行四边形1O BB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积．

例3.(2009

年安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在______点。

(例3) (例4)

例4. （2009年重庆市江津区）在△ABC 中，BC =10，B 1 、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2

121、C

、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图（3）中

2

n ≥A B C D

12A B A C =，=20

92

1921;C 、C

C B 、、B B 分别是AB 、

AC 的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是 （ ）

A . 30

B . 45

C .55

D .60

例5.（2009湖北省荆门市）如图，正方形ABCD 边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P 所在位置为______；当点P 所在位置为D 点时，点P 的运动路程为______（用含自然数n 的式子表示）．

热点五 证明类 例1．（2009年莆田）已知：如图在A B C D 中，过对角线B D 的中点O 作直线E F 分别交

D A 的延长线、AB 、DC 、BC 的延长线于点

E 、M 、N 、

F 。 （1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的

变换得到？

例2．（2009肇庆）如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ．

（1）求证：A B F D A E △≌△；

（2）求证：D E EF FB =+．

例3．（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=

，且EF 交正方形外角D C G ∠的平行线CF 于点F ，求

A

D

E F C G

B

B

D A (P )

C

E

B

M

O

D N

C

A E

B

M O

D N

F C

A

证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证A M E E C F △≌△，所以A E E F =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

例 4.（2009年烟台市）如图，直角梯形ABCD 中，B C A D ∥，90B C D ∠=°，且2tan 2C D A D A B C =∠=，，过点D 作A B D E ∥，交B C D ∠的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：B C C D =；

（2）将B C E △绕点C ，顺时针旋转90°得到D C G △，连接EG.． 求证：CD 垂直平分EG .

（3）延长BE 交CD 于点P ． 求证：P 是CD 的中点．

例5．（2009眉山）在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，AB ＝2CD ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结E F 、EC 、B F 、C F 。。 ⑴判断四边形AECD 的形状（不证明）；

⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。

⑶若CD ＝2，求四边形BC F E 的面积。

热点六 综合类

例1．（2009年中山）在A B C D 中，10AB =，A D m =，

60D ∠=°， 以A B 为直径作O ⊙，

（1）求圆心O 到C D 的距离（用含m 的代数式来表示）； （2）当m 取何值时，C D 与O ⊙相切．

A

D

F

C G

E 图1

A

D

F C G

E 图2 A

D

F

C G

E B

图3

A

D

G

E

B

例2.（2009泰安）如图，双曲线)0(＞k x

k y =

经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于

点D 。若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为 （A ）

x

y 1=

（B ）x

y 2=

（C ） x

y 3=

（D x

y 6

=

例3. （2009年北京市）在A B C D 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕

点E 逆时针旋转90 得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：

①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；

②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90

得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD =6,tanB =

43

,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间

的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.

例4．（2009年铁岭市）A B C △是等边三角形，点D 是射线B C 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），AD E △是以A D 为边的等边三角形，过点E 作B C 的平行线，分别交

射线A B A C 、于点F G 、，连接B E ．

（1）如图（a ）所示，当点D 在线段B C 上时． ①求证：A E B A D C △≌△；

②探究四边形B C G E 是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b ）所示，当点D 在B C 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形B C G E 是菱形？并说明理由．

例5.（2009江西）如图1，在等腰梯形A B C D 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作

E F B C ∥交C D 于点F ．46A B B C ==，，60B =?∠. （1）求点E 到B C 的距离；

（2）点P 为线段E F 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交B C 于点M ，过M 作M N A B ∥交折线A D C 于点N ，连结P N ，设E P x =.

①当点N 在线段A D 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出P M N

△的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段D C 上时（如图3），是否存在点P ，使P M N △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由

A

G C D B

F E 图（a ）

A

D

C

B

F

E

G

图（b ）

A D E

B

F C

图4（备用）

A D E B

F C

图5（备用）

A D E B

F

C

图1

图2 A D E

B

F C P

N

M 图3 A D E

B

F

C

P

N

M

真题训练

一．填空题

1．（2009年哈尔滨）如图，在□ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别是AD.BD 的中点，连接EF ．若EF ＝3，则CD 的长为 ．

2．（09湖南怀化）亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了:①等边三角形；②等腰梯形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 ．

3．（2009年山西省）如图，□ABCD 的对角线A C 、B D 相交于点O ，点E 是C D 的中点，ABD △的周长为16cm ，则D O E △的周长是 cm ．

4.（2009呼和浩特）如图，四边形A B D C 中，120A B D ∠=°，A B A C ⊥，BD C D ⊥

，

4AB C D ==，，则该四边形的面积是 ．

．

5．（2009泰安）如图所示，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 是线段BC 上一点（P 不与B 重合），M 是DB 上一点，且BP =DM ，设BP =x ，△MBP 的面积为y ，则y 与x 之间的

函数关系式为

(第17题图)

。

6.（2009江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离

16cm A B B C ==，则1=∠ 度．

1

A B C

A

B

D C

A

C D

B

E

O

7. （2009年烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．

8.（2009年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形A B C D 的中点四边形是一个矩形，则四边形A B C D 可以是 ． 9.(2009年牡丹江市)矩形A B C D 中，对角线A C 、B D 交于点O ，AE BD ⊥于E ，若

13O E E D

=∶∶，AE =

则BD = ．

10．（2009年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5

A =，则这个

菱形的面积=

cm 2．

11．（2009年长春）如图，l m ∥，矩形A B C D 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．

12．（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．

13. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，在R t O A B ?中，90O A B ∠=?，6O A A B ==，将O A B ?绕点O 沿逆时针方向旋转90?得到11O A B ?． （1）线段1O A 的长是 ，

1A O B ∠的度数是 ；

（2）连结1A A ，求证：四边形11

O A A B 是平行四边形；

D

A

B C

m

l

α 65°

（3）求四边形11O A A B 的面积．

14．（09湖北宜昌）如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是 ．

15.（2009年莆田）如图，菱形A B C D 的对角线相交于点O ，请你添加一个条

件： ，使得该菱形为正方形．

16.(2009年上海市)17．在四边形A B C D 中，对角线A C 与B D 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形A B C D 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．

17.(2009成都)如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____． A

B

C D

E

A′

18. (2009年安顺)若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度。

19、(2009年鄂州)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC 已知BC ＝CD ＝AC ＝23，AB ＝6，则BD 的长为________.

20．（2009年崇左）如图，正方形A B C D 中，E 是B C 边上一点，以E 为圆心、E C 为半径的半圆与以A 为圆心，A B 为半径的圆弧外切，则sin E A B ∠的值为 ．

21.（2009年宁波市）如图，梯形ABCD 中，A D B C ∥，7040B C ∠=∠=°，°，作D

E A B ∥D

C E

B A

A B

C

D

D

C B

A

O O

交B C 于点E ，若3A D =，10B C =，则CD 的长是 ．

22．（2009东营）如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD ＝∠ACD ，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD ∥BC 且AB ＝CD .

23.（2009年济宁市）在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD ＝3cm , AB ＝4cm , ∠B ＝60°, 则下底BC 的长为 cm .

24. (2009年达州)如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①DCB ABC ∠=∠ ，②OA =OD ，③BDC BCD ∠=∠，④S AOB ?=S DOC ?，其中正确的是

A . ①②

B .①④

C .②③④

D .①②④

25. (2009年四川省内江市)如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，两腰BA 与CD 的延长线相交于P ，PE ⊥BC ，AD =2，BC =5，EF =3，则PF =__________

26.(2009年陕西省) 14．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ＝CB ，若AB ＝10，DC ＝4，tanA ＝2，则这个梯形的面积是______．

二. 选择题

1.（2009年济南）如图，矩形A B C D 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作O E AC ⊥交A D 于E ，则A E 的长是（ ） A ．1.6 B ．

2.5 C ．3 D ．

3.4

P

A

B F A

B

C

D

E

B C

D

A

O

（第15题图）

2.（2009年凉山州）如图，将矩形A B C D 沿对角线B D 折叠，使C 落在C '处，B C '交A D 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）

A ．AD BC '=

B ．EBD ED B ∠=∠

C ．A B E C B

D △∽△ D ．sin A

E A B E E D

∠=

3.（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和

4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A .

12

B .

14

C .

15

D .

110

4.（2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5

4A cos =，

则下列结论中正确 的个数为（ ）

①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2

ABCD 15S cm =菱形． A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

5.（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．

3

4 C ．

2

3 D ．2

C

D C '

A B

E

B

C

6．（2009年广西南宁）如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm

B ．220cm

C ．240cm

D ．280cm

7.（2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

C ．四边形AMON 与四边形ABC

D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

8．（2009河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ） A ． 2

3cm

B ． 2

4cm C ．

2 D ．

2

9.（2009年杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）

A ．35°

B ．45°

C ．50°

D ．55°

G B A

A

C

D

图2

D

B

C

A N

M O

10.(2009年义乌)如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为 A ．4x A ．12x A ．8x A ．16x

11.（2009年台湾） 如图(八)，长方形ABCD 中，E 点在BC 上，且AE 平分 BAC 。 若BE =4，AC =15，则 AEC 面积为何？

(A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 。

12. （2009年台湾）图(十二)中，过P 点的两直线将矩形ABCD 分成甲、乙、丙、 丁四个矩形，其中P 在AC 上，且AP ：PC =AD ：AB =4：3。 下列对于矩形是否相似的判断，何者正确？ (A ) 甲、乙不相似 (B ) 甲、丁不相似 (C ) 丙、乙相似 (D ) 丙、丁相似。

13.（2009年滨州）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A ．矩形 B ．直角梯形 C ．菱形 D ．正方形 14.（2009仙桃）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．

A D

E P B

F

A

B

C

E

D

A

B

P

D

C

甲 乙 丙

丁

A、3

B、2

C、3

D、3

2

15.（2009年郴州市）如图2是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

16.（2009年长春）．菱形O A B C在平面直角坐标系中的位置如图所

示，45

AOC OC

∠==

°，，则点B的坐标为（）

A

．B

．(1C

．11)，D

．(11)

17．（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．矩形

18．（2009年甘肃庆阳）如图4，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD

交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB

，则下列结论中正确的是（）

A．5

m=B

．m=C

．m=D．10

m=

19.（2009年烟台市）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）

B．74cm C

．75cm D．76

cm

20．（2009年南宁市）如图2，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿①②

F

E

D

B

A

C

所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm

B ．220cm

C ．240cm

D ．280cm

21. （2009年重庆市江津区）如图：在菱形ABCD 中，AC ＝6, BD ＝8,则菱形的边长为（ ）

A . 5

B . 10

C . 6

D .8 22.（2009年长沙）如图，矩形A B C D 的两条对角线相交于点O ，

602A O B A B ∠==°，，则矩形的对角线A C 的长是（ ）

A ．2

B ．4

C

． D

．

23.（2009年莆田）如图1，在矩形M NPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，M N R △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）

A ．N 处

B ．P 处

C ．Q 处

D ．M 处

26．（2009眉山）下列命题中正确的是( )

A ．矩形的对角线相互垂直

B ．菱形的对角线相等

C ．平行四边形是轴对称图形

D ．等腰梯形的对角线相等

27．（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）

N

（图1）

O

D C A B

（A ） 70°

（B ） 65° （C ） 50° （D ） 25°

28.(2009年抚顺市)如图所示，正方形A B C D 的面积为12，A B E △是等边三角形，点E 在正方形A B C D 内，在对角线A C 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）

A

． B

． C ．3 D

29.（2009威海）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =60°，∠B =30°，AD =CD =6,则AB 的长度为（ ） A ．9

B ．12

C ．18

D ．6+30..（2009湖北省荆门市）等腰梯形ABCD 中，

E 、

F 、

G 、

H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 的形状是（ ）

A ．平行四边形

B ．矩形

C ．菱形

D ．正方形 三 解答题

1．（2009年南宁市）25．如图13-1，在边长为5的正方形A B C D 中，点E 、F 分别是B C 、D C 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =. （1）求E C ∶C F 的值；

（2）延长E F 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；

（3）在图13-2的A B 边上是否存在一点M ，使得四边形D M E P 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

2．（2009年包头）已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，

E

D

B

C′

F

C

D ′ A

A

D

C

B

E

B

C

E D

A

F P F

A D E

P B C

(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．

3．(2009年宁德市)（本题满分8分）如图：点A.D.B.E 在同一直线上，AD =BE ，AC =DF ，AC ∥DF ，请从图中找出一个与∠E 相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

4． (2009年达州)如图10，⊙O 的弦AD ∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC ∥DE 交BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC.BC 于点G 、F.

(1)求证：DF 垂直平分AC ；

（2）求证：FC ＝CE ；

（3）若弦AD ＝5㎝，AC ＝8㎝，求⊙O 的半径.

5．（2009年日照市）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

A

F

E

D C

B

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

6.（2009年北京市）阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG .请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画

图并直接写出结果）.

7.（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AB =BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。 （1） 求证：BE =AD ；

F

B

D 第24题图①

D

B

D

第24题图②

B

第24题图③