八年级第九讲 相似三角形(一)【师】

名师堂八年级数学第九讲相似三角形（一）

技巧一：通过平行线得到线段对应成比例：

例1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB 于N，若AB=6cm，求AP的值.

例2．已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.

求证：EF：FD=CA：CB.

证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.

证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.

例3．AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.

求证：DE∥BC.

图2-3

技巧二：证明三角形相似得到线段对应成比例

例题5：（2011成都，20，10分）如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK ＝

25KC ，求AB

CD 的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE ＝

2

1

AD 时，猜想线段A B ．B C ．CD 三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE ＝n

1

AD （n ＞2），而其余

条件不变时，线段AB ，BC ，CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。 专题：计算题；几何动点问题。 分析：（1）由已知得

52=BK CK ，由CD ∥AB 可证△KCD ∽△KBA ，利用BK

CK

AB CD =

求值； （2）AB ＝BC ＋C D ．作△ABD 的中位线，由中位线定理得EF ∥AB ∥CD ，可知G 为BC 的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB ＝∠EBA ＝∠GBE ，则EG ＝BG ＝2

1

BC ，而GF ＝

21CD ，EF ＝2

1

AB ，利用EF ＝EG ＋GF 求线段A B ．B C ．CD 三者之间的数量关系； 当AE ＝n 1AD （n ＞2）时，EG ＝BG ＝n 1BC ，而GF ＝n 1CD ，EF ＝n

n 1

-AB ，EF ＝EG ＋GF

可得BC ＋CD ＝（n －1）A B ． 解答：解：（1）∵BK ＝25KC ，∴5

2

=BK CK ， 又∵CD ∥AB ，

∴△KCD ∽△KBA ，∴

5

2==BK CK AB CD ； （2）当BE 平分∠ABC ，AE ＝2

1

AD 时，AB ＝BC ＋C D ．

证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 与G 点，

由中位线定理，得EF ∥AB ∥CD ，∴G 为BC 的中点，∠GEB ＝∠EBA ， 又∠EBA ＝∠GBE ，∴∠GEB ＝∠GBE ， ∴EG ＝BG ＝

21BC ，而GF ＝21CD ，EF ＝2

1

AB ， ∵EF ＝EG ＋GF ，∴AB ＝BC ＋CD ；

当AE ＝

n

1

AD （n ＞2）时，BC ＋CD ＝（n －1）AB ． 点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．

技巧三：巧设设未知数，几何问题代数化。

(2011襄阳，25，10分)如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ．

（1）求证：∠ADP ＝∠EPB ； （2）求∠CBE 的度数； （3）当

AB

AP

的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。 分析：（1）根据∠ADP 与∠EPB 都是∠APD 的余角，根据同角的余角相等，即可求证； （2）首先证得△P AD ≌△EGP ，可以证得△BCG 是等腰直角三角形，可以证得∠EBG ＝45°，即可证得∠CBE ＝45°；

（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得AB

AP

的值． 解答：证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°， ∵∠DPE ＝90°， ∴∠APD ＋∠EPB ＝90°， ∴∠ADP ＝∠EPB ；

（2）

过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90°， 又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ， ∴△P AD ≌△EGP ， ∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ， ∴AP ＝EG ＝BG ， ∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°；

（3）当AB AP ＝2

1

时，△PFD ∽△BFP ， 设AD ＝AB ＝a ，则AP ＝PB ＝2

1

a ，

∴BF ＝BP ?AD AP ＝4

1

a ．

∴PD ＝

22AP AD +＝

25a ，PF ＝2

2BF PB +＝4

5a ， ∴

PF

BF

PD PB =

＝55 又∠DPF ＝∠PBF ＝90°， ∴△PFD ∽△BFP ．

点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．

例题6、如图：四边形ABCD 中，AB ＝AD ，对角线AC 、BD 相交于点M ，且AC ⊥AB ，

BD ⊥CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于点F 。

（1）求证：MA ·MC ＝MB ·MD ； （2）AD 2＝BF ·BD ；

（3）若BE ＝1，AE ＝2，求EF 的长。

M E

F

D

C

B

A

能力提升

一、填空：

1、如图(1)，在 中，R 在BC 的延长线上，AR 交BD 于P ，交CD 于

Q ，若DQ ∶CQ ＝4∶3，则AP ∶PR ＝

图(1) 图(3) 图(4)

2、如图(2)，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AC 、BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线交AD 于

点E ，交BC 于点F ，则图中有 对相似形三角形；若DC ＝9，AB ＝15，则OD ∶OB ＝ ，EF ＝ 。

3、如图(3)，在△ABC 中，∠BAC ＝900

，CE 平分∠ACB ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD 、CE 相交

于点F ，则△AFC ∽△ 。

4、如图(4)，要使△AEF ∽△ABC ，已具备的条件是 ，还需补充的条件是

或 或 。

5、如图(5)，点D 是△ABC 内一点，连结BD 并延长到E ，连结AD 、AE ，若∠BAD ＝200

，

AB BC AC AD DE AE

==，则∠EAC ＝

F

O

A C D E

图(2)Q

R

P

D

C

B

A

ABCD A

B

C

D

E F

A B

C

E

F

A B

D

C

E

A B

C

D

E

F

图(5)

6、如图，△ABC 中，G 是BC 中点，E 是AG 中点，CE 的延长线交AB 于D ，则EC ：DE 的值为( )

A ．2

B ．3

C ．

D ．

如图，在ABC △中，90BAC ∠=

，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．

（1）求证：

EG CG

AD CD

=

； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．

F

A G

C

E

D B