2012备战中考数学押轴题解析汇编-- 全等三角形一

【黄冈中考】备战2012年中考数学——全等三角形的押轴题解析汇编一

全等三角形

一、选择题

（2010年江苏省宿迁市，7，3）如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．

能使△ABD ≌△ACD 的条件是（▲） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠BDA ＝∠CDA

【解题思路】已知∠1＝∠2，还有一个公共边AD =AD ，具备了一边一角的条件，可用SAS 添加AB=AC ，可用ASA 添加∠BDA ＝∠CDA ，可用AAS 添加∠B=∠C ，若添加BD ＝CD ，则是“SSA ”不能判定两个三角形全等．

【答案】B ． 【点评】本题是一道探索型问题，主要考查了三角形全等的判定．判断三角形全等的方法有SSS 、SAS 、AAS 、ASA ，要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成SSA 的形式．有一定难度．

3. （2011江西南昌，10，3分）如图下列条件中，不能．．证明△ABD ≌△ACD 的是（ ） A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ，BD=DC C.∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C ，BD=DC

【解题思路】要证明△ABD ≌△ACD ，就要用到三角形全等的判定方法，其中AD=AD 是隐含条件，有条件A 时，可用SSS 证两三角形全等；有条件C 时，可用AAS 证两三角形全等；有条件B 时，可用SAS 证两三角形全等.而条件D 不能判定两三角形全等． 【答案】D

【点评】要证三角形全等，必须要知道三角形全等的判定方法．还要注意题中的隐含条件，此外还要注意三角形全等没有边边角的判定方法. 难度中等.

1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知ABC △中，45ABC ∠= ， F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为（

）.

（第7题）

2

1C

B

A

A ．22

B ． 4

C ．32

D ．42【解题思路】在Rt △ABD 中，∠ABD =45°=∠BAD ，得AB =AD ，而∠CAD +∠C =∠FBD +∠C ，得∠CAD =∠FBD ，又∠BDF =∠ADC =90°，∴△BDF ≌△ADC ，∴DF =4CD = .故选B. 【答案】B ．

【点评】由三角形全等得对应边相等，是证明线段相等的常用方法.本题需要先观察图形，再根据条件，利用垂直的定义、同角或等角的余角相等、等角对等边等知识，为三角形准备全等的条件.难度中等 ．

二、填空题 1. （2011福建泉州，14，4分）如图，点P 在∠AOB 的平分线上，P E ⊥OA 于E ，PF ⊥OB

于F ，若PE=3，则PF= .

【解题思路】利用角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等。得到3==PE PF

【答案】3；

【点评】考查角平分线定理的应用，熟记角平分线定理是应用的基础，难度较小。

2010年江苏省宿迁市，11，3）将一块直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C ＝90°，BC ＝8 cm ，则折痕DE 的长度是 ▲ cm ．

【解题思路】可以证明DE 是△ABC 的中位线，所以DE =

12BC =1

2

×8=4． 【答案】4．

【点评】本题考查了三角形的有关知识．本题是一道几何基础题，涉及到折叠三角形，全等三角形，及三角形中位线的性质“三角形的中位线等于第三边的一半”等知识．难度中等．

三、解答题

1.（2011常州市第22题,本小题5分）

已知：如图，在△ABC 是，D 为BC 上的一点，AD 平分∠EDC ，且∠E=∠B ，DE=DC 求证：AB=AC

【解题思路】由角平分线能得到两个角相等，根据SAS 可证△AED ≌△ACD,进而证得∠C=∠E=∠B,所以AB=AC. 【解答】∵AD 平分∠EDC ，∴∠EDA=∠CDA, ∵DE=DC,AD=AD, ∴△AED ≌△ACD, ∴∠C=∠E, ∵∠E=∠B ，∴∠C==∠B ，∴AB=AC.

【点评】解答本题的关键是通过证明全等三角形实现等角的转化，进而得到等边。

2.（2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC 和DEF ，按如图所示的方式叠放，阴影部分

E

D

C

B

A （第11题）

为重叠部分，点O 为边AC 和DF 的交点，不重叠的两部分△AOF 与△DOC 是否全等？为什么？

【解题思路】由题意知△ABC ≌△DEF ，由全等三角形的性质，可得AF =DC ，进而可证△AOF ≌△DOC 。 【答案】证明：∵三角形纸板ABC 和DEF 完全相同

∴AB ＝DB BC ＝BF ∠A ＝∠D ∴AB －BF ＝BD －BC ，即AF ＝CD 在△AOF 和△DOC 中

∠A ＝∠D ，∠AOF ＝∠DOC ，AF ＝CD

∴△AOF ≌△DOC

【点评】本题考查全等三角形的性质及三角形全等的判定，考察了学生简单的推理能力。难度较小。

1. (2011广东广州，18， 9分) （9分）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。

求证：△AC E ≌△ACF 【解题思路】要证明△AC E ≌△ACF ，已经具备条件AE=AF ，公共边AC ， 还需一个条件第三边或夹角。结合已知条件，四边形ABCD 是菱形ABCD

根据菱形的对角线平分一组对角，得到∠CAE=∠CAF ，从而利用SAS 证明△AC E ≌△ACF 。 【答案】∵ AC 是菱形ABCD 的对角线，∴ ∠CAE=∠CAF

在△ACE 和△ACF 中， AE=AF ，∠CAE=∠CAF ，AC=AC ∴ △ACE ≌△ACF

【点评】本题考查了三角形全等的判定，而且巧妙的和菱形的性质结合起来，设计巧妙，难度较小。 2. ．(2011广东河源，21，本题满分9分)

如图（1）,已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（P 不与A ，B 重合），分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD ． （1）当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP=___________；（直接写结果）

（2）连结AD 、BC ，相交于点Q ，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由； （3）如图（2），若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

A D F E

B C 图（2）

图（1）

【解题思路】设AP 为x , 则PB 为a -x ，△APC 的面积为

243x ，△BPD 的面积为2)2(4

3x a -，列出两三角形面积和的二次函数解析式，通过二次函数求极值得出面积和最小时AP 的值；通过△APD ≌△CPB, 得到

∠PAD=∠PCB,由等量代换得到∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, 所以∠AQC=1800-1200 =600.

【答案】（1）a ；（2）α的大小不会随点P 的移动而变化， 理由：∵△APC 是等边三角形，∴PA=PC, ∠APC=600, ∵△BDP 是等边三角形，∴PB=PD, ∠BPD=600, ∴∠APC=∠BPD, ∴∠APD=∠CPB, ∴△APD ≌△CPB, ∴∠PAD=∠PCB, ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, ∴∠AQC=1800-1200 =600; (3) 此时α的大小不会发生改变，始终等于600. 【点评】本例考查了二次函数的极值及三角形全等的有关知识，解题关键是关于面积和的二次函数的建立及三角形全等知识的应用，会因不能整体代换而导致错误，难度较大.

3. （2011广东省，13，6分）已知：如图，E ，F 在AC 上，AD//CB 且AD=CB ，∠D=∠B ．

求证：AE=CF ．

【解题思路】要证明AE=CF ，只要证明AF=CE 即可，只要证明△AFE ≌△CEB 即可 【答案】∵AD//CB ，∴∠A=∠C, 又∵AD=CB ，∠D=∠B ，∴△AFE ≌△CEB ，∴AF=CE 所以AF -FE=CE -FE ，即AE=CF. 【点评】本题是一道比较基本的命题证明问题，重点考查同学们的逻辑推理能力以及最基本的证明几何问题的能力．难度较小.

4. （2011福建泉州，20. 9分）如图，已知点E 、C 在线段BF 上，BE=CF ，AC=DF ，∠ACB=∠F.

求证：△ABC ≌△DEF.

【解题思路】先证明BC=EF ，再由边角边定理证明两三角形全等。

【答案】证明：∵BE=CF ，∴BC=EF ，又∵AC=DF ，∠ABC=∠F ，∴△ABC ≌△DEF.

【点评】利用等量加等量，结果仍相等，确定两三角形的两边及夹角对应相等，证明两三角形全等，是证明三角形全等的基本方法，难度较小。

5. (2011江苏镇江，22，5分)已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，AD 平分∠EDC ，且∠E ＝∠B ，DE ＝DC ．

求证：AB ＝AC ．

B

D

A

F

E

【解题思路】欲证AB ＝AC ，需证∠B ＝∠C ．而∠E ＝∠B ，因此需证∠E ＝∠C ．这可通过证三角形全等得出． 【答案】证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠ADE ＝∠ADC ，又DE ＝DC ，AD ＝AD ， ∴△ADE ≌△ADC ．∴∠E ＝∠C ．又∠E ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ．∴AB ＝AC ．

【点评】此题考查全等三角形的证明，等腰三角形的性质等知识，1． （2011四川内江，18，9分）在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AC =2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角是45°的直角三角板AED 如图放置，使三角形斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ．猜想BE 与EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．

E

D

B

A

【思路分析】由直角及45°锐角先说明∠EDC =∠EAB =135°，再由AC =2A B ，点D 是A C 的中点说明AB= DC ，然后证明△EAB ≌△EDC ，推出BE=EC ，∠DEC =∠AEB ，结合∠DEC 、∠AEB 同加公共角BED=∠AED=90°，说明BE ⊥EC ．

【答案】解：BE=EC ，BE ⊥EC ． 证明：∵∠BAC =90°，∠EAD =45°， ∴∠EA B=135°， 又∠EDA =45°，

∴∠EDC =∠EAB =135°．

又∵AD=DC ，AB =

2

1

AC ， ∴AB= DC ， 又∵AE=DE ，

∴△EAB ≌△EDC ，

∴BE=EC ，∠DEC =∠AEB ，

∴∠AEB +∠BED =∠DEC +∠BED =90°， 即BE ⊥EC ．

【点评】题目涉及等腰三角形以及较多的等边时，一般通过证明三角形全等来解答，公共边角的同加同减是计算证明的有效途径．要充分挖掘等腰三角形等腰、底角是45度这些隐含条件来说明三角形全等，切勿忽略等角同加减公共角而无法说明两线段垂直．

1. （2011年湖北省武汉市6分）如图，D ，E ，分 别 是 AB ，AC 上 的 点 ，且AB=AC ，AD=AE.求证∠B=∠C.

E

A

分析：三角形全等的判定及三角全等的性质。

答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，AB ＝AC ∠A＝∠A AE ＝AD ∴△ABE≌△ACD ∴∠B=∠C

点评：本题属于全等三角形中最常见的题目，难度不大。

2. （2011湖北襄阳，21，6分）如图6，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE ．①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；

③BD ＝CE ．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②?③；①③?②；②③?①．

（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）___________；

（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．

【解题思路】三个命题就是三个几何问题，用全等三角形知识一一作出判断即可准确得解． 【答案】（1）①②?③；①③?②；②③?①．

（2）选择①③?②．

证明：∵AB=AC ，∴∠B ＝∠C ． 在△ABD 和△ACE 中，∵AB AC

B C BD CE =??

∠∠??=?

＝ ，∴△ABD ≌△ACE ．∴AB ＝AE ．

【点评】本题考查等腰三角形，全等三角形的判定和性质，简单而基础，命题形式开放活泼，可以照顾到所有学生的得分需求．难度较小．

21．（2011年湖南衡阳21，6分）（本小题满分6分）如图9，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、

F ．求证BE=CF ．

【解题思路】要证线段相等，需要证明所在的三角形全等．即欲证BE=CF ，只需证△BDE ≌△CDF ，由AD 是中线可得BD=CD ，由垂直的定义可得∠BED=∠CFD=900，于是可利用AAS 证明△BDE ≌△CDF ． 【答案】证明：∵AD 是中线，

∴BD=CD

∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，

∴∠BED =∠CFD=900 在△BDE 和△CDF 中，

BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△BDE ≌△CDF ∴BE=CF ．

【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，是常规题目，即通过证明三角形全等来证明线段相等，结合垂直的性质和对顶角相等定理可以得到三角形全等．这是一道基础题型，也是中考的热点．

18．（2011湖北随州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．

【思路分析】首先连接BD ，由已知等腰直角三角形ABC ，可推出BD ⊥AC 且BD=CD=AD ，∠ABD=45°再由DE 丄DF ，可推出∠FDC=∠EDB ，又等腰直角三角形ABC 可得∠C=45°，所以△EDB ≌△FDC ，从而得出BE=FC=3，那么AB=7，则BC=7，BF=4，再根据勾股定理求出EF

的长． 【答案】解：连接BD ，

∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， 又DE 丄DF ，

∴∠FDC=∠EDB ，

第18题图

B

A

E

D

F C

∴△EDB≌△FDC，

∴BE=FC=3，

∴AB=7，则BC=7，

∴BF=4，

在直角三角形EBF中，

EF2=BE2+BF2=32+42，

∴EF=5．

答：EF的长为5．

【点评】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．难度中等.