上应大线代练习1.1

《线性代数》模拟试卷1

一、填空题（本大题共5小题，每空3分，共计15分）

1．行列式33231

3322

212312

111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =____________。 2．若齐次线性方程组?????=++=++=++000321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．设A 为n 阶可逆矩阵，则有=-1)3(A ___________。

4．矩阵11

12132122

23a a a A a a a ??= ???的列向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每空3分，共计15分）

1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

(a) n 2 (b) 12-n (c) 12+n (d) 4

2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 (a) s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关

(b) s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(d) s ααα，，， 21中不含零向量

3. 下列命题中正确的是( )。

(a) 任意n 个1+n 维向量线性相关 (b) 任意n 个1+n 维向量线性无关 (c) 任意1+n 个n 维向量线性相关 (d) 任意1+n 个n 维向量线性无关

4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

(a) 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 (b) 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 (c) 若B A +可逆，则 B A -可逆 (d) 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆

5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的一个基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（）

(a) 解向量 (b) 基础解系 (c) 通解 (d) A 的行向

二、计算题（本大题共6小题，共计64分）

1. 计算n 阶行列式0

11111

01111

11011

1110 的值。 (10分)

2.已知矩阵??????

? ??=4553251101413223211a A 的秩是4，求a 的值。(10分) 3. 设,1000110001100011?????? ??---=B ?????? ?

?=200012

0031

2043

12C 且矩阵X 满足关系式(),T X C B E -= 求X 。(10分)

4．设向量组T )1,4,3,1(1--=α，T ),,,(25412--=α，T )3,3,1,2(3-=α，

)0,3,2,1(4--=α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。（12分）

5．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且 ??????? ??=54321η，??????

? ??=+432132ηη，求该方程组的通解。（10分） 6． a 取何值时，齐次线性方程组12312312

3000ax x x x ax x x x ax ++=??++=??++=?有非零解，并在有非零解时，求该方

程组的一个基础解系。（12分）

三、证明题（6分）

若A 是n 阶方阵，且AA E T =，，

1-=A 证明 0A E +=。其中E 为单位矩阵。

线段的垂直平分线与角的平分线训练专题培优(新)

线段的垂直平分线与角的平分线专题一、选择题： 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30? ，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于（） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??= （） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（） A ．PD>PC B ．PD

新北师大版八年级下册数学《角平分线(1)》教案

4．角平分线（一）一、学生知识状况分析本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。二、教学任务分析学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。教学难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗? 2：探究新知（1）引导学生证明性质定理请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下：已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上．证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展

生产一线主管管理技能提升训练培育部属的能力.doc

TWI生产一线主管管理技能提升训练--培育部属的能力7 TWI生产一线主管管理技能提升训练--培育部属的能力【本讲重点】如何做好教育训练如何进行工作教导如何培养新进人员如何培训基层干部身为领班，假如你能使你的班员都成为与你一样能力强、责任感强的人，那么你一定是超级领班，明天的课长可能就是你。训练与指导技能是一名优秀的管理者不可欠缺的。主管最重要的任务就是通过部属达成工作目标。而如何提升部属的工作能力，就要靠主管的训练与指导技巧了。如何做好教育训练世界上每一个成功的企业都把教育员工作为企业成长的推动力及有序经营的基础。我们通常用绩效考核来衡量一个部门的工作状况。但是对于未来是否是一个有发展潜力的部门，衡量的方法就是教育训练投入了多少。如何做好训练，通常的做法是： 1.制订训练计划做好训练的第一步就是制订训练计划，公司每个部门都要按照管理人员、

操作人员以及新进人员的不同情况安排常年性的训练计划。 2.训练课程安排的原则课程安排的原则就是要你的学员参与，触动并启发他们。让每一个学习者都能够提出问题，甚至把他身边的一些案例带来共同研讨。在安排课程的过程中，你可以设计一些有意义的商战游戏来提高学员的学习兴趣。 3.训练讲师注意事项训练讲师准备的好坏直接影响到整个训练的效果，因此训练讲师要准备充分的课程内容，要了解学习者的背景，要提高学员的注意力，最后就是检讨改进。实际上，任何一个优秀企业均有一个共同的做法，就是当他选择适当的人以后，懂得如何把他们快速地培训成为更有用的人。优秀的企业通常都有一套完整的员工训练计划作为执行的依据。如何进行工作教导世界上大部分人都是平凡的，平凡的人不可能一点就通，你不能期望给你的部属只讲一遍，你的部属就会马上记住，你必须要多次教导他，他才能够做得更好。如果身为主管的你能够了解这一点，你就是一位杰出的主管。常用的工作教导法： (1) 制定训练预定表：内容包括产品的变动和人员的调动。 (2) 做好训练计划：包括训练哪些人、何种工作、起止时间。 (3) 准备与教导有关的物品。

(八年级数学教案)数学教案-角的平分线

数学教案-角的平分线八年级数学教案 3.9角的平分线教学目标 1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用. 2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题. 3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点. 教学过程设计一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1,复习引入课题. (1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

(2)让学生用量角器画出图3-86中的/ AOB的角

平分线oc. 2.画图探索角平分线的性质并证明之. (1)在图3- 86中，让学生在角平分线OC上任取一点P,并分别作出表示P点到/ AOB两边的距离的线段 PD, PE (2)这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理. (3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理. (1)让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2――角平分线的判定定理. (2)教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2. (3)教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程. 4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性). (2)在角的内部，至U角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置，渗透集合的完备性). 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 二、应用举例、变式练习练习1填空：如图3-86 (1) v OC平分/AOB,点P在射线0C上， PD丄OA于D PE丄OB于E.「. ----- (角平分线的性质定理). (2) v PD丄OA, PEL OB, -------- 二0P平分/AOB ( --------- ) 例1已知：如图3-87 (a), ABC的角平分线BD和CE交于F. (1)求证：F到AB, BC和AC边的距离相等； (2)求证：AF平分/ BAC; (3)求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等； (4)怎样找△ ABC内到三边距离相等的点?

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分） 1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪() A. 三条角平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 2.下列说法错误的是() A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴 B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴 3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE 垂直平分BC，AD=3，则AC的长为() A. 9 B. 5 C. 4 D. 3√3 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D， AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE 的度数为() A. 68° B. 62° C. 66° D. 56° 5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点 E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为() A. 2m2?18 B. 2m2+12m+18 C. m2+9 D. m2+6m+9 6.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论： ①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、解答题（本大题共10小题，共80.0分） 8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置． 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB 的周长．

专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法-学习文档

专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法 ?方法一直接根据相关性质定理解题 1．如图4－ZT－1所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC＝CD＝DA.求证：AC与BD互相垂直平分．图4－ZT－1 ?方法二连线构造全等三角形 2．如图4－ZT－2，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF. 图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA. 图4－ZT－3 ?方法三作垂线段得距离 4．如图4－ZT－4，在△ABC中，∠BAC的平分线AD平分底边BC.求证：AB＝AC. 图4－ZT－4 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OE⊥BC于点E，△ABC的周长为12，面积为6，求OE的长．图4－ZT－5 6.如图4－ZT－6所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G. (1)试判断DE和DF的数量关系，并说明理由； (2)若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积．图4－ZT－6 7．如图4－ZT－7，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，P为AB边上一点，且DP平分∠ADC，CP平分∠DCB. 求证：(1)P为AB的中点； (2)DC＝AD＋BC. 图4－ZT－7

8．如图4－ZT －8，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD. 求证：(1)∠BAC＝2∠BEC； (2)∠CAE＋∠BEC＝90°. 图4－ZT －8 ? 方法四作线段的延长线构造全等三角形 9．如图4－ZT －9，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于点D ，BD 交AC 于点E.求证：BE ＝2CD. 图4－ZT －9 详解详析 1．证明：∵AB ＝DA ，BC ＝CD ， ∴点A ，C 在线段BD 的垂直平分线上，即AC 垂直平分BD ，同理可证得BD 垂直平分AC. ∴AC 与BD 互相垂直平分． 2．证明：连接AD. 在△ABD 与△ACD 中， ∵???AB ＝AC ， BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF. 3．[解析] 要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD ＝90°即可．由于AD ＝DB ，可在AB 边上取中点E ，连接DE ，由AB ＝2AC 及∠BAD ＝∠CAD ，得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD ＝∠AED.由AD ＝DB 知DE 是AB 的垂直平分线，可得∠AED ＝90°. 证明：在AB 边上取中点E ，连接DE. 因为AD ＝DB ，E 为AB 的中点，所以ED ⊥AB. 因为AB ＝2AC ，

人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质教学设计

第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质教学设计教材分析本节内容是全等三角形知识的运用延伸，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等，角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。教学目标 1．会使用尺规作一个已知角的平分线； 2．掌握角的平分线的性质和判定； 3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题．教学重点及难点重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用．难点：1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离” 2.角的平分线的性质及判定定理的运用. 教学用具直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件教学过程 (一)导入新课问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示．问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．（二）探索新知

八年级数学上角平分线的作法

一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为点A 、点B ．求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ．求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．

专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法

专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法类型之一线段垂直平分线的辅助线作法 1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB ＋BC＝BE，则∠B的度数是() A．45°B．60°C．50°D．55° 图4－ZT－1 2．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________．图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数．图4－ZT－3 4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．

图4－ZT－4 类型之二角平分线的辅助线作法 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC＝8 cm，则点D到AB的距离是() A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 图4－ZT－5 6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于() A．10 B．7 C．5 D．4 图4－ZT－6 类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法 7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB 和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角

数学人教版八年级上册角平分线性质

E 12.3 《角的平分线的性质》（第1课时）一、教学目标 1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。（2）理解角的平分线的性质并能初步运用。 2、过程与方法：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 3、情感与态度：充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。二、、教学重点、难点教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。三、教学方法引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习四、教学过程一、创设情景生活中的数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。探索体验探索1：如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将点A 放在角的顶点,AB,CD 沿着角的两边入放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗 ?

从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。观察领悟作法，探索思考证明方法画法：以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N ．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．教师先在黑板上示范作图，再利用多媒体演示作图过程及画法，加深印象，并强调尺规作图的规范性。想一想：为什么OC 是角平分线呢？利用三角形全等证明角平分线，进一步明确命题的题设与结论，熟悉几何证明过程。已知：OM=ON ，MC=NC 。求证：OC 平分∠AOB 。证明：在△OMC 和△ONC 中， OM=ON ， MC=NC ， OC=OC ， ∴ △OMC ≌ △ONC （SSS ） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC 平分∠AOB 探索2：让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一

2014新北师大版八年级下垂直平分线和角平分线分线专题训练

垂直平分线和角平分线分线专题训练垂直平分线性质定理 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点（三角形外接圆圆心），并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 角平分线性质定理 1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点（三角形内切圆圆心），并且这一点到三边的距离相等. 图1

题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 专题训练一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于（） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??=（） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（） A ．PD>PC B ．PD

数学人教版八年级上册《角的平分线》的画法

角的平分线的画法数学课上，探讨角平分线的作法时，黎老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤： ①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON． ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P． ③作射线OP．则OP为∠AOB的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．根据以上情境，解决下列问题： (1)黎老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_______．

(2)小聪的作法正确吗？请说明理由． (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）试题分析：（1）根据三角形全等的判定方法“SSS”解答. （2）利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，根据全等三角形对应边相等解答. （3）利用刻度尺作出PM=PN，再利用“SSS”证明两三角形全等，即可得解：在△MOP和△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（SSS）.∴∠MOP=∠NOP.∴OP 是∠AOB的平分线. 试题解析：（1）黎老师用到的三角形全等的方法是“SSS”. （2）小聪的作法正确。理由如下：在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP.∴OP是∠AOB的平分线. （3）如图： ①利用刻度尺上的刻度，在OA和OB上分别画点M、N，使OM=ON； ②用两个刻度尺作出MP=NP，交于点P；

③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线. 考点:1. 全等三角形的应用;2.作图（基本作图）.

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》

角的平分线的性质教学目标知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。过程与方法：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。情感态度与价值观：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。教学过程：一、创设情景生活中有很多数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。二、探究体验要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线

A F C B E AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。多媒体展示实验过程。把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等）结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用．三、合作交流判断正误，并说明理由：（1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ．（2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ．（3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ．让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？四、例题讲解例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB =FC ． E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1

生产一线主管管理技能培训知识与技能总结

生产一线主管管理技能培训知识与技能大纲共计十四部分第一部分：生产一线主管的角色和工作职责1、生产一线主管的角色：承上启下 2、生产一线主管的职务项目：我们这些工作谁来帮助我们完成？下属

3、优秀生产一线主管的基本职能：如果是一只绵羊在率领一群狮子，那么这狮子群狮子也就不再是了。—拿破仑因此，我们需要培训我们的生产一线主管，让他们知道自己应该做什么，什么是他们最应该优先考虑的工作：建立团队，培养下属。第二部分：如何成为一名优秀的生产一线主管 1、一线主管需要克服的不良习惯：㊣做事随意，没有规矩㊣有了规矩，弄虚作假，不守规矩㊣遵守规矩，却总是做不到位 2、一线主管需要养成的好习惯： ∵自信-自我的改变 ∵聆听-沟通的技巧 ∵赞赏/感谢-良好人际关系 ∵领导力-心存感恩讲出来 ∴同理心-换位思考 ∴团队意识-真诚合作

∴克服压力-开创人生 ∴热忱-成功的秘诀 3、优秀一线主管应具备的条件： △扎实的专业知识基础 △丰富的现场管理经验 △正确的作业管理方法 △良好的交流沟通技巧 △健康的用人育人理念 △卓越的组织协调能力 △良好的职业操守观念 △敏锐的学习变革能力 △带着企业经营理念，虚心学习 △有责任意识、能承担工作 △自动自发、勇于任事、不找借口 △与企业融为一体 △有团队意识，为团体着想 △有决心有热忱 △有创造力、价值观正确 △以我就是老板来面对工作 △得体且用于直言 △有气概、能担当企业经营重任可是说，做好一个优秀生产一线主管，其实条件还是相当高的，需要我们直线主管、经理和人力资源部门大力培养。

4、管理是德法术的统一德：指德行、品德→ 管理者一定要有好的品德。法：指法则、法规、制度→ 管理者一定要带头执行规章制度。术：指领导艺术→ 管理者一定要有灵活应变的能力。 5、优秀一线主管的工作职责：

八年级数学：角的平分线(教学设计)

初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案编订：XX文讯教育机构

角的平分线(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。知识结构重点与难点分析：本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。教法建议：整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与

学融为一体。具体说明如下：（1）做好铺垫新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。（2）主动获取利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。（3）激荡思维在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

角平分线辅助线专题练习

D A B C 角平分线专题 1、轴对称性: 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。思路和方法:边角等造全等,也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形基本结构：如图, 2、角平分线的性质定理：注意两点(1)距离相等（2）一对全等三角形 3、定义：带来角相等。 4、补充性质：如图，在△AB Ｃ中,AD 平分∠BAC ，则有ＡB:ＡC=BD:DC 针对性例题: 例题1：如图，AB=2ＡC ,∠ＢＡＤ＝∠ＤAC ，DA ＝ＤB 求证：DC ⊥AC

B 例题2：如图,在△ＡB Ｃ中，∠Ａ等于60°,BE 平分∠ＡBC,C Ｄ平分∠ACB 求证:ＤH=E Ｈ例题3:如图1，B Ｃ>A Ｂ,BD 平分∠A ＢC,且∠A+∠Ｃ=18０0，求证:AD=D Ｃ．: 思路一:利用“角平分线的对称性”来构造因为角是轴对称图形,角平分线是其对称轴，因此,题中若有角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形. 证法1:如图１，在ＢC 上取B Ｅ=ＡB,连结DE ，∵BD 平分 ∠A ＢＣ，∴∠A ＢＤ=∠D ＢE ，又BD=BD,∴△ABD ≌△EBD （S ＡＳ), ∴∠A ＝∠DB Ｅ,ＡＤ＝D Ｅ,又∠A+∠C=1８00，∠D ＥＢ+∠DE Ｃ=1８０0,∴∠Ｃ=∠D ＥC,D Ｅ=ＤC ，则AD ＝DC ．证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、B Ｄ于E 、F ，连结DE,由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△ＥBF,则ＡB=B Ｅ, ＢD 平分∠A ＢC,BD ＝ＢD ，∴△ＡBD ≌△E ＢＤ(SA Ｓ）, ∴AD ＝ED ，∠ＢAD ＝∠DEB,又∠BA Ｄ+∠Ｃ=1８０0, ∠BED+∠CE Ｄ=180０ ,∴∠C=∠DEC ，则ＤE=DC,∴AD=DC ．说明:证法１,2，都可以看作将△ＡB Ｄ沿角平分线BD 折向B Ｃ而构成全等三角形的．证法3:如图３，延长BA 至E ，使BE=B Ｃ，连结D Ｅ, ∵BD 平分∠A ＢＣ，∴∠CBD ＝∠DBE ，又BD=BD ，∴△CB Ｄ≌△EBD （SAS)， ∴∠C=∠E ，ＣD=ＤＥ，又∠BA Ｄ+∠C=１８00,∠DA Ｂ+∠D ＡＥ=１800, ∴∠E=∠D ＡＥ，DE ＝ＤA ，则AD=ＤC ．说明：证法3是△CBD 沿角平分线B Ｄ折向B Ａ而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3

方正集团新经理训练营

策划单位北大方正培训中心提案时间 2011 年 1 月 12日

一、培训总结 ?2010年，为高效地完成方正集团的各种员工培训任务，集团在培训模式上进行了调整，北大方正培训中心配合集团人力资源部采取了一系列措施，举办的“方正集团新经理训练营”系列培训就是其中的重要组成部分。 ?2009年5月，集团重点培训项目“新经理训练营”开营，并根据集团的实际情况与要求，“新经理训练营”又细分成了职能经理班、技术经理班、生产经理班、销售经理班等4个不同的小班。培训结果显示，其中的职能班与销售班的参加人数较多，而技术班与生产班的参与者较少。 ?2010年的“新经理训练营”，共有集团20个兄弟单位的参与，共计113位新经理接受了“方正新经理训练营”的培训。2009年的“新经理训练营”要想取得更大的收获和成功，就需要一如既往的从兄弟单位的实际要求出发，科学的设计课程、调配师资，真正满足各公司对新任管理人员的要求。 ?2011年的“新经理训练营”将在如下几点做出变化：1、训练营不再按学员的职能划分，集中统一授课。2、为节约费用与时间，学员采取集中一阶段进行培训。3、培训课程将按照经理人的成长需求进行相应变化。二、培训对象 ?３个月内从骨干员工、一线小组长/主管/助理晋升为经理，需要从关注业务工作或本岗位工作转为关注团队的工作，需要从执行分解任务转为计划、组织任务的执行，需要从个人贡献者转为管理他人的新任经理。 ?已经在基层经理岗位上工作了６－１８个月的时间，需要加强工作计划、目标管理、辅导人员和本岗位专业知识的管理人员。 ?其他从事基层管理的人员，诸如零售店长、区域主管等。三、培训价值 ?组织的活力来源于人，组织的发展需要不断培养新的管理者。本训练营协助集团人力资源部门培养新任经理和基层经理，传授管理的经验，明确如何作为一名新任经理或主管应如何从作业者向管理者进行转换，掌握基本的管理理念和方法，有效地