江西省九校2019届高三联合考试数学(文)试卷含答案

2019年江西省高三联合考试

数学试卷（文科）

注意事项：

1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟. 2本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效. 3答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。

第Ⅰ卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合{}{

1,2,3,(1)(2)A B x x x ==+-

A. {}

1 B. {}2,1 C. {3,2,1,02．已知i 为虚数单位，复数(3)Z i ai =-，且A ．-4 B ．4 C ． ±3．某兄弟俩都推销某一小家电，售量的中位数比弟弟的销售量的众数大

2 A ．5 B ．1

3 C ．15 4．已知(0,)απ∈，且15cos 17

α=-，则s i n ()t 2

π

+ A ． 1517-

B ．1517

C ． 5. 已知双曲线221mx ny +=与抛物线y x 82

=等于1，则双曲线的方程为（ ）

A ．

1322=-x y B ．2213x y -=6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(f x -(0,3)x ∈时，3()3f x x x =-， 则(2019)f =( )

A. -18

B. 0

C. 18

D. 不能确定 7.函数()sin()f x x ωφ=+（其中||2

π

φ<

）的图象如图所示，为

了得

到()y f x =的图象，只需把 sin y x ω=的图象上所有点 ( ) A. 向左平移6

π

个单位长度 B. 向右平移12

π

个单位长度 C. 向右平移

6

π

个单位长度 D. 向左平移

12

π

个单位长度

8．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球表面积为( )

A ．π11

B ．

143π C ．283

π

D ．π16

9．函数()12sin 12x x f x x ??

-= ?+??

的图像大致为（ ）

A B C D

10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，且

1sin sin 22cos =+C A B ，则2a b c -+=( )

A

．

2

B

C ．2

D ．0 11. 如图所示，A 1，A 2是椭圆C ：22

194x y ＋＝

的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，则

12

12

MA A NA A S S ??＝( )

A ．

32 B ．23 C ． 9

4

D ．

49

12. 若函数)(x f 在其图象上存在不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，其坐标满足条件：

2

22221212121y x y x y y x x +?+-+的最大值为0，

则称)(x f 为“柯西函数”， 则下列函数：

①

)0(1

)(>+

=x x

x x f ； ②)0(ln )(e x x x f <<=；

③()cos f x x =； ④2

()1f x x =-． 其中为“柯西函数”的个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第Ⅱ卷

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知平面向量)23,2(),2,12(--=-=m b m a ，且b a

⊥，则=-b a 32 .

14．已知变量,x y 满足240

2020

x y x x y -+≥??

-

≤??+-≥?

，则12y x ++的取值范围是_________.

15. 2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊

五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是乙或丁；

妈妈：冠军一定不是丙和丁； 孩子：冠军是甲或戊.

比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是______．

16. 如图，三棱锥A BCD -的顶点A ，B ，C ，D 都在同一球面上，BD 过球心O 且BD =，ABC

△是边长为2等边三角形，点P 、Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答） (一)必考题：共60分

17． (本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2

4320a x S x -+<的解集为2

(,1)7

，

(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足n a n n

a c 22+=，求数列{}n c 的前n 项和n

T .

18. (本小题满分12分） 已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，侧棱与底面所成的

角为60?，11AA A C ⊥,AC BC ⊥,4AC =,2BC =. (1)求证：平面11ABB A ⊥平面1A BC ；

(2)若D 为11A B 的中点，求三棱锥1A BCD -的体积.

19. (本小题满分12分） 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商

品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：

（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y （百件）与该天返还点数x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y=bx+a ，并预测若返回6个点时该商品当天销量； （2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调

研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.

(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中n

i i

i=1

n

2

2i

i=1

x y -nxy

b=

,a=y-bx x

-nx

∑∑；②5

i i i=1

x y =18.8∑.)

20.（本题满分12分）在直角坐标系XOY 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线1

4

y x =-

于点N ，若,N A m A M N B n B M ==

，求证：m n +为定值，并求出此定值.

21.（本题满分12分）设函数x ma ae x g x e x f x x 2)(,)(1

-+=-=+（,m a 为实数），

(1)求函数)(x f 的单调区间；

(2)若存在实数a ，使得()()f x g x ≤对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. （提示：e

x e x -=-1

)][ln('）

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做

的第一题计分.

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ?

?=+??=?

（?为

参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，0,

2πα??

∈ ??

?

， 当

4OB

OA

=时，求α的值．

23．[选修4—5：不等式选讲]

（本小题满分10分）已知函数()|2||21|f x x x =+--. （1）求()5f x >-的解集；

（2）若关于x 的不等式|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(,,0)a b R a ∈≠能成立， 求实数m 的取值范围.

2019年江西省九所重点中学高三联合考试文科数学答案

13.

65 14. ??

?

???23,41 15. 丁 16. 121 三解答题

17.（1）依题意可得：

7943=a S 且7

2

21=a , 2,11==∴d a 12-=∴n a n …………6分 （2）12214-+-=n n n c

)14(3

2

241)41(4212)143(2-++=--?+-+=∴n n n n n n n T …………12分

18. （1）证明：AC BC AC ABC A ACC ABC A ACC ⊥=?⊥,,1111平面平面平面平面

11A ACC BC 平面⊥∴ 1AA BC ⊥∴ …………3分 C C A BC C A AA =?⊥111, 又 BC A AA 11平面⊥∴ 111A ABB AA 平面又?

BC A A ABB 111平面平面⊥∴…………6分

(2)由（1）可知，1111,A ACC BC BC A AA 平面平面⊥⊥

则C A BC BC A BB 111⊥⊥，平面

11的距离等于到平面点BC A D ∴ ， 又侧棱与底面所成的角为060 0160=∠∴AC A

4=AC

323222

1

,3211=??=

=∴BC A S C A 则 3

3

21323111=

??==∴--BC A D BCD A V V …………12分

19.（1）易知123450.50.61 1.4 1.7

3, 1.0455

x y ++++++++====，

5

2

222221

1234555i

i x

==++++=∑ ，

n

i i

i=1

n

2

2

2i

i=1

x y -nxy

18.853 1.04

b=

=

0.325553

x

-nx

-??=-?∑∑， a =y -b x 1.040.3230.08

=-?= 则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，

当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ..........................6分 （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人， 由分层抽样的定义可知

6301020

x y

==

，解得2,4x y == 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为 1234

,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：

共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16

种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16

()0.820

P A =

= .....12分 20. (1)椭圆的标准方程为：

22

11612

x y +=；…………4分 (2)设1122001(,),(,),(,)4A x y B x y N x x -，由,NA mAM =得1010111

(,)(1,3)

4x x y x m x y -+=-- 所以0

011134,11m x m x x y m m -+==++，…………7分

00134(,

)11m x m x A m m -+∴++，因为2211612x y +=上，所以得到0

220134()()1111612m x m x m m -++++=，

得到22

0139964804

m m x ++-=；…………9分

同理，由NB nBM =可得22

0139964804

n n x ++-=

所以m,n 可看作是关于x 的方程22

0139964804

x x x ++-=的两个根，

所以32

3

m n +=-为定值.……12分

21. (1) 1)(1-='+x e x f

10)(->>'x x f 得由，10)(-<<'x x f 得, )1,(--∞单调递减，),1(+∞-单调递增.……4分

(2) x ma e a e x ma ae e x g x f x h x x x +--=+--=-=+)()()()(1令

1)()()()(+-=-='x e a e x g x f x h 则…………5分

若e-a≥0，可得h′（x ）＞0，函数h （x ）为增函数，当x→+∞时，h （x ）→+∞， 不满足h （x ）≤0对任意x ∈R 恒成立；…………6分

若e-a ＜0，由h′（x ）=0，得1x e a e =

-，则1ln x a e

=-， ∴当x ∈)1ln ,(e a --∞时，h′（x ）＞0，当x ∈),1

(ln +∞-e

a 时，h′（x ）＜0，

∴1

ln 111

()max (ln )()ln 1ln a e h x h e a e ma ma a e a e a e

-==--+=--+--- 若f （x ）≤g （x ）对任意x ∈R 恒成立， 则1

1ln ma a e

--+-≤0（a ＞e ）恒成立， 若存在实数a ，使得11ln ma a e --+-≤0成立， 则ma≥1

1ln a e

-+-，

∴1ln()

a e m a a

-≥--（a ＞e ），…………9分

令F （a ）1ln()a e a a -=--， 则222ln()

1()ln()'()()

a

a e a e a e e

a e F a a a a a e ------=-=

-． ∴当a ＜2e 时，F′（a ）＜0，当a ＞2e 时，F′（a ）＞0， 则min 1

()(2)F a F e e

==-．

∴m 1

e

≥-．

则实数m 的取值范围是1,e ??-+∞????

．…………12分

22. 解（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=

，即sin 4πρθ??

+

= ?

?

? 曲线2C 的普通方程为()2

2

24x y -+=，即22

40x y x +-=，

所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………5分 （2）由（1）知1

||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα

==

==+，

()(

)4cos cos sin 21cos2sin2224OB

OA παααααα?

?∴

=+=++=++ ??

?

4

OB

OA

=

∴2)4

4

π

α

++=，

sin(2)

42

π

α+=

由0

2

π

α

<<，知

5

2

444

πππ

α

<+<，当

3

2

44

ππ

α+=，

∴

4

π

α=．………10分

23.解：(1)

3 , 2

1

()2213 1 ,2

2

1

3 ,

2

x x

f x x x x x

x x

?

?-<-

?

?

=+--=+-≤≤

?

?

?

->

??

故

故5

)

(-

>

x

f的解集为)8,2

(-. …………5分（2）由|2||2|||(|1|||)

b a b a a x x m

+--≥++-，(0)

a≠能成立，得

22

(1)

b a b a

x x m

a

+--

≥++-能成立，

即

2

211

b b

x x m

a a

+--≥++-能成立，

令

b

t

a

=，则221(1)

t t x x m

+--≥++-能成立，

由（1）知，

5

221

2

t t

+--≤又11

x x m m

++-≥+

∴

5

1

2

m

+≤∴实数m的取值范围：

73

,

22

??

-??

??

………10分