初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数

第十六讲 锐角三角函数

古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：

1．单调性；

2．互余三角函数间的关系；

3．同角三角函数间的关系．

平方关系：sin 2α+cos 2α=1；

商数关系：tg α=αα

cos sin ，ctg α=ααsin cos ；

倒数关系：tg αctg α=1．

【例题求解】

【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝

135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．

思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=

135=AC CD ，tanB=

2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．

注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：

(1) S △ABC =

C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==；

（2）R C c B b A a

2sin sin sin ===．

【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( )

A ．32+

B ．32-

C ．0.3

D ．23-

思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．

注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．

（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．

【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．

思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．

【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ，

(1)求证：AC ＝BD ；

(2)若sinC=1312

，BC=12，求AD 的长．

思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；

(2) sinC=

AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．

【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根．

(1)求实数p 、q 应满足的条件；

(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．

学历训练

1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21

，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．